2018年山东省日照市高考一模试卷数学文 15页

2018 年山东省日照市高考一模试卷数学文 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={0，1，2，3}，B={x|-1≤x＜3}，则 A∩B=( ) A.{1，2} B.{0，1，2} C.{0，1，2，3} D.∅ 解析：∵集合 A={0，1，2，3}，B={x|-1≤x＜3}，∴A∩B={0，1，2}. 答案：B 2.若复数 z满足(1+2i)z=(1-i)，则|z|=( ) A. 2 5 B. 3 5 C. 10 5 D. 10 解析：由(1+2i)z=(1-i)，得         1 1 21 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 5 5 5 i ii i z i i i i              ， 则 2 2 1 3 10 5 5 5 z                  ． 答案：C 3.已知倾斜角为θ 的直线 l与直线 x+2y-3=0垂直，则 sin2θ 的值为( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 1 5 D. 1 5  解析：直线 l与直线 x+2y-3=0垂直，∴ 1 2 1 2 l k     .∴tanθ =2. ∴ 2 2 2 2 sin cos 2 tan 4 sin 2 2 sin cos sin cos tan 1 5                ． 答案：B 4.函数 y=cos2(x+ 4  )是( ) A.周期为π 的奇函数 B.周期为π 的偶函数 C.周期为 2π 的奇函数 D.周期为 2π 的偶函数 解析：函数 y=cos2(x+ 4  )=-sin2x，故它是奇函数，且它的最小正周期为 2 2  =π . 答案：A 5.设 a=2 0.1 ， 3 5 9 lg log 2 10 b c ， ，则 a，b，c的大小关系是( ) A.b＞c＞a B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.a＞b＞c 解析：∵2 0.1 ＞2 0 =1=lg10＞ 3 5 9 lg 0 log 2 10 ＞ ＞ ，∴a＞b＞c. 答案：D 6.“m＜0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：∵m＜0，函数 f(x)=m+log2x(x≥1)， 又 x≥1，log2x≥0，∵y=log2x在 x≥1上为增函数，求 f(x)存在零点， 要求 f(x)＜0，必须要求 m＜0，∴f(x)在 x≥1上存在零点； 若 m=0，代入函数 f(x)=m+log2x(x≥1)， 可得 f(x)=log2x，令 f(x)=log2x=0，可得 x=1，f(x)的零点存在， ∴“m＜0”是“函数 f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点”充分不必要条件. 答案：A 7.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体 积为( ) A. 16 3  B. 11 2  C. 17 3  D. 35 6  解析：该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个 1 4 圆锥，然后挖掉一个相同的 1 4 圆锥， 所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此 32 16 . 3 3 V r   答案：A 8.函数 sin 2 2 2 2 x x x y            的图象大致为( ) A. B. C. D. 解析：令函数     sin 2 cos 2 cos 22 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x y f x f x                     ， ， 所以函数 f(x)是奇函数，故排除选项 A， 又在区间(0， 4  )时，f(x)＞0， 故排除选项 B，当 x→+∞时，f(x)→0，故排除选项 C. 答案：D 9.已知 A，B是圆 O：x 2 +y 2 =4上的两个动点， 1 2 2 3 3 AB OC OA OB  ， ，若 M是线段 AB的 中点，则O C O M 的值为( ) A. 3 B. 2 3 C.2 D.3 解析：由   1 2 1 3 3 2 OC OA OB OM OA OB   ， ， 所以   2 21 2 1 1 1 1 3 3 2 6 3 2 OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB                ， 又△OAB为等边三角形，所以O A O B =2×2×cos60°=2. 2 21 1 1 1 1 1 4 4 2 3 6 3 2 6 3 2 OC OM OA OB OA OB            ， 则O C O M 的值为：3. 答案：D 10.习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图 1，“大 衍数列”：0，2，4，8，12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主 要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾 经经历过的两仪数量总和.图 2 是求大衍数列前 n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入 m=6，则输出的 S=( ) A.26 B.44 C.68 D.100 解析：第一次运行，n=1，a=0，S=0，不符合 n≥m，继续运行， 第二次运行，n=2，a=2，S=2，不符合 n≥m，继续运行， 第三次运行，n=3，a=4，S=6，不符合 n≥m，继续运行， 第四次运行，n=4，a=8，S=14，不符合 n≥m，继续运行， 第五次运行，n=5，a=12，S=26，不符合 n≥m，继续运行， 第六次运行，n=6，a=18，S=44，符合 n≥m，输出 S=44. 答案：B 11.设 F1、F2 是双曲线 C： 2 2 2 2 1 x y a b   (a＞0，b＞0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若 |PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为 30°，则双曲线 C的渐近线方程是( ) A.x± 2 y=0 B. 2 x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 解析：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|-|PF2|=2a， 又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a.则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为 30°， ∴|PF2| 2 =|PF1| 2 +|F1F2| 2 -2|PF1|·|F1F2|cos30°， ∴(2a) 2 =(4a) 2 +(2c) 2 -2×4a×2c× 3 2 ， 同时除以 a 2 ，化简 e 2 -23e+3=0，解得 2 2 3 3 3 2e c a b a a a      ， ， ， ∴双曲线 C： 2 2 2 2 1 x y a b   的渐近线方程为 2 b y x x a     ，即 2 x±y=0. 答案：B 12.已知函数 f(x)=ax-a 2 -4(a＞0，x∈R)，若 p 2 +q 2 =8，则     f q f p 的取值范围是( ) A.(-∞，2- 3 ) B.[2+ 3 ，+∞) C.( 2 23 3 ， ) D.[ 2 23 3 ， ] 解析：         2 2 44 4 4 f q q a aaq a f p ap a p a a          ， 表示点 A(p，q)与 B( 4 4 a a a a  ， )连线的斜率. 又 a+ 4 a ≥4，故取点 E(4，4)， 当 AB与圆的切线 EC重合时取最小值，可求 kEC=tan15°=2- 3 ，∴则     f q f p 的最小值为 2- 3 ； 当 AB与圆的切线 ED重合时取最大值，可求 kED=tan75°=2+ 3 ，则     f q f p 最大值为 2+ 3 ； 故     f q f p 的取值范围是：[ 2 23 3 ， ]. 答案：D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 13.已知实数 x，y满足 1 0 2 4 0 0 x y x y x             ， ， ， 则 z=x+2y 的最小值为 . 解析：由约束条件 1 0 2 4 0 0 x y x y x             ， ， ， 作出可行域如图， 联立 1 0 2 4 0 x y x y          ， ， 解得 A(1，2)， 化目标函数 z=x+2y为 2 2 x z y    ，由图可知， 当直线 2 2 x z y    ，过 A时，直线在 y轴上的截距最小，z有最小值为 5. 答案：5 14.在△ABC中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c.若 b=1， 2 3 3 c C    ， ，则△ABC 的面积为 . 解析：∵b=1， 2 3 3 c C    ， ， ∴由余弦定理得 c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC，即 a 2 +1-2a×( 1 2  )=3，解得 a=1， 再由三角形面积公式得 1 3 sin 2 4 ABC S ab C  ． 答案： 3 4 15.已知双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   (a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线 y 2 =4x的准线分别交于 A，B 两点，O为坐标原点，若 S△AOB=2 3 ，则双曲线的离心率 e= . 解析：双曲线的渐近线方程是 b y x a   ，当 x=-1 时，y= b a  ，即 A(-1， b a )，B(-1，- b a )， 所以 S△AOB= 1 2 3 1 2 2 b a     ，即 32 b a  ，所以 2 2 1 2 b a  ，即 2 2 2 1 2 c a a   ，所以 2 2 13 c a  ．所以 e= 13 . 答案： 13 16.若函数 y=f(x)满足：对于 y=f(x)图象上任意一点 P，在其图象上总存在点 P′，使得 O P O P  =0 成立，称函数 y=f(x)是“特殊对点函数”.给出下列五个函数：①y=x -1 ；② y=e x -2(其中 e 为自然对数的底数)；③y=lnx；④y=sinx+1；⑤ 2 1y x  .其中是“特殊 对点函数”的序号是 .(写出所有正确的序号) 解析：设点 P(x1，f(x1))，点 P′(x2，f(x2))， 由O P O P  =0，得 x1x2+f(x1)f(x2)=0，即O P O P ； 对于①，当 P(1，1)时，满足O P O P 的 P′(-1，1)不在 f(x)的图象上，∴①不是“特 殊对点函数”，如图所示； 对于②，作出函数 y=e x -2的图象，如图所示， 由图象知满足O P O P 的点 P′(x2，f(x2))都在 y=f(x)图象上，∴②是“特殊对点函数”； 对于③，如图所示，当取点 P(1，0)时，满足O P O P 的 P′不在 f(x)的图象上， ∴③不是“特殊对点函数”； 对于④，作出函数 y=sinx+1 的图象如图所示，由图象知， 满足O P O P 的点 P′(x2，f(x2))都在 y=f(x)图象上，∴④是“特殊对点函数”； 对于⑤，作出函数 y= 2 1 x 的图象如图所示，由图象知，满足O P O P 的点 P′(x2，f(x2)) 都在 y=f(x)图象上，∴⑤是“特殊对点函数”. 综上，正确的命题序号是②④⑤. 答案：②④⑤ 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.已知等差数列{an}的公差 d＞0，其前 n项和为 Sn，且 a2+a4=8，a3，a5，a8成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 1 1 n n n b a a    ，求数列{bn}的前 n项和 Tn. 解析：(1)运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，可得首项、公差的方程组，解 方程，即可得到所求通项公式； (2)求得     1 1 1 1 1 1 2 1 2 n n n b a a n n n n           ，运用分组求和和裂项相消求和， 化简整理即可得到所求和. 答案：(1)因为 a2+a4=8，即 2a3=8，a3=4即 a1+2d=4，① 因为 a3，a5，a8成等比数列，则 a5 2 =a3a8， 即(a1+4d) 2 =(a1+2d)(a1+7d)，化简得 a1=2d②， 联立①和②得 a1=2，d=1，所以 an=2+n-1=n+1； (2)因为     1 1 1 1 1 1 2 1 2 n n n b a a n n n n           ， 所 以 数 列 {bn} 的 前 n 项 和 Tn= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1 1 2 2 2 2 4 n n n n n n n                 ． 18.如图，在几何体 ABCDE中，DA⊥平面 EAB，EA⊥AB，CB∥DA，F为 DA上的点，EA=DA=AB=2CB， M是 EC的中点，N为 BE的中点. (1)若 AF=3FD，求证：FN∥平面 MBD； (2)若 EA=2，求三棱锥 M-ABC的体积. 解析：(1)连接 MN，推导出四边形 MNFD为平行四边形，从而 FN∥MD，由此能证明 FN∥平面 MBD. (Ⅱ)连接AN，MN，则AN⊥BE，DA⊥AN，MN∥DA，从而AN⊥面EBC，三棱锥M-ABC的体积VM-ABC=VA-MBC. 答案：(1)连接 MN，∵M，N分别是 EC，BE的中点， ∴MN∥CB，且 1 1 2 4 M N CB D A  ，又 AF=3FD，∴FD= 1 4 DA，∴MN=FD， 又 CB∥DA，∴MN∥DA，即，MN∥FD，∴四边形 MNFD为平行四边形， ∴FN∥MD，又 FN 平面 MBD，MD 平面 MBD，∴FN∥平面 MBD. 答案：(Ⅱ)连接 AN，则 AN⊥BE，DA⊥AN，MN∥DA，∴AN⊥面 EBC，又在△ABC中，AN= 2 ， 1 1 1 2 2 2 2 2 2 M BC S      ，∴三棱锥 M-ABC 的体积 VM-ABC=VA-MBC= 21 1 3 2 3 2   ． 19.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车 共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的 关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 50人就该城市共享单车的推行情 况进行问卷调查，并将问卷中的这 50 人根据其满意度评分值(百分制)按照[50，60)，[60， 70)，…，[90，100]分成 5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布 直方图(如图所示)解决下列问题： (1)求出 a，b，x，y的值； (2)若在满意度评分值为[80，100]的人中随机抽取 2人进行座谈，求 2人中至少一人来自第 5组的概率. 解析：(1)利用频率分布表和频率分布直方图的性质直接求解. (2)第 4组共有 4人，第 5组共有 2人，设第 4组的 4人分别为 a1，a2，a3，a4，第 5组的 2 人分别为 b1，b2，从中任取 2人，利用列举法能求出所抽取 2人中至少一人来自第 5组的概 率. 答案：(1)由题意可知，b= 2 50 =0.04；∴[80，90)内的频数为 2× 0.08 0.04 =4， ∵样本容量 n=50，∴a=50-8-20-4-2=16， 又[60，70)内的频率为 16 0.32 0.32 0.032 50 10 x   ， ， ∵[90，100]内的频率为 0.04，∴ 0.04 0.004 10 y   ． (2)由题意可知，第 4 组共有 4人，第 5组共有 2 人， 设第 4 组的 4 人分别为 a1，a2，a3，a4，第 5 组的 2 人分别为 b1，b2，则从中任取 2 人，所 有基本事件为：(a1，a2)、(a1，a3)、(a1，a4)、(a1，b1)、(a1，b2)、(a2，a3)、(a2，a4)、(a2， b1)、(a2，b2)、(a3，a4)、(a3，b1)、(a3，b2)、(a4，b1)、(a4，b2)、(b1，b2)，共 15个. 又至少一人来自第 5 组的基本事件有：(a1，b1)、(a1，b2)、(a4，b1)、(a4，b2)、(b1，b2)、 (a2，b2)、(a3，b1)、(a3，b2)、(a2，b1)共 9个，∴P= 9 3 15 5  ． 故所抽取 2人中至少一人来自第 5组的概率为 3 5 . 20.已知椭圆 C： 2 2 2 2 1 x y a b   (a＞b＞0)的焦距为 2 3 ，且 C 与 y 轴交于 A(0，-1)，B(0， 1)两点. (1)求椭圆 C的标准方程； (2)设 P 点是椭圆 C上的一个动点且在 y 轴的右侧，直线 PA，PB与直线 x= 3 交于 M，N两 点.若以 MN为直径的圆与 x轴交于 E，F两点，求 P点横坐标的取值范围. 解析：(1)由题意可得，b=1，c=3，再由 a，b，c 的关系，解得 a=2，进而得到椭圆方程； (2)设 P(x0，y0)(0＜x0≤2)，A(0，-1)，B(0，1)，求出直线 PA，PB的方程，与直线 x=3的 交点 M，N，可得 MN的中点，圆的方程，令 y=0，求得与 x轴的交点坐标，即可求出范围. 答案：(1)由题意可得，b=1，c= 3 ，∴a 2 =c 2 +b 2 =4，∴椭圆 C的标准方程为 2 2 1 4 x y  ． (2)设 P(x0，y0)(0＜x0≤2)，A(0，-1)，B(0，1)， ∴ 0 0 1 PA y k x   ，直线 PA的方程为 0 0 1 1 y y x x    ， 同理得直线 PB的方程为 0 0 1 1 y y x x    ， 直线 PA与直线 x=3的交点为 M(3，  0 0 3 1 1 y x   )， 直 PB与直线 x=3的交点为 N(3，  0 0 3 1 +1 y x  )， 线段 MN的中点(3， 0 0 3 y x )， ∴圆的方程为(x-3) 2 + 2 2 0 0 0 3 3 1 y y x x                ， 令 y=0，则(x-3) 2 + 2 2 0 0 0 3 3 1 y x x               ， ∵   2 220 0 0 13 6 1 3 4 4 x y x x      ， ， ∵这个圆与 x轴相交，∵该方程有两个不同的实数解， 则 0 13 6 4 x  ＞0，又 0＜x0≤2，解得 24 13 ＜x0≤2故 P点横坐标的取值范围为( 24 13 ，2]. 21.已知函数 g(x)=ax-a-lnx，f(x)=xg(x)，且 g(x)≥0. (1)求实数 a的值； (2)证明：存在 x0，f′(x0)=0且 0＜x0＜1时，f(x)≤f(x0). 解析：(1)由题意知 g(x)的定义域为(0，+∞)，g′(x)=a- 1 x ，x＞0.由 g(x)≥0且 g(1)=0， 故只需 g′(1)=0.从而 a=1.当 a=1，则 g′(x)=1- 1 x .g(x)在(1，+∞)上单调递增.x=1是 g(x) 的唯一极小值点，由此能求出 a的值. (2)f(x)=x 2 -x-xlnx，f′(x)=2x-2-lnx.设 h(x)=2x-2-lnx，则 h′(x)=2- 1 x .利用导数性质 推导出 x=x0是 f(x)在(0，1)的最大值点，由此能证明存在 x0，f′(x0)=0 且 0＜x0＜1 时， f(x)≤f(x0). 答案：(1)由题意知 g(x)的定义域为(0，+∞)，而对 g(x)求导得 g′(x)=a- 1 x ，x＞0. 因为 g(x)≥0且 g(1)=0，故只需 g′(1)=0. 又 g′(1)=a-1，所以 a-1=0，得 a=1. 若 a=1，则 g′(x)=1- 1 x .当 0＜x＜1时，g′(x)＜0，此时 g(x)在(0，1)上单调递减； 当 x＞1，g′(x)＞0，此时 g(x)在(1，+∞)上单调递增. 所以 x=1是 g(x)的唯一极小值点，故 g(x)≥g(1)=0. 综上，所求 a的值为 1. (2)由(1)知 f(x)=x 2 -x-xlnx，f′(x)=2x-2-lnx. 设 h(x)=2x-2-lnx，则 h′(x)=2- 1 x . 当 x∈(0， 1 2 )时，h′(x)＜0；当 x∈( 1 2 ，+∞)时，h′(x)＞0， 所以 h(x)在(0， 1 2 )上单调递减，在( 1 2 ，+∞)上单调递增. 又 h(e-2)＞0，h( 1 2 )＜0，h(1)=0，所以 h(x)在(0， 1 2 )有唯一零点 x0，在[ 1 2 ，+∞)有唯 一零点 1， 且当 x∈(0，x0)时，h(x)＞0；当 x∈(x0，1)时，h(x)＜0， 因为 f′(x)=h(x)，所以 x=x0是 f(x)的唯一极大值点. 即 x=x0是 f(x)在(0，1)的最大值点，所以 f(x)≤f(x0)成立. 22.在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 4 cos 2 4 sin x a y a     ， (a为参数)，以 O为极 点，以 x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为θ =π 6(ρ ∈R). (1)求曲线 C的极坐标方程； (2)设直线 l与曲线 C 相交于 A，B两点，求|AB|的值. 解析：(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化. (2)利用一元二次方程根和系数的关系，进一步求出求出弦长. 答案：(1)曲线 C的参数方程为 4 cos 2 4 sin x a y a     ， ， 得曲线 C的普通方程：x 2 +y 2 -4x-12=0， 所以曲线 C的极坐标方程为：ρ 2 -4ρ cosθ =12. (2)设 A，B两点的极坐标方程分别为(ρ 1， 6  )，(ρ 2， 6  )，|AB|=|ρ 1-ρ 2|， 又 A，B在曲线 C上，则ρ 1，ρ 2是ρ 2 -4ρ cosθ -12=0的两根 ∴ρ 1+ρ 2=2 3 ，ρ 1ρ 2=-12，所以：|AB|=|ρ 1-ρ 2|= 2 15. 23.已知函数 f(x)=|x-a|+2|x-1|. (1)当 a=2时，求关于 x的不等式 f(x)＞5的解集； (2)若关于 x的不等式 f(x)≤|a-2|有解，求 a的取值范围. 解析：(1)通过对 x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式 f(x)＞5的解集； (2)由|x-a|+|x-1|≥|a-1|，可得 f(x)=|x-a|+2|x-1|≥|a-1|+|x-1|≥|a-1|，从而得到 f(x) 的最小值为|a-1|，又|a-1|≤|a-2|，求解即可得实数 a的取值范围. 答案：(1)当 a=2时，不等式为|x-2|+2|x-1|＞5， 若 x≤1，则-3x+4＞5，即 x＜ 1 3  ， 若 1＜x＜2，则 x＞5，舍去， 若 x≥2，则 3x-4＞5，即 x＞3， 综上，不等式的解集为(-∞， 1 3  )∪(3，+∞)； (2)∵|x-a|+|x-1|≥|a-1|，∴f(x)=|x-a|+2|x-1|≥|a-1|+|x-1|≥|a-1|， 得到 f(x)的最小值为|a-1|， 又|a-1|≤|a-2|，∴a≤ 3 2 .∴a的取值范围为(-∞， 3 2 ].