2020-2021学年人教B版数学选修2-2习题：第二章　数系的扩充与复数 单元质量评估 9页

第二章单元质量评估 时间：120 分钟 总分：150 分 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1．i 为虚数单位， 1－i 1＋i 2＝( A ) A．－1 B．1 C．－i D．i 解析： 1－i 1＋i 2＝1－i2 1＋i2 ＝－2i 2i ＝－1，故选 A. 2．设复数 z＝1＋ 2i，则 z2－2z 等于( A ) A．－3 B．3 C．－3i D．3i 解析：z2－2z＝z(z－2) ＝(1＋ 2i)( 2i－1) ＝－2－1＝－3. 3．若复数 z＝(x2 －4)＋(x－2)i 为纯虚数，则实数 x 的值为 ( A ) A．－2 B．0 C．2 D．－2 或 2 解析：∵z＝(x2－4)＋(x－2)i 为纯虚数， ∴ x2－4＝0， x－2≠0， ⇒x＝－2. 4．如图，在复平面内，向量OP→ 对应的复数是 1－i，将OP→ 向左 平移一个单位后得到O0P0 → ，则 P0 对应的复数为( D ) A．1－i B．1－2i C．－1－i D．－i 解析：要求 P0 对应的复数，根据题意，只需知道OP0 → ，而OP0 → ＝OO0 → ＋O0P0 → ，从而可求 P0 对应的复数． ∵O0P0 → ＝OP→ ，OO0 → 对应的复数是－1， ∴P0 对应的复数即OP0 → 对应的复数是－1＋(1－i)＝－i. 5．已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数， 则(a＋bi)2＝( D ) A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 解析：由 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数，可得 a＝2，b＝1.所以(a ＋bi)2＝(2＋i)2＝4＋4i－1＝3＋4i. 6．复数 z＝1＋i， z 为 z 的共轭复数，则 z z －z－1＝( B ) A．－2i B．－i C．i D．2i 解析：∵z＝1＋i，∴ z ＝1－i. ∴z· z ＝|z|2＝2. ∴z· z －z－1＝2－(1＋i)－1＝－i. 7. z 是 z 的共轭复数，若 z＋ z ＝2，(z－ z )i＝2(i 为虚数单位)， 则 z＝( D ) A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i 解析：设 z＝a＋bi(a∈R，b∈R)， 则 z ＝a－bi. 由 z＋ z ＝2，得 2a＝2，即 a＝1； 又由(z－ z )i＝2，得 2bi·i＝2， 即 b＝－1. 故 z＝1－i. 8．满足条件|z－1|＝|5＋12i|的复数 z 在复平面上对应 Z 点的轨迹 是( C ) A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆 解析：本题中|z－1|表示点 Z 到点(1,0)的距离，|5＋12i|表示复数 5＋12i 的模长，所以|z－1|＝13，表示以(1,0)为圆心，13 为半径的圆．注 意复数的模的定义及常见曲线的定义． 9．定义运算|a c b d|＝ad－bc，则符合条件|1 z －1 zi |＝4＋2i 的复 数 z 为( A ) A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i 解析：由定义，|1 z －1 zi |＝zi＋z，所以 zi＋z＝4＋2i，所以 z＝4＋2i 1＋i ＝3－i. 10．已知复数 z1＝a＋2i，z2＝a＋(a＋3)i，且 z1z2>0，则实数 a 的值为( C ) A．0 B．0 或－5 C．－5 D．以上均不对 解析：z1z2＝(a＋2i)·[a＋(a＋3)i]＝(a2－2a－6)＋(a2＋5a)i，由 z1z2>0 知 z1z2 为实数，且为正实数，因此满足 a2＋5a＝0， a2－2a－6>0， 解得 a＝－5(a＝0 舍去)． 11．复数 z 满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么 z 对应的点的轨迹是 ( A ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 则|2x＋2yi＋1|＝|x＋yi－i|， 即 2x＋12＋4y2＝ x2＋y－12， 所以 3x2＋3y2＋4x＋2y＝0， 即 x＋2 3 2＋ y＋1 3 2＝5 9. 12．设 z 是复数，α(z)表示满足 zn＝1 的最小正整数 n，则对虚数 单位 i，α(i)等于( C ) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：∵α(z)表示满足 zn＝1 的最小正整数 n， ∴α(i)表示满足 in＝1 的最小正整数 n. ∵i2＝－1，i4＝1.∴α(i)＝4. 第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13．复数 i2(1＋i)的实部是－1. 解析：∵i2(1＋i)＝－1－i， ∴i2(1＋i)的实部为－1. 14．复数 z＝2＋i 1＋i(i 为虚数单位)，则 z 对应的点在第四象限． 解析：∵z＝2＋i 1＋i ＝2＋i1－i 2 ＝3－i 2 ＝3 2 －1 2i， ∴复数 z 对应点的坐标为 3 2 ，－1 2 ，为第四象限的点． 15．设 a，b∈R，a＋bi＝11－7i 1－2i (i 为虚数单位)，则 a＋b 的值为 8. 解析：∵a＋bi＝11－7i 1－2i ， ∴a＋bi＝11－7i1＋2i 1－2i1＋2i ＝5＋3i. 根据复数相等的充要条件可得 a＝5，b＝3， 故 a＋b＝8. 16．已知复数 z＝a＋bi(a，b∈R＋，i 是虚数单位)是方程 x2－4x ＋5＝0 的根．复数ω＝u＋3i(u∈R)满足|ω－z|<2 5，则 u 的取值范围 为(－2,6)． 解析：原方程的根为 x＝2±i. ∵a，b∈R＋，∴z＝2＋i. ∵|ω－z|＝|(u＋3i)－(2＋i)|＝ u－22＋4<2 5， ∴－2