高中数学第二章平面解析几何2-5-1椭圆的标准方程课件新人教B版选择性必修第一册 35页

2 . 5 . 1 　 椭圆的标准方程 核心 素养 1 . 掌握椭圆的定义 . ( 数学抽象 ) 2 . 掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程 . ( 逻辑推理 ) 3 . 能根据条件确定椭圆的标准方程 , 掌握待定系数法求椭圆的标准方程 . ( 数学运算 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 在 2 000 多年以前 , 古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线 , 并获得了大量的成果 . 其中数学家阿波罗尼奥斯采用平面截割圆锥的方法来研究这种曲线 , 他的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果 . 下面探究几个最基础的问题 : 激趣诱思 知识点拨 问题 1 　 通过平面截割圆锥的方法你能得到几种曲线 ? 提示 : 用垂直于锥轴的平面去截圆锥 , 得到的是圆 ; 把平面渐渐倾斜 , 就能得到椭圆 ; 当平面倾斜到 “ 和且仅和 ” 圆锥的一条母线平行时 , 得到抛物线 ; 继续用余下的倾斜角度的平面截割 , 可得到双曲线 , 见下图所示 . 问题 2 　 从集合或轨迹的角度 , 类比圆的定义 , 如何定义椭圆 ? 提示 : 平面内与两个定点 F 1 , F 2 的距离之和等于常数 ( 大于 |F 1 F 2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆 . 激趣诱思 知识点拨 1 . 椭圆的 定义 激趣诱思 知识点拨 微思考 椭圆的定义中去掉限制条件后 , 动点 P 的轨迹还是椭圆吗 ? 提示 : 不是 . 当 2 a<|F 1 F 2 | 时 , 动点 P 的轨迹不存在 . 当 2 a=|F 1 F 2 | 时 , 动点 P 的轨迹为线段 F 1 F 2 . 微练习 到两个定点 F 1 ( - 7,0) 和 F 2 (7,0) 的距离之和为 14 的点 P 的轨迹是 ( 　　 ) A. 椭圆 　　　　　　　　　　 B. 线段 C. 圆 D . 以上都不对 解析 : ∵ 点 P 到两定点的距离之和为 14 等于 |F 1 F 2 | , ∴ 轨迹是一条线段 . 答案 : B 激趣诱思 知识点拨 2 . 椭圆的标准 方程   焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准 方程 图形 焦点 坐标 F 1 (-c,0),F 2 (c,0) F 1 (0,-c ),F 2 (0,c ) a,b,c 的关系 b 2 =a 2 -c 2 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1) 在已知椭圆的标准方程解题时 , 应特别注意 a>b> 0 这个条件 . (2) 焦点三角形中常用的关系式 ① |PF 1 |+|PF 2 |= 2 a. 激趣诱思 知识点拨 微 练习 激趣诱思 知识点拨 解析 : (2) 设椭圆的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , 若 |PF 1 |= 2, 结合椭圆定义 |PF 2 |+|PF 1 |= 10, 可得 |PF 2 |= 8 . 答案 : (1)D 　 (2)D 　 ( 3)C 激趣诱思 知识点拨 微思考 能否根据椭圆的标准方程 , 判定焦点位置 ? 提示 : 能 . 根据 x 2 与 y 2 的分母的大小来判定 , 哪个的分母大 , 焦点就在哪个轴上 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 待定系数法求椭圆的标准方程 例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 如果中心在原点 , 但焦点的位置不能明确是在 x 轴上 , 还是在 y 轴上 , 那么方程可以设为 mx 2 +ny 2 = 1( m> 0, n> 0, m ≠ n ), 进而求解 . 2 . 待定系数法求圆锥曲线方程能有力地明晰数学运算的目标性和方向性 , 能较好地体现运用解析法进行数学运算的核心素养 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 定义法求椭圆的标准方程 例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 . (1) 焦点在 y 轴上 , 且经过两个点 (0,2) 和 (1,0); 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 用定义法求椭圆的标准方程 , 先根据椭圆定义 , 确定 a 2 , b 2 的值 , 再结合焦点位置写出椭圆的标准方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 (0,5),(0, - 5), 椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26, 求满足条件的椭圆的标准方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 椭圆定义的应用 例 3 如图所示 , 已知动圆 P 过定点 A ( - 3,0), 并且在定圆 B :( x- 3) 2 +y 2 = 64 的内部与其内切 , 求动圆圆心 P 的轨迹方程 . 解 : 设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M , 动圆圆心 P 到两定点 A ( - 3,0) 和 B (3,0) 的距离之和恰好等于定圆半径 , 即 |PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|= 8 >|AB| , 所以动圆圆心 P 的轨迹是以 A , B 为左、右 焦点 的 椭圆 , 其中 c= 3, a= 4, b 2 =a 2 -c 2 = 4 2 - 3 2 = 7 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个 步骤 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 (1) 椭圆上一点 P ( 不与焦点共线 ) 与椭圆的两个焦点 F 1 , F 2 构成的 △ PF 1 F 2 称为焦点三角形 . 解关于椭圆的焦点三角形的问题 , 通常要利用椭圆的定义 , 再结合正弦定理、余弦定理等知识求解 . (2) 焦点三角形的常用公式 ① 焦点三角形的周长 L= 2 a+ 2 c . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若将例 4 中 “ ∠ F 1 PF 2 = 60 ° ” 变为 “ ∠ PF 1 F 2 = 90 ° ”, 求 △ F 1 PF 2 的面积 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3) 由直线 AB 过椭圆的一个焦点 F 1 , 知 |AB|=|F 1 A|+|F 1 B| , 所以在 △ F 2 AB 中 , |F 2 A|+|F 2 B|+|AB|= 4 a= 20, 又 |F 2 A|+|F 2 B|= 12, 所以 |AB|= 8 . 答案 : (1)C 　 (2)A 　 (3)8 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 易错点 —— 因对椭圆的标准方程认识不清而致 错 错因分析 错解中没有注意到椭圆方程中 a>b> 0 这一条件 , 当 a=b 时 , 方程并不表示椭圆 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 已知椭圆的焦点为 ( - 1,0) 和 (1,0), 点 P (2,0) 在椭圆上 , 则椭圆的方程为 ( 　　 ) 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 若方程 x 2 +ky 2 = 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆 , 那么实数 k 的取值范围是 ( 　　 ) A.(0, +∞ ) B.(0,2) C.(1, +∞ ) D.(0,1) 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : 4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 如图所示 , 在圆 C :( x+ 1) 2 +y 2 = 25 内有一点 A (1,0) .Q 为圆 C 上任意一点 , 线段 AQ 的垂直平分线与 C , Q 的连线交于点 M , 当点 Q 在圆 C 上运动时 , 求点 M 的轨迹方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 如图所示 , 连接 MA. 由题意知点 M 在线段 CQ 上 , 从而有 |CQ|=|MQ|+|CM|. 又点 M 在 AQ 的垂直平分线上 , 则 |MA|=|MQ| , 故 |MA|+|MC|=|CQ|= 5 >|AC|= 2 . 又 A (1,0), C ( - 1,0), 故点 M 的轨迹是以 (1,0),( - 1,0) 为焦点的椭圆 , 且 2 a= 5, c= 1 ,