【数学】2019届一轮复习苏教版第2章函数概念与基本初等函数I第12讲学案 15页

第12讲　函数与方程 考试要求　函数的零点与方程根的关系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断(B级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　)‎ ‎(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　　)‎ ‎(4)当x>0时，函数y＝2x与y＝x2的图象有两个交点.(　　)‎ 解析　(1)函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标，故(1)错；(2)函数f(x)＝x2在区间(－1，1)内有零点，且函数图象连续，但f(－1)·f(1)>0.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(必修1P111复习13改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________.‎ 解析　∵f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，‎ ‎∴f(x)在(－1，0)内有零点，又f(x)为增函数，‎ ‎∴函数f(x)有且只有一个零点.‎ 答案　1‎ ‎3.(教材改编)已知f(x)＝ax2＋bx＋c的零点为1，3，则函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴是________.‎ 解析　∵y＝a(x－1)(x－3)＝a(x－2)2－a，‎ ‎∴对称轴为x＝2.‎ 答案　x＝2‎ ‎4.(2018·泰州联考)若x1，x2是方程2x＝的两个实根，则x1＋x2＝________.‎ 解析　∵2x＝，‎ ‎∴2x＝2－1，‎ ‎∴x＝－1即x2＋x－1＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎5.(2018·苏北四市调研)函数f(x)＝的零点个数是________.‎ 解析　当x＞0时，令g(x)＝ln x，‎ h(x)＝x2－2x.‎ 画出g(x)与h(x)的图象如图：‎ 故当x＞0时，f(x)有2个零点.‎ 当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－，综上函数f(x)的零点个数为3.‎ 答案　3‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数的零点 ‎(1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点.‎ ‎(2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.‎ ‎(3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个 c也就是方程f(x)＝0的根.‎ ‎2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎(a>0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1，0)，(x2，0)‎ ‎(x1，0)‎ 无交点 零点个数 两个 一个 零个 考点一　函数零点的确定 ‎【例1】 (1)(2018·盐城调研)已知函数f(x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是________(填序号).‎ ‎①(0，1)；②(1，2)；③(2，3)；④(3，4).‎ ‎(2)(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.‎ 解析　(1)∵f(x)＝ln x－在(0，＋∞)为增函数，又f(1)＝ln 1－＝ln 1－2<0，‎ f(2)＝ln 2－<0，f(3)＝ln 3－>0，‎ ‎∴x0∈(2，3).‎ ‎(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示.‎ 由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.‎ 答案　(1)③　(2)4‎ 规律方法　(1)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.‎ ‎(2)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.‎ ‎(3)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.‎ ‎【训练1】 (1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中包含f(x)零点的区间是________(填序号).‎ ‎①(0，1); ②(1，2)；‎ ‎③(2，4); ④(4，＋∞).‎ ‎(2)(教材改编)已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数为________.‎ ‎(3)(2018·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________.‎ 解析　(1)因为f(x)在定义域上为减函数，f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4).‎ ‎ (2)令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，如图所示，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.‎ ‎(3)当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.‎ 答案　(1)③　(2)2　(3)0‎ 考点二　二次函数的零点问题 ‎【例2】 已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1，2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；‎ ‎(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1，2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1，2]，‎ 所以a＝－3，于是f(x)＝x2－3x＋2.‎ 由f(x)≥1－x2，得2x2－3x＋1≥0，‎ 解得x≤或x≥1，‎ 所以不等式f(x)≥1－x2的解集为.‎ ‎(2)函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1，2)上有两个不同的零点，则即 解得－5＜a＜－2.‎ 所以实数a的取值范围是(－5，－2).‎ 规律方法　解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·东海中 期中)若函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________.‎ ‎(2)(2018·泰州中 质检)关于x的一元二次方程x2＋2(m＋3)x＋2m ‎＋14＝0有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是________.‎ 解析　(1)题目转化为求方程f(x)＝x的根，‎ 所以或 解得x＝1＋或x＝1，‎ 所以g(x)的零点为1＋或1.‎ ‎(2)设f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14，‎ 由题设可得 所以m<－.‎ 答案　(1)1＋或1　(2)(－∞，－)‎ 考点三　函数零点的应用(典例迁移)‎ ‎【例3】 (经典母题)已知f(x)＝|x2＋3x|，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________.‎ 解析　作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如下：‎ 当x＝－时，y1＝；当x＝0或x＝－3时，y1＝0，‎ 由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，00.‎ 在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示.‎ 由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，‎ 所以有两组不同解，‎ 消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，‎ 所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，‎ 解得a<1或a>9.‎ 又由图象得a>0，∴09.‎ 答案　(0，1)∪(9，＋∞)‎ ‎【迁移探究2】 (2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　作出函数y＝f(x)与y＝a的图象，根据图象交点个数得出a的取值范围.‎ 作出函数y＝f(x)在[－3，4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得00，则f(x)＝2x3＋3x2＋m在[0，1]单调递增，又函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个不同的交点，所以在区间[0，1]和(1，＋∞)上分别有一个交点，则f(0)＝m<0，且f(1)＝m＋5>0，解得－50有两个与0，－a不同的根，此时g[f(x)]＝0共有四个不同根；当a>0时，x＝0，x＝－a<0，－>－⇒a>2，所以a的取值范围是a<0或a>2.‎ 答案　(－∞，0)∪(2，＋∞)‎ ‎6.(2018·苏州调研)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________.‎ 解析　由题意得g(x)＝ 又函数g(x)恰有三个不同的零点，所以方程g(x)＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即11时，如图(3)所示，符合题意.‎ 故a<0或a>1.‎ 答案　(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ ‎8.(2018·南通、徐州第一次 情调研)已知函数f(x)＝x3＋mx＋，g(x)＝－ln x.min{a，b}表示a，b中的最小值，若函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)恰有三个零点，则实数m的取值范围是________.‎ 解析　∵f(x)＝x3＋mx＋，∴f′(x)＝3x2＋m，‎ 若m≥0，则f′(x)≥0恒成立，函数f(x)＝x3＋mx＋至多有一个零点，‎ 此时h(x)不可能有3个零点，故m<0，‎ 令f′(x)＝0，得x＝±，‎ 易求得g(1)＝0，‎ 若h(x)有3个零点，‎ 则 即 解得－0.‎ 又∵a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4，且f(1)＝－4a，‎ ‎∴f(x)min＝－4a＝－4，a＝1.‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.‎ ‎(2)∵g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)，‎ ‎∴g′(x)＝1＋－＝ 令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.‎ 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0，1)‎ ‎1‎ ‎(1，3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ g′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎  极大值  极小值  当03，‎ 又g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.‎ 故函数g(x)只有1个零点且零点x0∈(3，e5).‎ 二、选做题 ‎11.(2017·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是________.‎ 解析　　由于f(x)∈[0，1)，则只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，x∈Q，且x∉ 时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质.若lg x∈Q，则由lg x∈(0，1)，可设lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质.因此10＝，10n＝，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此lg x∉Q，因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只考虑lg x与每个周期x∉D部分的交点，画出函数草图如图.‎ 图中交点除(1，0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D部分，且x＝1处(lg x)′＝，因<1，则在x＝1附近仅有一个交点(1，0)，因此方程解的个数为8个.‎ 答案　8‎ ‎12.(2018·南通阶段检测)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 解　令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9＋＞0恒成立，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可.‎ f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，∴a≤－或a≥1.‎ 检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.‎ 令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.‎ 方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.‎ ‎(2)当f(3)＝0时，a＝－，‎ 此时f(x)＝x2－x－.‎ 令f(x)＝0，即x2－x－＝0，‎ 解得x＝－或x＝3.‎ 方程在[－1，3]上有两个实数根，‎ 不合题意，故a≠－.‎ 综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞).‎