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- 2021-06-11 发布
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选修 4-4 Error!坐标系与参数方程
第一节 坐 标 系
本节主要包括 2 个知识点: 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换;2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
[基本知识]
设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:Error!的作用下,点 P(x,y)
对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
[基本能力]
1.判断题
(1) 平 面 直 角 坐 标 系 中 点 P( - 2,3) 在 变 换 φ : Error! 的 作 用 下 得 到 的 点 为 P′( -
1,1).( )
(2)已知伸缩变换 φ:Error!经 φ 变换得到点 A′(2,4),则原来点的坐标为 A(4,-2).( )
答案:(1)√ (2)×
2.填空题
(1) 直 线 l : x - 2y + 3 = 0 经 过 φ : Error! 变 换 后 得 到 的 直 线 l′ 方 程 为
________________.
解析:设 l′上的任一点 P(x′,y′)由题得Error!代入 x-2y+3=0 得 x′-y′+3=
0,直线 l′的方程为 x-y+3=0.
答案:x-y+3=0
(2)已知平面直角坐标系中点 A(-2,4)经过 φ 变换后得 A′的坐标为(-1
2,2),则伸缩变
换 φ 为________.
解析:设伸缩变换 φ:Error!
则有Error!解得Error!∴φ:Error!
答案:φ:Error!
[全析考法]
平面直角坐标系下图形的伸缩变换
[典例] 求双曲线 C:x2-y2
64=1 经过 φ:Error!变换后所得曲线 C′的焦点坐标.
[解] 设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′),
由题意,将Error!代入 x2-y2
64=1
得x′2
9 -4y′2
64 =1,
化简得x′2
9 -y′2
16 =1,
即x2
9 -y2
16=1 为曲线 C′的方程,可见经变换后的曲线仍是双曲线,
则所求焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0).
[方法技巧]
应用伸缩变换公式时的两个注意点
(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区
分变换前的点 P 的坐标(x,y)与变换后的点 P′的坐标(x′,y′),再利用伸缩变换公式Error!
建立联系.
(2)已知变换后的曲线方程 f(x,y)=0,一般都要改写为方程 f(x′,y′)=0,再利用换
元法确定伸缩变换公式.
[全练题点]
1.求直线 l:y=6x 经过 φ:Error!变换后所得到的直线 l′的方程.
解:设直线 l′上任意一点 P′(x′,y′),
由题意,将Error!代入 y=6x 得 2y′=6×(
1
3x′ ),
所以 y′=x′,即直线 l′的方程为 y=x.
2.在同一平面直角坐标系中,将直线 x-2y=2 变成直线 2x′-y′=4,求满足图象
变换的伸缩变换.
解:设变换为Error!代入第二个方程,得 2λx-μy=4,与 x-2y=2 比较系数得 λ=1,μ=
4,即Error!因此,经过变换Error!后,直线 x-2y=2 变成直线 2x′-y′=4.
3.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换Error!后,曲线 C:x2+y2=36 变为何种曲
线,并求曲线的焦点坐标.
解:设圆 x2+y2=36 上任一点为 P(x,y),伸缩变换后对应点的坐标为 P′(x′,y′),
则Error!所以 4x′2+9y′2=36,
即x′2
9 +y′2
4 =1.
所以曲线 C 在伸缩变换后得椭圆x2
9 +y2
4=1,
其焦点坐标为(± 5,0).
突破点(二) 极坐标系
[基本知识]
1.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点 O,点 O 叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox,Ox 叫
做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),
这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标
一般地,没有特殊说明时,我们认为 ρ≥0,θ 可取任意实数.
(3)点与极坐标的关系
一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2 π)( ∈ )表示同一个点,特别地,极点 O 的坐标为(0,
θ)(θ∈R),和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定 ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ) 表示;
同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.
2.极坐标与直角坐标的互化
点 M 直角坐标(x,y) 极坐标(ρ,θ)
互化公式 Error! Error!
[基本能力]
1.判断题
(1)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ.( )
(2)tan θ=1 与 θ=π
4表示同一条曲线.( )
(3)点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示为(2,3π
4 ).( )
答案:(1)× (2)× (3)√
2.填空题
(1)点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的极坐标为________.
解析:因为点 P(1,- 3)在第四象限,与原点的距离为 2,且 OP 与 x 轴所成的角为-
π
3,所以点 P 的极坐标为(2,-π
3).
答案:(2,-π
3)(2)在极坐标系中,圆 ρ=2cos θ 在点 M(2,0)处的切线的极坐标方程为________.
解析:如图,∵ρ=2cos θ,∴ρ2=2ρcos θ,化为直角坐标方程为 x2
+y2=2x.由图象可知圆在点 M(2,0)处的切线的直角坐标方程为 x=2,
即 ρcos θ=2.
答案:ρcos θ=2
(3)在极坐标系中 A(2,-π
3),B (4,2π
3 )两点间的距离为________.
解析:法一:在极坐标系中,A,B 两点如图所示,|AB|=|OA|+
|OB|=6.
法 二 : A(2,-π
3),B (4,2π
3 )的直角坐 标为 A(1,- 3),B(-
2,2 3).
∴|AB|= (-2-1)2+(2 3+ 3)2= 36=6.
答案:6
(4)圆 ρ=5cos θ-5 3sin θ 的圆心的极坐标为________.
解析:将方程 ρ=5cos θ-5 3sin θ 两边都乘以 ρ 得:
ρ2=5ρcos θ-5 3ρsin θ,
化成直角坐标方程为 x2+y2-5x+5 3y=0.
圆心的坐标为(
5
2,-5 3
2 ),化成极坐标为(5,5π
3 ).
答案:(5,5π
3 )(答案不唯一)
(5)在极坐标系中,直线 ρsin(θ+π
4 )=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为________.
解析:直线 ρsin(θ+π
4 )=2 可化为 x+y-2 2=0,圆 ρ=4 可化为 x2+y2=16,由圆中
的弦长公式得 2 r2-d2=2 42-
(
2 2
2 )2=4 3.
答案:4 3
[全析考法]
极坐标与直角坐标的互化
1.极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
第一步
判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合,且极轴与 x 轴正半轴是否重合,
若上述两个都重合,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化
第二步
通过极坐标方程的两边同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos θ,ρsin θ,ρ2 的形式,一定要
注意变形过程中方程要保持同解,不要出现增解或漏解
第三步
根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式Error!及 ρ2=x2+y2 将极坐标方程转
化为直角坐标方程
2.直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标
(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单,只需将直角坐标方程中的 x,y 分别用 ρcos
θ,ρsin θ 代替即可得到相应极坐标方程.
(2)求直角坐标系中的点(x,y)对应的极坐标的一般步骤:
[例 1] 在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直线 l:ρsin(θ-π
4 )= 2
2 .
(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程;
(2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.
[解] (1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
圆 O 的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,即 x2+y2-x-y=0,直线 l:ρsin(θ-π
4 )= 2
2 ,
即 ρsin θ-ρcos θ=1,
则直线 l 的直角坐标方程为:y-x=1,即 x-y+1=0.
(2)由Error!得Error!
则直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1,π
2 ).
[方法技巧]
1.应用互化公式的三个前提条件
(1)取直角坐标系的原点为极点.
(2)以 x 轴的正半轴为极轴.
(3)两种坐标系规定相同的长度单位.
2.直角坐标化为极坐标时的两个注意点
(1)根据终边相同的角的意义,角 θ 的表示方法具有周期性,故点 M 的极坐标(ρ,θ)的
形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.当限定 ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点 M
的极坐标是唯一的.
(2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角 θ 应注意判断点 M 所在的象限(即角 θ 的终
边的位置),以便正确地求出角 θ(θ∈[0,2π))的值.
极坐标方程的应用
[例 2] (2018·安徽合肥模拟)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ.
(1)求出圆 C 的直角坐标方程;
(2)已知圆 C 与 x 轴相交于 A,B 两点,直线 l:y=2x 关于点 M(0,m)(m≠0)对称的直
线为 l′.若直线 l′上存在点 P 使得∠APB=90°,求实数 m 的最大值.
[解] (1)由 ρ=4cos θ 得 ρ2=4ρcos θ,即 x2+y2-4x=0,故圆 C 的直角坐标方程为 x2+
y2-4x=0.
(2)l:y=2x 关于点 M(0,m)对称的直线 l′的方程为 y=2x+2m,而 AB 为圆 C 的直径,
故直线 l′上存在点 P 使得∠APB=90°的充要条件是直线 l′与圆 C 有公共点,故|4+2m|
5
≤2,解得-2- 5≤m≤ 5-2,于是,实数 m 的最大值为 5-2.
[易错提醒]
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示
时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
[全练题点]
1.[考点一、二]已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin(θ+π
4 )= 2,点 A 的极坐标为 A
(2 2,7π
4 ),求点 A 到直线 l 的距离.
解:由 2ρsin(θ+π
4 )= 2,得 2ρ(
2
2 sin θ+ 2
2 cos θ)= 2,由坐标变换公式,得直线 l 的
直角坐标方程为 y+x=1,即 x+y-1=0.
由点 A 的极坐标为(2 2,7π
4 )得点 A 的直角坐标为(2,-2),所以点 A 到直线 l 的距离 d
=|2-2-1|
2
= 2
2 .
2.[考点二]在极坐标系中,直线 C1 的极坐标方程为 ρsin θ=2,M 是 C1 上任意一点,点
P 在射线 OM 上,且满足|OP|·|OM|=4,记点 P 的轨迹为 C2.
(1)求曲线 C2 的极坐标方程;
(2)求曲线 C2 上的点到直线 C3:ρcos(θ+π
4 )= 2的距离的最大值.
解:(1)设 P(ρ,θ),M(ρ1,θ),依题意有 ρ1sin θ=2,ρρ1=4.
消去 ρ1,得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ(ρ≠0).
(2)将 C2,C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2.C2
是以点(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆(坐标原点除外).
圆心到直线 C3 的距离 d=3 2
2 ,故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1+3 2
2 .
[全国卷 5 年真题集中演练——明规律]
1.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立
极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=4.
(1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点 P 的轨迹 C2
的直角坐标方程;
(2)设点 A 的极坐标为(2,π
3 ),点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值.
解:(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1= 4
cos θ.
由|OM|·|OP|=16,得 C2 的极坐标方程 ρ=4cos θ(ρ>0).
因此 C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点 B 的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB 的面积
S=1
2|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α· |sin(α-π
3 )|
=2|sin(2α-π
3)- 3
2 |≤2+ 3.
当 α=- π
12时,S 取得最大值 2+ 3.
所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3.
2.(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为Error!(t 为参数,a>
0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cos θ.
(1)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程;
(2)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tan α0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都
在 C3 上,求 a.
解:(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2+(y-1)2=a2,
则 C1 是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.
将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 C1 的普通方程中,得到 C1 的极坐标方程为 ρ2-2ρsin θ+1
-a2=0.
(2)曲线 C1,C2 的公共点的极坐标满足方程组
Error!
若 ρ≠0,由方程组得 16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,
由已知 tan θ=2,可得 16cos2θ-8sin θcos θ=0,
从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去)或 a=1.
当 a=1 时,极点也为 C1,C2 的公共点,且在 C3 上.
所以 a=1.
[课时达标检测]
1.在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P( 2,π
4),圆心为直线 ρsin(θ-π
3 )=- 3
2 与极轴
的交点,求圆 C 的极坐标方程.
解:在 ρsin(θ-π
3 )=- 3
2 中,令 θ=0,得 ρ=1,所以圆 C 的圆心坐标为(1,0).
因为圆 C 经过点 P( 2,π
4),
所以圆 C 的半径 PC= ( 2)2+12-2 × 1 × 2cosπ
4=1,于是圆 C 过极点,所以圆 C
的极坐标方程为 ρ=2cos θ.
2.设 M,N 分别是曲线 ρ+2sin θ=0 和 ρsin(θ+π
4 )= 2
2 上的动点,求 M,N 的最小距
离.
解:因为 M,N 分别是曲线 ρ+2sin θ=0 和 ρsin(θ+π
4 )= 2
2 上的动点,即 M,N 分别
是圆 x2+y2+2y=0 和直线 x+y-1=0 上的动点,要求 M,N 两点间的最小距离,即在直
线 x+y-1=0 上找一点到圆 x2+y2+2y=0 的距离最小,即圆心(0,-1)到直线 x+y-1=0
的距离减去半径,故最小值为|0-1-1|
2
-1= 2-1.
3.(2018·扬州质检)求经过极点 O(0,0),A (6,π
2 ),B (6 2,9π
4 )三点的圆的极坐标方
程.
解:点 O,A,B 的直角坐标分别为(0,0),(0,6),(6,6),
故△OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形,圆心为(3,3),半径为 3 2,
圆的直角坐标方程为(x-3)2+(y-3)2=18,
即 x2+y2-6x-6y=0,
将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入上述方程,
得 ρ2-6ρ(cos θ+sin θ)=0,
即 ρ=6 2cos(θ-π
4 ).
4.(2018·山西质检)在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ρ2= 3
1+2sin2θ,点 R(2 2,π
4).
(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线 C 的极坐标方
程化为直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标;
(2)设 P 为曲线 C 上一动点,以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴,求矩形
PQRS 周长的最小值,及此时 P 点的直角坐标.
解:(1)曲线 C:ρ2= 3
1+2sin2θ,即 ρ2+2ρ2sin2θ=3,从而ρ2cos2θ
3 +ρ2sin2θ=1.
∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,
∴曲线 C 的直角坐标方程为x2
3 +y2=1,
点 R 的直角坐标为 R(2,2).
(2)设 P( 3cos θ,sin θ),
根据题意可得|PQ|=2- 3cos θ,|QR|=2-sin θ,
∴|PQ|+|QR|=4-2sin(θ+π
3 ),
当 θ=π
6时,|PQ|+|QR|取最小值 2,
∴矩形 PQRS 周长的最小值为 4,
此时点 P 的直角坐标为(
3
2,1
2 ).
5.(2018·南京模拟)已知直线 l:ρsin(θ-π
4 )=4 和圆 C:ρ=2 cos(θ+π
4 )( ≠0),若直线
l 上的点到圆 C 上的点的最小距离等于 2.求实数 的值并求圆心 C 的直角坐标.
解:圆 C 的极坐标方程可化为 ρ= 2 cos θ- 2 sin θ,
即 ρ2= 2 ρcos θ- 2 ρsin θ,
所以圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2- 2 x+ 2 y=0,
即 (x- 2
2 k)2+(y+ 2
2 k)2= 2,
所以圆心 C 的直角坐标为(
2
2 k,- 2
2 k).
直线 l 的极坐标方程可化为 ρsin θ·
2
2 -ρcos θ·
2
2 =4,
所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+4 2=0,
所以|
2
2 k+ 2
2 k+4 2|2
-| |=2.
即| +4|=2+| |,
两边平方,得| |=2 +3,
所以Error!或Error!
解得 =-1,故圆心 C 的直角坐标为(- 2
2 , 2
2 ).
6.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρsin2θ-8cos θ=0,以极点为平面直角坐标系的原点,
极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系 xOy.在直角坐标系中,倾斜角为 α 的直线 l 过
点(2,0).
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程;
(2)设点 Q 和点 G 的极坐标分别为(2,3π
2 ),(2,π),若直线 l 经过点 Q,且与曲线 C 相
交于 A,B 两点,求△GAB 的面积.
解:(1)曲线 C 的极坐标方程化为 ρ2sin2θ-8ρcos θ=0,再化为直角坐标方程为 y2=8x.
直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数).
(2)点 Q (2,3π
2 )的直角坐标为(0,-2).
因为直线 l 过点 P(2,0)和 Q(0,-2),
所以直线 l 的倾斜角 α=π
4.
所以直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数).
将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得 (
2
2 t )2=8(2+ 2
2 t).整理,得 t2-8 2t
-32=0.
Δ=(-8 2)2+4×32=256>0.
设 t1,t2 为方程 t2-8 2t-32=0 的两个根,
则 t1+t2=8 2,t1·t2=-32,
所以|AB|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1·t2= 256=16.
由极坐标与直角坐标互化公式得点 G 的直角坐标为(-2,0).
点 G 到直线 l 的距离为 d=|PG|sin 45°=4× 2
2 =2 2,
所以 S△GAB=1
2×d×|AB|=1
2×16×2 2=16 2.
7.(2018·贵州联考)已知在一个极坐标系中点 C 的极坐标为(2,π
3 ).
(1)求出以 C 为圆心,半径长为 2 的圆的极坐标方程(写出解题过程);
(2)在直角坐标系中,以圆 C 所在极坐标系的极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直
角坐标系,点 P 是圆 C 上任意一点,Q(5,- 3),M 是线段 PQ 的中点,当点 P 在圆 C 上
运动时,求点 M 的轨迹的普通方程.
解:(1)如图,设圆 C 上任意一点 A(ρ,θ),则∠AOC=θ-π
3或π
3-θ.
由余弦定理得,4+ρ2-4ρcos(θ-π
3 )=4,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cos(θ-π
3 ).
(2)在直角坐标系中,点 C 的坐标为(1, 3),可设圆 C 上任意一点 P(1+2cos α, 3+
2sin α),
又令 M(x,y),由 Q(5,- 3),M 是线段 PQ 的中点,
得点 M 的轨迹的参数方程为Error!(α 为参数),
即Error!(α 为参数),
∴点 M 的轨迹的普通方程为(x-3)2+y2=1.
8.在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为Error!(φ 为参数),以原点 O 为极点,x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线 θ=π
3与曲
线 C2 交于点 D(2,π
3 ).
(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;
(2)已知极坐标系中两点 A(ρ1,θ0),B(ρ2,θ0+π
2),若 A,B 都在曲线 C1 上,求 1
ρ21+ 1
ρ22
的值.
解:(1)∵C1 的参数方程为Error!
∴C1 的普通方程为x2
4 +y2=1.
由题意知曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2acos θ(a 为半径),
将 D(2,π
3 ) 代入,得 2=2a×1
2,
∴a=2,∴圆 C2 的圆心的直角坐标为(2,0),半径为 2,
∴C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
(2)曲线 C1 的极坐标方程为ρ2cos2θ
4 +ρ2sin2θ=1,
即 ρ2= 4
4sin2θ+cos2θ.
∴ρ21= 4
4sin2θ0+cos2θ0,
ρ22= 4
4sin2
(θ0+π
2)+cos2
(θ0+π
2)
= 4
sin2θ0+4cos2θ0.
∴ 1
ρ21+ 1
ρ22=4sin2θ0+cos2θ0
4 +4cos2θ0+sin2θ0
4 =5
4.
第二节 参数方程
本节主要包括 2 个知识点: 1.参数方程; 2.参数方程与极坐标方程的综合问题.
突破点(一) 参数方程
[基本知识]
1.参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函
数:Error!并且对于 t 的每一个允许值,由方程组Error!所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,
那么方程Error!就叫做这条曲线的参数方程,变数 t 叫做参变数,简称参数.相对于参数方
程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数).
(2)圆心在点 M0(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为Error!(θ 为参数).
(3)椭圆x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)的参数方程为
Error!(φ 为参数).
[基本能力]
1.判断题
(1)参数方程Error!(t 为参数)所表示的图形是直线.( )
(2)直线 y=x 与曲线Error!(α 为参数)的交点个数为 1.( )
答案:(1)√ (2)×
2.填空题
(1)若直线的参数方程为Error!(t 为参数),则直线的斜率为________.
解析:∵y-2
x-1=
-3t
2t =-3
2,∴tan α=-3
2.
答案:-3
2
(2)椭圆 C 的参数方程为Error!(φ 为参数),过左焦点 F1 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,
则|AB|min=________.
解析:由Error!(φ 为参数)得,x2
25+y2
9=1,当 AB⊥x 轴时,|AB|有最小值.∴|AB|min=2×
9
5=18
5 .
答案:18
5
(3)曲线 C 的参数方程为Error!(θ 为参数),则曲线 C 的普通方程为________.
解析:由Error!(θ 为参数)消去参数 θ 得 y=-2x2(-1≤x≤1).
答案:y=-2x2(-1≤x≤1)
(4)椭圆Error!(θ 为参数)的离心率为________.
解析:由椭圆的参数方程可知 a=5,b=2.故 c= 52-22= 21,故椭圆的离心率 e=c
a=
21
5 .
答案: 21
5
[全析考法]
参数方程与普通方程的互化
1.参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三
角的或代数的)消元法;④平方后再加减消元法等.其中代入消元法、加减消元法一般是利
用解方程的技巧,三角恒等式消元法常利用公式 sin2θ+cos2θ=1 等.
2.普通方程化为参数方程
(1)选择参数的一般原则
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,
可以唯一确定 x,y 的值;
(2)解题的一般步骤
第一步,引入参数,但要选定合适的参数 t;
第二步,确定参数 t 与变量 x 或 y 的一个关系式 x=f(t)(或 y=φ(t));
第三步,把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程 F(x,y)=0,求得另一关系 y
=g(t)(或 x=ψ(t)),问题得解.
[例 1] 将下列参数方程化为普通方程.
(1)Error!(t 为参数);
(2)Error!(θ 为参数).
[解] (1)∵(
1
t )2+(
1
t t2-1)2=1,
∴x2+y2=1.
∵t2-1≥0,∴t≥1 或 t≤-1.
又 x=1
t,∴x≠0.
当 t≥1 时,00,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,所以Error!
又直线 l 过点 P(3, 5),
故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2.
2.[考点一、二](2018·郑州模拟)将曲线 C 1:x2+y2=1 上所有点的横坐标伸长到原来的
2倍(纵坐标不变)得到曲线 C2,A 为 C1 与 x 轴正半轴的交点,直线 l 经过点 A 且倾斜角为
30°,记 l 与曲线 C1 的另一个交点为 B,与曲线 C2 在第一、三象限的交点分别为 C,D.
(1)写出曲线 C2 的普通方程及直线 l 的参数方程;
(2)求|AC|-|BD|.
解:(1)由题意可得 C2:x2
2 +y2=1,对曲线 C1,令 y=0,得 x=1,所以 l:Error!(t 为
参数).
(2)将Error!代入x2
2 +y2=1,
整理得 5t2+4 3t-4=0.
设点 C,D 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=-4 3
5 ,
且|AC|=t1,|AD|=-t2.又|AB|=2|OA|cos 30°= 3,
故|AC|-|BD|=|AC|-(|AD|-|AB|)=|AC|-|AD|+|AB|=t1+t2+ 3= 3
5 .
突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题
将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起,考查极坐标方程与参数方程的综合
应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意:,(1)解题时,易将直
线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.,(2)应用解析法解
决实际问题时,要注意选取直角坐标系还是极坐标系,建立极坐标系要注意极点、极轴位
置的选择,注意点和极坐标之间的“一对多”关系.,(3)求曲线方程,常设曲线上任意一点
P(ρ,θ),利用解三角形的知识,列出等量关系式,特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数
方程常和三角恒等变换结合在一起,解决取值范围或最值问题.,(4)参数方程和普通方程表示
同一个曲线时,要注意其中 x,y 的取值范围,即注意两者的等价性.
[全析考法]
参数方程与极坐标方程的综合问题
[典例] (2018·广东五校协作体联考)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为
Error!(α 为参数),以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标
方程为 ρsin(θ+π
4 )=4 2.
(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程;
(2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到曲线 C2 上点的距离的最小值.
[解] (1)由曲线 C1:Error!得
曲线 C1 的普通方程为x2
2 +y2=1.
由曲线 C2:ρsin(θ+π
4 )=4 2得 2
2 ρ(sin θ+cos θ)=4 2,
即曲线 C2 的直角坐标方程为 x+y-8=0.
(2)由(1)知椭圆 C1 与直线 C2 无公共点,
椭圆上的点 P( 2cos α,sin α)到直线 x+y-8=0 的距离为
d=| 2cos α+sin α-8|
2
=| 3sin(α+φ)-8|
2
,
所以当 sin(α+φ)=1 时,d 取得最小值8 2- 6
2 .
[方法技巧]
处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角
坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
(2)数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用 ρ 和 θ 的几何
意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.
[全练题点]
1.已知曲线 C1 的参数方程为Error! (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ .
(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;
(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
解:(1)将Error!消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即 C1:x2+y2-8x-10y
+16=0.
将Error!代入 x2+y2-8x-10y+16=0
得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.
由Error!
解得Error!或Error!
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为( 2,π
4),(2,π
2 ).
2.(2018·南昌十校模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为Error!(α 为参
数,π≤α≤2π),以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos
(θ-π
4 )= 2
2 t.
(1)求 C2 的直角坐标方程;
(2)当 C1 与 C2 有两个公共点时,求实数 t 的取值范围.
解:(1)∵曲线 C2 的极坐标方程为 ρ(
2
2 cos θ+ 2
2 sin θ)= 2
2 t,∴曲线 C2 的直角坐标方
程为 x+y-t=0.
(2)曲线 C1 的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=1(0≤x≤2,0≤y≤1),为半圆弧,
如图所示,曲线 C2 为平行于直线 x+y=0 的直线,或为直线 x+y=0,
当直线 C2 与曲线 C1 相切时,由|1+1-t|
2
=1,
解得 t=2- 2或 t=2+ 2(舍去),
当直线 C2 过 A,B 两点时,t=1,
由图可知,当 2- 20,
故 tan α= 5
4 .所以直线 l 的斜率为 5
4 .
5.(2018·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,C1:Error!(t 为参数).以原点 O
为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C2:ρ2+10ρcos θ-6ρsin θ+33=0.
(1)求 C1 的普通方程及 C2 的直角坐标方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若 P,Q 分别为 C1,C2 上的动点,且|PQ|的最小值为 2,求 的值.
解:(1)由Error!可得其普通方程为 y= (x-1),它表示过定点(1,0),斜率为 的直线.
由 ρ2+10ρcos θ-6ρsin θ+33=0 可得其直角坐标方程为 x2+y2+10x-6y+33=0,整
理得(x+5)2+(y-3)2=1,它表示圆心为(-5,3),半径为 1 的圆.
(2)因为圆心(-5,3)到直线 y= (x-1)的距离 d=|-6k-3|
1+k2 =|6k+3|
1+k2,故|PQ|的最小值为
|6k+3|
1+k2-1,故|6k+3|
1+k2-1=2,得 3 2+4 =0,解得 =0 或 =-4
3.
6.(2018·湖南岳阳模拟)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=6sin θ,以极点 O 为原点,极
轴为 x 轴的非负半轴建立直角坐标系,直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数).
(1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程;
(2)直线 l 与曲线 C 交于 B,D 两点,当|BD|取到最小值时,求 a 的值.
解:(1)曲线 C 的极坐标方程为 ρ=6sin θ,
即 ρ2=6ρsin θ,化为直角坐标方程:x2+y2=6y,
配方为:x2+(y-3)2=9,圆心 C(0,3),半径 r=3.
直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数),消去参数 t 可得:x-ay+a+1=0.
(2)由直线 l 经过定点 P(-1,1),此点在圆的内部,
因此当 CP⊥l 时,|BD|取到最小值,
则 CP· l= 1-3
-1-0× l=-1,
解得 l=-1
2.
∴1
a=-1
2,解得 a=-2.
7.(2018·河南六市联考)在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为Error!(φ 为参数),
以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=
2cos θ.
(1)求曲线 C2 的直角坐标方程;
(2)已知点 M 是曲线 C1 上任意一点,点 N 是曲线 C2 上任意一点,求|MN|的取值范
围.
解:(1)∵ρ=2cos θ,∴ρ2=2ρcos θ,
∴曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2=2x.
(2)将曲线 C2 的方程化为标准形式为(x-1)2+y2=1,它表示圆心为 C2(1,0),半径 r=1
的圆.
由题意,|MN|max=|MC2|max+r,|MN|min=|MC2|min-r.设 M(4cos φ,3sin φ).
则|MC2|2=(4cos φ-1)2+(3sin φ-0)2=7cos2φ-8cos φ+10.
当 cos φ=4
7时,|MC2| 2min=54
7 ;
当 cos φ=-1 时,|MC2| 2max=25.
∴|MN|max=|MC2|max+r=6,|MN|min=|MC2|min-r=3 42
7 -1,
∴|MN|∈[
3 42
7 -1,6].
8.极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为
极轴.已知直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数).曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=8cos θ.
(1)求曲线 C 的直角坐标方程;
(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 x 轴的交点为 F,求 1
|AF|+ 1
|BF|的值.
解:(1)由 ρsin2θ=8cos θ,得 ρ2sin2θ=8ρcos θ,
∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2=8x.
(2)易得直线 l 与 x 轴的交点为 F(2,0),将直线 l 的方程代入 y2=8x,得(tsin α)2=8(2+
tcos α),整理得 sin2α·t2-8cos α·t-16=0.
由已知 sin α≠0,Δ=(-8cos α)2-4×(-16)sin2α=64>0,
∴t1+t2=8cos α
sin2α ,t1t2=- 16
sin2α<0,
故 1
|AF|+ 1
|BF|= 1
|t1|+ 1
|t2|
=|
1
t1-1
t2 |=|
t1-t2
t1t2 |=
(t1+t2)2-4t1t2
|t1t2|
= (
8cos α
sin2α )2+ 64
sin2α
16
sin2α
=1
2.