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- 2021-06-11 发布
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A级 基础夯实练
1.(2018·云南质量检测)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )
A.x2+y2=2 B.x2+y2=4
C.x2+y2=2(x≠±) D.x2+y2=4(x≠±2)
解析:选D.MN的中点为原点O,易知|OP|=|MN|=2,∴P的轨迹是以原点O为圆心,2为半径的圆,除去与x轴的两个交点,即P的轨迹方程为x2+y2=4(x≠±2),故选D.
2.(2018·湖北荆门调考)已知θ是△ABC的一个内角,且sin θ+cos θ=,则方程x2sin θ-y2cos θ=1表示( )
A.焦点在x轴上的双曲线
B.焦点在y轴上的双曲线
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
解析:选D.因为(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,所以sin θcos θ=-<0,又sin θ+cos θ=>0,所以sin θ>-cos θ>0,故>>0,而x2sin θ-y2cos θ=1可化为+=1,故方程x2sin θ-y2cos θ=1表示焦点在y轴上的椭圆.
3.(2018·浙江杭州七校质量检测)已知F1,F2是双曲线的两个焦点,Q是双曲线上任意一点,从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹为( )
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
解析:选B.不妨设点Q在双曲线的右支上,延长F1P交直线QF2于点S,∵QP是∠F1QF2的平分线,且QP⊥F1S,∴P是F1S的中点.∵O是F1F2的中点,∴PO是△F1SF2的中位线,∴|PO|=|F2S|=(|QS|-|QF2|)=(|QF1|-|QF2|)=a,∴点P的轨迹为圆.
4.(2018·湖北武汉调研)已知不等式3x2-y2>0所表示的平面区域内一点P(x,y)到直线y=x和直线y=-x的垂线段分别为PA,PB,若△PAB的面积为,则点P的轨迹的一个焦点坐标可以是( )
A.(2,0) B.(3,0)
C.(0,2) D.(0,3)
解析:选A.不等式3x2-y2>0⇒(x-y)(x+y)>0⇒或其表示的平面区域如图中阴影部分所示.点P(x,y)到直线y=x和直线y=-x的距离分别为|PA|==,|PB|==,
∵∠AOB=120°,∴∠APB=60°,
∴S△PAB=×|PA|×|PB|sin 60°=×,又S△PAB=,
∴×=,∴3x2-y2=3,即x2-=1,
∴P点的轨迹是双曲线,其焦点为(±2,0),故选A.
5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N.若=λ·,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是( )
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.双曲线
解析:选C.以AB所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,设M(x,y),A(-a,0),B(a,0),则N(x,0).因为=λ·,
所以y2=λ(x+a)(a-x),即λx2+y2=λa2,
当λ=1时,轨迹是圆;
当λ>0且λ≠1时,轨迹是椭圆;
当λ<0时,轨迹是双曲线;
当λ=0时,轨迹是直线.
综上,动点M的轨迹不可能是抛物线.
6.设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,=+,则点M的轨迹方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:选A.设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),由=+,得(x,y)=(x0,0)+(0,y0),则解得
由|AB|=5,得+=25,
化简得+=1.
7.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足向量在向量上的投影为-,则点P的轨迹方程是________.
解析:由=-,知x+2y=-5,即x+2y+5=0.
答案:x+2y+5=0
8.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C的轨迹方程是________.
解析:设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.
答案:y=2x-2
9.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线焦点的轨迹方程是________.
解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线焦点的轨迹方程为+=1(y≠0).
答案:+=1(y≠0)
10.(2018·郑州市第一次质量预测)已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中轨迹为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.
解:(1)由题意,得=5,
即=5,
化简,得x2+y2-2x-2y-23=0,
所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25.
轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.
(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,
此时所截得的线段长度为2=8,
所以l:x=-2符合题意.
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,圆心(1,1)到直线l的距离
d=,
由题意,得+42=52,解得k=.
所以直线l的方程为x-y+=0,
即5x-12y+46=0.
综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.
B级 能力提升练
11.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0),距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )
A.x+y=5 B.x2+y2=9
C.+=1 D.x2=16y
解析:选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为-=1.A项,直线x+y=5过点(5,0),满足题意,为“好曲线”;B项,x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C项,+=1的右顶点为(5,0),满足题意,为“好曲线”;D项,方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以Δ>0,满足题意,为“好曲线”.
12.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点M在AB上,
且AM=,点P在平面ABCD内,且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是( )
A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
解析:选D.在平面ABCD内过点P作PF⊥AD,垂足为F,过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1,垂足为E,连接PE,则有PE⊥A1D1,即PE为点P到A1D1的距离.
由题意知|PE|2-|PM|2=1,
又因为|PE|2=|PF|2+|EF|2,
所以|PF|2+|EF|2-|PM|2=1,
即|PF|2=|PM|2,即|PF|=|PM|,
所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离.
由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点,
AD为准线的抛物线,
所以点P的轨迹为抛物线.
13.已知圆O的方程为x2+y2=9,若抛物线C过点A(-1,0),B(1,0),且以圆O的切线为准线,则抛物线C的焦点F的轨迹方程为( )
A.-=1(x≠0) B.+=1(x≠0)
C.-=1(y≠0) D.+=1(y≠0)
解析:选D.设抛物线C的焦点为F(x,y),准线为l,过点A,B,O分别作AA′⊥l,BB′⊥l,OP⊥l,其中A′,B′,P分别为垂足,则l为圆的切线,P为切点,且|AA′|+|BB′|=2|OP
|=6.因为抛物线过点A,B,所以|AA′|=|FA|,|FB|=|BB′|,
所以|FA|+|FB|=|AA′|+|BB′|=6>|AB|=2,
所以点F的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,
且点F不在x轴上,所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为+=1(y≠0).
14.如图,已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为________.
解析:由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,
所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).
设曲线M的方程为+=1(a>b>0,y≠0),
则a2=4,b2=a2-=3,所以曲线M:+=1(y≠0)为所求.
答案:+=1(y≠0)
15.(2018·安徽合肥检测)已知M为椭圆C:+=1上的动点,过点M作x轴的垂线,垂足为D,点P满足=.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)若A,B两点分别为椭圆C的左、右顶点,F为椭圆C的左焦点,直线PB与椭圆C交于点Q,直线QF,PA的斜率分别为kQF,kPA,求的取值范围.
解:(1)设P(x,y),M(m,n),依题意知D(m,0),且y≠0.
由=,得(m-x,-y)=(0,-n),
则有⇒
又M(m,n)为椭圆C:+=1上的点,
∴+=1,即x2+y2=25,
故动点P的轨迹E的方程为x2+y2=25(y≠0).
(2)依题意知A(-5,0),B(5,0),F(-4,0),设Q(x0,y0),
∵线段AB为圆E的直径,
∴AP⊥BP,设直线PB的斜率为kPB,则kPA=-,
==-kQFkPB=-kQFkQB=-·=-=-
===,
∵点P不同于A,B两点且直线QF的斜率存在,
∴-5<x0<5且x0≠-4,
又y=在(-5,-4)和(-4,5)上都是减函数,
∴∈(-∞,0)∪,
故的取值范围是(-∞,0)∪.