浙江省温州市2020届高三下学期4月二模考试数学试题 Word版含解析 18页

www.ks5u.com ‎2020年4月份温州市普通高中高考适应性测试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟.‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 如果事件相互独立，那么 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式，球的体积公式，其中表示球的半径 选择题部分(共40分)‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，再计算并集得到答案.‎ ‎【详解】，则，‎ 故.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了集合的补集和并集，属于简单题.‎ - 18 -‎ ‎2.已知复数纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）‎ A. -1 B. 1 C. 0 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.‎ ‎【详解】为纯虚数，故且，即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.设实数满足条件则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，‎ ‎，即，表示直线在轴的截距加上1，‎ 根据图像知，当时，且时，有最大值为.‎ 故选：.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.‎ ‎4.做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.‎ ‎【详解】每一次成功的概率为，服从二项分布，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎5.设，则"是""的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 18 -‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.‎ ‎【详解】，当时，，充分性；‎ 当，取，验证成立，故不必要.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.‎ ‎6.若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，根据对称性得到答案.‎ ‎【详解】展开式的通项为：，故，‎ ‎，‎ 根据对称性知：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎7.已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 18 -‎ ‎【分析】‎ 计算得到，，代入双曲线化简得到答案.‎ ‎【详解】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，‎ 故，，故，代入双曲线化简得到：，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎8.如图，在中，点M是边的中点，将沿着AM翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）‎ A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.‎ ‎【详解】二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.‎ 故，即，两三棱锥高相等，故，‎ 故，故为中点.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎9.定义在上的函数满足，且为奇函数，则 - 18 -‎ 的图象可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案.‎ ‎【详解】为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.‎ ‎，排除.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.‎ ‎10.已知数列满足：)若正整数使得成立，则（ ）‎ A. 16 B. 17 C. 18 D. 19‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，故，解得答案.‎ - 18 -‎ ‎【详解】当时，，即，且.‎ 故，‎ ‎，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 ‎11.2020年1月，一场由新型冠状病毒引发的肺炎席卷全国，全国人民众志成城抗击疫情.下图为温州市2月2日至2月9日的疫情变化趋势图，从中可以看出2月_______日当天新增治愈人数超过了当天新增确诊人数，其当天新增治愈人数比当天新增确诊人数多________人.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接观察图像得到答案.‎ ‎【详解】根据图像知：2月8日当天新增治愈人数超过了当天新增确诊人数，‎ ‎2月8日新增确诊人数为：，新增治愈人数，故多人.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了对于统计图像的理解，意在考查学生的理解能力和应用能力.‎ ‎12.已知向量满足，则________，的 - 18 -‎ 上的投影等于________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，得到，再根据投影公式计算得到答案.‎ ‎【详解】，故；的上的投影等于.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的运算，向量投影，意在考查学生的计算能力.‎ ‎13.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____；最长棱的长度是_____．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度．‎ ‎【详解】由三视图还原原几何体如下图所示：‎ - 18 -‎ 该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，‎ 则该几何体的体积为，‎ ‎，，‎ 因此，该棱锥的最长棱的长度为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．‎ ‎14.在中，为的中点，若，，，则________，________‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，，根据正弦定理得到，，再利用余弦定理计算得到，再根据正弦定理计算得到答案.‎ ‎【详解】，，故，‎ ‎.‎ - 18 -‎ 根据正弦定理：，即，.‎ ‎，.‎ 根据余弦定理：，故.‎ 根据正弦定理：，解得.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎15.已知实数满足则的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用柯西不等式得到答案.‎ ‎【详解】根据柯西不等式：，故，‎ 当，即，时等号成立.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.‎ ‎16.将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________种不同的放法.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论装球盒子的个数，计算得到答案.‎ ‎【详解】当四个盒子有球时：种；‎ - 18 -‎ 当三个盒子有球时：种；‎ 当两个盒子有球时：种.‎ 故共有种，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.‎ ‎17.已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，‎ ‎，则，，故抛物线的与直线平行的切线为.‎ 点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.‎ 故答案为：.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.设函数.‎ ‎(I)求的最小正周期；‎ ‎(II)若且，求的值.‎ ‎【答案】(I)；(II)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)化简得到，得到周期.‎ ‎(II) ，故，根据范围判断，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】(I) ‎ ‎，故.‎ ‎(II) ，故，，‎ ‎，故，，‎ 故，故，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ - 18 -‎ ‎19.在三棱锥中，为棱的中点，‎ ‎(I)证明：；‎ ‎(II)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(I)证明见解析；(II)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I) 过作于，连接，根据勾股定理得到，得到平面，得到证明 ‎(II) 过点作于，证明平面，故为直线与平面所成角，计算夹角得到答案.‎ ‎【详解】(I)过作于，连接，根据角度的垂直关系易知：‎ ‎，，，故，‎ ‎，.‎ 根据余弦定理：，解得，故，‎ 故，，，故平面，平面，‎ 故.‎ ‎(II)过点作于，‎ 平面，平面，故，，，‎ 故平面，故为直线与平面所成角，‎ ‎，根据余弦定理：，‎ 故.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎20.已知等差数列和等比数列满足：‎ ‎(I)求数列和的通项公式；‎ ‎(II)求数列前项和.‎ ‎【答案】(I) ，；(II)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案 ‎(II) ，利用裂项相消法计算得到答案.‎ ‎【详解】(I) ，故，‎ 解得，故，.‎ ‎(II)‎ - 18 -‎ ‎，故.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法综合应用.‎ ‎21.如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列)‎ ‎(I)试用表示：‎ ‎(II)证明：原点到直线l的距离为定值.‎ ‎【答案】(I) ；(II)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.‎ ‎(II) 设，，联立方程得到，，代入化简得到，计算得到证明.‎ ‎【详解】(I) 椭圆，故，‎ ‎.‎ ‎(II)设，，则将代入得到：‎ - 18 -‎ ‎，故，‎ ‎，‎ ‎，故，得到，‎ ‎，故，同理：，‎ 由已知得：或，‎ 故，‎ 即，化简得到.‎ 故原点到直线l的距离为为定值.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎22.已知，设函数 ‎(I)若，求的单调区间：‎ ‎(II)当时，的最小值为0，求的最大值.注：…为自然对数的底数.‎ ‎【答案】(I)详见解析；(II) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)求导得到，讨论和两种情况，得到答案.‎ ‎(II) ，故，取，‎ - 18 -‎ ‎，求导得到单调性，得到，得到答案.‎ ‎【详解】(I) ，，‎ 当时，恒成立，函数单调递增；‎ 当时，，，当时，函数单调递减；‎ 当时，函数单调递增.‎ 综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎(II) 在上恒成立；‎ ‎，故，‎ 现在证明存在，，使的最小值为0.‎ 取，，（此时可使），‎ ‎，，‎ 故当上时，，故，‎ 在上单调递增，，‎ 故在上单调递减，在上单调递增，故.‎ 综上所述：的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ - 18 -‎ - 18 -‎