【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量线性运算学案 11页

‎ 平面向量线性运算 知识精讲·‎ ‎·‎ 平面向量的线性运算 ‎1．向量的概念：‎ ‎（1）向量三要素 ‎（2）零向量、单位向量 ‎（3）共线向量 ‎（4）相等向量 ‎2．平面向量的加减法 三角形法则、平行四边形法则 ‎3．两个向量共线的条件 ‎（1）实数与向量的积： ；‎ 当时,与方向相同；时,与方向相反；当时.‎ ‎（2）运算定律 结合律：；分配律：， ‎ ‎（3）向量共线定理 ‎ 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使 ‎4．平面向量基本定理 ‎（1）基底不唯一，关键是不共线；‎ ‎（2） 由定理可将任一向量在给出基底和条件下进行分解；‎ ‎（3） 基底给定时，分解形式惟一.是被，和唯一确定的数量.‎ ‎·三点剖析·‎ ‎·‎ 考试内容 要求层次 向量的线性运算 向量的加减法运算 掌握 向量的乘法运算 掌握 向量的共线定理 掌握 ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一：向量的加减法运算 例1.1.1 在中，点满足，则（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 △ABC中，点D满足，‎ 则.‎ 例1.1.2 如图所示，M是的边AB的中点，若，，则（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 因为M为的中点，‎ 所以由向量加法的平行四边形法得，，‎ 则，‎ 故选B．‎ 题模二：平面向量基本定理的应用 例1.2.1 如图，在平面四边形中，相交于点为线段的中点，若，则．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵E为线段AO的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，2μ=，‎ 解得μ=，‎ ‎∴λ+μ=．‎ 例1.2.2 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． 1‎ D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意正方形ABCD中，E为DC的中点，可知：．‎ 则λ+μ的值为：．‎ 题模三：向量共线定理 例1.3.1 平面向量，共线的充要条件是（　　）‎ A． ，方向相同 B． ，两向量中至少有一个为零向量 C． ∃λ∈R，=λ D． 存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1+λ2=‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 若，均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1+λ2=；‎ 若≠，则由两向量共线知，存在λ≠0，使得=λ，‎ 即λ-=，符合题意，‎ 故选D．‎ 例1.3.2 已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，，()，若，则=_____．‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】 依题意得，，‎ 又，因此，，‎ 又与不共线，于是有，．‎ 题模四：平面向量的坐标运算 例1.4.1 己知向量=（l，2），=（x，-2），且丄（-），则实数x=______．‎ ‎【答案】 9‎ ‎【解析】 向量=（l，2），=（x，-2），且丄（-），‎ 可得（1，2）•（1-x，4）=0．即9-x=0，解得x=9．‎ 例1.4.2 已知两点，若，则点坐标是　 　．‎ ‎【答案】 ．‎ ‎【解析】 ∵，‎ ‎∴ ．‎ 故答案为：．‎ 题模五：平面向量的共线的坐标表示 例1.5.1 已知=(3，2)，=(2，-1)，若λ+与+λ平行，则λ=____．‎ ‎【答案】 ±1‎ ‎【解析】 ‎ ‎∵=(3，2)，=(2，-1)‎ ‎∴λ+=（3λ+2，2λ-1），+λ=（3+2λ，2-λ）‎ ‎∵λ+∥+λ ‎∴（3λ+2）（2-λ）=（2λ-1）（3+2λ）‎ 解得λ=±1‎ 故答案为：±1‎ 例1.5.2 已知向量，，．若，则实数m的值为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由已知可得，‎ 故，‎ 解得，故选A．‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练1.1 在中，如果D是BC的中点，那么等于（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 如图所示，作，‎ 则，，‎ 所以．‎ 随练1.2 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（ ）‎ A． 3‎ B． 2‎ C． 1‎ D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意，因为E为DC的中点，所以，‎ 所以，即，所以λ=-1，μ=2，‎ 所以λ-μ=-3．‎ 随练1.3 在中，已知D是AB边上一点，，，则实数（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 如图所示，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎．‎ 故选D．‎ 随练1.4 已知向量=（1，2），向量=（2，m），若+与垂直，则实数m的值为______．‎ ‎【答案】 - ‎【解析】 ∵向量=（1，2），向量=（2，m），‎ ‎∴+=（3，2+m），‎ 又+与垂直，‎ ‎∴（+）•=0，‎ 即1×3+2（2+m）=0，‎ 解得m=-．‎ 随练1.5 已知向量，，若，则______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ，‎ ‎·自我总结·‎ ‎·‎ ‎ ‎ ‎·课后作业·‎ ‎·‎ 作业1 如图，等于（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，故选B．‎ 作业2 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则=（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． 2‎ D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ∵BD=2DC，‎ ‎∴=+=+=+（-）=+，‎ ‎∵，∴λ=，μ=，∴=，故选：A 作业3 如果非零向量a与c满足，那么a与c的关系是（ ）‎ A． 相等 B． 共线 C． 不共线 D． 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】 对非零向量而言，它们共线的充要条件是存在使得 而 ‎∴与共线．‎ 作业4 已知、，把向量绕点逆时针旋转得到向量，则向量等于（　）．‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，，，故选A．‎ 作业5 设向量=(1，2)，=(2，3)，若向量λ+与向量=(-4，-7)共线，则λ=____．‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】 ‎ ‎∵a=（1，2），b=（2，3），‎ ‎∴λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．‎ ‎∵向量λa+b与向量c=（-4，-7）共线，‎ ‎∴-7（λ+2）+4（2λ+3）=0，‎ ‎∴λ=2．‎ 故答案为2‎