【数学】2018届一轮复习北师大版第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式教案 11页

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.理解同角三角函数的基本关系式：‎ sin2x＋cos2x＝1，＝tanx；‎ ‎2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式。‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，9,5分(同角三角函数的关系、二倍角公式)‎ ‎2016，全国卷Ⅲ，5,5分(同角三角函数的关系、二倍角公式)‎ ‎2014，全国卷Ⅰ，6,5(同角三角函数的关系，诱导公式)‎ ‎2013，北京卷，3,5分(诱导公式)‎ 高考对本节内容较少直接考查，通常结合两角和差三角公式、三角函数的图象与性质进行考查。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1。‎ ‎(2)商数关系：tanα＝。‎ ‎2．三角函数的诱导公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z。‎ 公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα。‎ 公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα。‎ 公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα。‎ 微点提醒 ‎1．平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠＋kπ，k∈Z。‎ ‎2．利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定。‎ ‎3．化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修4P29B组T2改编)已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝(　　)‎ A.　　　 B．－　　　‎ C.　　　 D．－ ‎【解析】　sin＝cosα＝，‎ α∈，所以sinα＝＝，所以sin(α＋π)＝－sinα＝－。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．(必修4P71B组T3改编)已知α为第二象限角，化简：cosα ＋sinα ＝(　　)‎ A．sinα＋cosα B．sinα－cosα C．1＋sinα D．1－sinα ‎【解析】　因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，则原式＝cosα·＋sinα·＝＋＝＋＝sinα－1＋1－cosα＝sinα－cosα。故选B。‎ ‎【答案】　B 二、双基查验 ‎1．若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于(　　)‎ A. B．－ ‎ C. D．－ ‎【解析】　∵sinα＝－，且α为第四象限角，∴cosα＝，‎ ‎∴tanα＝＝－。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．若tanα＝2，则的值为(　　)‎ A．－ B．－ ‎ C. D. ‎【解析】　＝＝＝。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎3．(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝(　　)‎ A. B. ‎ C．1 D. ‎【解析】　通性通法　由tanα＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得或，则sin2α＝2sinαcosα＝，则cos2α＋2sin2α＝＋＝。故选A。‎ 光速解法　cos2α＋2sin2α＝＝＝＝。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎4．(2016·四川高考)sin750°＝________。‎ ‎【解析】　sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝。‎ ‎【答案】　 ‎5．已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________。‎ ‎【解析】　sin(π－α)＝sinα＝log8＝－，‎ 又α∈，得cosα＝＝，‎ tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－＝。‎ ‎【答案】　 微考点　大课堂 考点一 ‎ 诱导公式 ‎【典例1】　(1)计算：2sin＋cos12π＋tan＝________。‎ ‎(2)已知cos＝，则sin＝________。‎ ‎(3)已知f(x)＝，则 f＝________。‎ ‎【解析】　(1)原式＝2sin＋cos0＋tan ‎＝2sinπ＋1－tan ‎＝2sin＋1－1‎ ‎＝2sin ‎＝1。‎ ‎(2)因为＋＝－，‎ 所以sin＝sin ‎＝－sin＝－cos＝－。‎ ‎(3)因为f(x)＝ ‎＝ ‎＝＝－tan2x。‎ 所以f＝－tan2 ‎＝－tan2 ‎＝－tan2 ‎＝－tan2＝－1。‎ ‎【答案】　(1)1　(2)－　(3)－1‎ 反思归纳　1.诱导公式的两个应用 ‎(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了。‎ ‎(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了。‎ ‎2．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα。‎ ‎【变式训练】　(1)计算：sin＋cosπ·tan4π－cos＋sin＝________。‎ ‎(2)已知tan＝，则tan＝____。‎ ‎【解析】　(1)原式＝－sin＋cosπ·tan4π－cos＋sin＝－sin＋cosπ·tan4π－cos＋sin＝－sin＋cosπ·tan0－cos＋sin＝－sin＋0－cos＋sin＝－sin＋cos－1＝－＋－1＝－1。‎ ‎(2)tan＝tan ‎＝tan ‎＝－tan＝－。‎ ‎【答案】　(1)－1　(2)－ 考点二 ‎ 同角三角函数的基本关系…………多维探究 角度一：同角三角函数基本关系的直接运用 ‎【典例2】　设sin＝，且α是第二象限角，则tan的值为________。‎ ‎【解析】　∵α是第二象限角，‎ ‎∴是第一或第三象限角。‎ ‎①当是第一象限角时，‎ 有cos＝ ＝ ＝，‎ ‎∴tan＝＝；‎ ‎②当是第三象限角时，与sin＝矛盾，舍去。‎ 综上，tan＝。‎ ‎【答案】　 角度二：关于sinα，cosα的齐次式问题 ‎【典例3】　已知＝－1，求下列各式的值。‎ ‎(1)；‎ ‎(2)sin2α＋sinαcosα＋2。‎ ‎【解析】　由已知得tanα＝。‎ ‎(1)＝＝－。‎ ‎(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝＋2‎ ‎＝＋2＝＋2＝。‎ ‎【答案】　(1)－　(2) 角度三：“sinα±cosα；sinαcosα”之间的关系 ‎【典例4】　已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，则 ‎(1)sinθ－cosθ＝________；‎ ‎(2)sin3θ＋cos3θ＝________；‎ ‎(3)tanθ＝________。‎ ‎【解析】　(1)∵sinθ＋cosθ＝，‎ ‎∴(sinθ＋cosθ)2＝。‎ ‎∴2sinθcosθ＝－。‎ 又θ∈(0，π)，∴sinθ>0，cosθ<0。‎ ‎∴sinθ－cosθ＝ ‎＝ ‎＝。‎ ‎(2)sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)‎ ‎＝×＝。‎ ‎(3)解法一：由 解得sinθ＝，cosθ＝－。∴tanθ＝－。‎ 解法二：因为sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝－，‎ 由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－。‎ 又sinθcosθ＝－<0，所以sinθ>0，cosθ<0。‎ 所以sinθ＝，cosθ＝－。‎ 所以tanθ＝＝－。‎ 解法三：同解法二，得sinθcosθ＝－，‎ 所以＝－。‎ 齐次化切，得＝－，‎ 即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，‎ 解得tanθ＝－或tanθ＝－。‎ 又θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝>0，sinθcosθ＝－<0，‎ 所以θ∈，所以tanθ＝－。‎ ‎【答案】　(1)　(2)　(3)－ 反思归纳　在高考中，常给出角α的一个三角函数值，求其他异名三角函数值，解题的关键就是灵活掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用及变形应用。‎ ‎(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦与余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化。‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以实现知一求二。‎ ‎(3)对于齐次式问题要把式子中的常数化为cos2α＋sin2α的形式。‎ ‎【变式训练】　(1)(2017·雅安模拟)已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ ‎(2)当00，cosα<0，‎ ‎∴sinα－cosα>0。‎ ‎∴sinα－cosα＝。‎ 由得 ‎∴tanα＝－。‎ 答案　－