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  • 2021-06-11 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量线性运算学案

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‎ 平面向量线性运算 知识精讲·‎ ‎·‎ 平面向量的线性运算 ‎1.向量的概念:‎ ‎(1)向量三要素 ‎(2)零向量、单位向量 ‎(3)共线向量 ‎(4)相等向量 ‎2.平面向量的加减法 三角形法则、平行四边形法则 ‎3.两个向量共线的条件 ‎(1)实数与向量的积: ;‎ 当时,与方向相同;时,与方向相反;当时.‎ ‎(2)运算定律 结合律:;分配律:, ‎ ‎(3)向量共线定理 ‎ 向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个非零实数,使 ‎4.平面向量基本定理 ‎(1)基底不唯一,关键是不共线;‎ ‎(2) 由定理可将任一向量在给出基底和条件下进行分解;‎ ‎(3) 基底给定时,分解形式惟一.是被,和唯一确定的数量.‎ ‎·三点剖析·‎ ‎·‎ 考试内容 要求层次 向量的线性运算 向量的加减法运算 掌握 向量的乘法运算 掌握 向量的共线定理 掌握 ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一:向量的加减法运算 例1.1.1 在中,点满足,则(  )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 △ABC中,点D满足,‎ 则.‎ 例1.1.2 如图所示,M是的边AB的中点,若,,则( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 因为M为的中点,‎ 所以由向量加法的平行四边形法得,,‎ 则,‎ 故选B.‎ 题模二:平面向量基本定理的应用 例1.2.1 如图,在平面四边形中,相交于点为线段的中点,若,则.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∵E为线段AO的中点,‎ ‎∴,‎ ‎∴,2μ=,‎ 解得μ=,‎ ‎∴λ+μ=.‎ 例1.2.2 如图,正方形中,为的中点,若,则的值为( )‎ A. ‎ B. ‎ C. 1‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意正方形ABCD中,E为DC的中点,可知:.‎ 则λ+μ的值为:.‎ 题模三:向量共线定理 例1.3.1 平面向量,共线的充要条件是(  )‎ A. ,方向相同 B. ,两向量中至少有一个为零向量 C. ∃λ∈R,=λ D. 存在不全为零的实数λ1,λ2,λ1+λ2=‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 若,均为零向量,则显然符合题意,且存在不全为零的实数λ1,λ2,使得λ1+λ2=;‎ 若≠,则由两向量共线知,存在λ≠0,使得=λ,‎ 即λ-=,符合题意,‎ 故选D.‎ 例1.3.2 已知平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,,(),若,则=_____.‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】 依题意得,,‎ 又,因此,,‎ 又与不共线,于是有,.‎ 题模四:平面向量的坐标运算 例1.4.1 己知向量=(l,2),=(x,-2),且丄(-),则实数x=______.‎ ‎【答案】 9‎ ‎【解析】 向量=(l,2),=(x,-2),且丄(-),‎ 可得(1,2)•(1-x,4)=0.即9-x=0,解得x=9.‎ 例1.4.2 已知两点,若,则点坐标是   .‎ ‎【答案】 .‎ ‎【解析】 ∵,‎ ‎∴ .‎ 故答案为:.‎ 题模五:平面向量的共线的坐标表示 例1.5.1 已知=(3,2),=(2,-1),若λ+与+λ平行,则λ=____.‎ ‎【答案】 ±1‎ ‎【解析】 ‎ ‎∵=(3,2),=(2,-1)‎ ‎∴λ+=(3λ+2,2λ-1),+λ=(3+2λ,2-λ)‎ ‎∵λ+∥+λ ‎∴(3λ+2)(2-λ)=(2λ-1)(3+2λ)‎ 解得λ=±1‎ 故答案为:±1‎ 例1.5.2 已知向量,,.若,则实数m的值为( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由已知可得,‎ 故,‎ 解得,故选A.‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练1.1 在中,如果D是BC的中点,那么等于( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 如图所示,作,‎ 则,,‎ 所以.‎ 随练1.2 如图,正方形中,为的中点,若,则的值为( )‎ A. 3‎ B. 2‎ C. 1‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意,因为E为DC的中点,所以,‎ 所以,即,所以λ=-1,μ=2,‎ 所以λ-μ=-3.‎ 随练1.3 在中,已知D是AB边上一点,,,则实数( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 如图所示,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,‎ ‎.‎ 故选D.‎ 随练1.4 已知向量=(1,2),向量=(2,m),若+与垂直,则实数m的值为______.‎ ‎【答案】 - ‎【解析】 ∵向量=(1,2),向量=(2,m),‎ ‎∴+=(3,2+m),‎ 又+与垂直,‎ ‎∴(+)•=0,‎ 即1×3+2(2+m)=0,‎ 解得m=-.‎ 随练1.5 已知向量,,若,则______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ,‎ ‎·自我总结·‎ ‎·‎ ‎ ‎ ‎·课后作业·‎ ‎·‎ 作业1 如图,等于( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,故选B.‎ 作业2 如图,在△ABC中,点D在线段BC上,且BD=2DC,若,则=( )‎ A. ‎ B. ‎ C. 2‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ∵BD=2DC,‎ ‎∴=+=+=+(-)=+,‎ ‎∵,∴λ=,μ=,∴=,故选:A 作业3 如果非零向量a与c满足,那么a与c的关系是( )‎ A. 相等 B. 共线 C. 不共线 D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】 对非零向量而言,它们共线的充要条件是存在使得 而 ‎∴与共线.‎ 作业4 已知、,把向量绕点逆时针旋转得到向量,则向量等于( ).‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ,,,故选A.‎ 作业5 设向量=(1,2),=(2,3),若向量λ+与向量=(-4,-7)共线,则λ=____.‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】 ‎ ‎∵a=(1,2),b=(2,3),‎ ‎∴λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3).‎ ‎∵向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,‎ ‎∴-7(λ+2)+4(2λ+3)=0,‎ ‎∴λ=2.‎ 故答案为2‎