2012年高考真题汇编-文科数学（解析版）5：数列 18页

‎2 012高考试题分类汇编:5：数列 一、选择题 ‎1.【2012高考安徽文5】公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则=‎ ‎（A） 1 （B）2 （C） 4 （D）8‎ ‎【答案】A ‎【解析】。‎ ‎2.【2012高考全国文6】已知数列的前项和为，，，,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 【答案】B ‎【解析】因为，所以由得，，整理得，所以，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，选B.‎ ‎3.【2012高考新课标文12】数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为 ‎（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，‎ ‎，‎ 即，也有，两式相加得，设为整数，‎ 则，‎ 于是 ‎4.【2012高考辽宁文4】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=‎ ‎(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，故选B ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。‎ ‎5.【2012高考湖北文7】定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。‎ 则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④‎ ‎7. 【答案】C ‎ ‎【解析】设数列的公比为.对于①，,是常数，故①符合条件;对于②，，不是常数，故②不符合条件;对于③，‎ ‎，是常数，故③符合条件;对于④, ，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.‎ ‎【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等.‎ ‎6.【2012高考四川文12】设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ）‎ A、0 B、‎7 C、14 D、21‎ ‎ 【答案】D.‎ ‎【解析】‎ ‎，即，根据等差数列的性质得，即 ‎，即，即，，故选D.‎ ‎7.【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于 ‎ A.1006 B‎.2012 C.503 D.0‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】因为函数的周期是4，所以数列的每相邻四项之和是一个常数2，所以.故选A.‎ ‎8.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是 ‎（A）a1+a3≥‎2a2 （B） （C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2‎ ‎【答案】B ‎【解析】当，，时，可知，，，所以A选项错误；当时，C选项错误：当时，，与D选项矛盾，因此描述均值定理的B选项为正确答案，故选B。‎ ‎9.【2102高考北京文8】某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为 ‎（A）5（B）7（C）9（D）11‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。‎ 二、填空题 ‎10.【2012高考重庆文11】首项为1，公比为2的等比数列的前4项和 ‎ ‎ 【答案】15‎ ‎【解析】因为数列是等比数列，所以。‎ ‎11.【2012高考新课标文14】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】显然公比，设首项为，则由，得，即，即，即，所以，解得.‎ ‎12.【2012高考江西文13】等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1。若a1=1，且对任意的都有an＋2＋an＋1-2an=0，则S5=_________________。‎ ‎ 【答案】11‎ ‎【解析】由条件得，即，解得或（舍去），所以.‎ ‎13.【2012高考上海文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 ‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴++…+==，∴。‎ ‎14.【2012高考上海文14】已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 ‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】由题意得，，，…，，‎ ‎∵，且＞0，∴，易得==…====，‎ ‎∴+=+=。‎ ‎15.【2012高考辽宁文14】已知等比数列｛an｝为递增数列.若a1>0,且2（a n+a n+2）=‎5a n+1 ,则数列｛an｝的公比q = _____________________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 因为数列为递增数列，且 ‎【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。‎ ‎16.【2102高考北京文10】已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若，S2=a3，则a2=______，Sn=_______。‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，。‎ ‎17.【2012高考广东文12】若等比数列满足，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以 。‎ 三、解答题 ‎18.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.‎ ‎（1）求an，bn；‎ ‎（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ （1） 由Sn=，得 当n=1时，；‎ 当n2时，，n∈N﹡.‎ 由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡.‎ ‎（2）由（1）知，n∈N﹡‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，n∈N﹡.‎ ‎19.【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ‎ ‎∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ ‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列 的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎20．【2012高考四川文20】(本小题满分12分) ‎ 已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？‎ ‎ 【解析】‎ ‎21.【2012高考湖南文20】（本小题满分13分）‎ 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.‎ ‎（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；‎ ‎（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎.‎ 整理得　‎ ‎.‎ 由题意，‎ 解得.‎ 故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为４０００元.‎ ‎【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出与an的关系式，第二问，只要把第一问中的迭代，即可以解决.‎ ‎22.【2012高考重庆文16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））‎ 已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）设数列 的公差为d,由题意知 解得 所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 因 成等比数列，所以 从而 ，即 ‎ 解得 或（舍去），因此 。‎ ‎23.【2012高考陕西文16】已知等比数列的公比为q=-.‎ ‎（1）若=，求数列的前n项和；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意，，，成等差数列。‎ ‎【答案】‎ ‎24.【2012高考湖北文20】（本小题满分13分）‎ 已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8.‎ （1） 求等差数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列错误！不能通过编辑域代码创建对象。的前n项和。‎ ‎20. 【答案】‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解；有时需要利用等差数列的定义：（为常数）或等比数列的定义：（为常数，）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.‎ ‎25.【2012高考天津文科18】 （本题满分13分）‎ 已知｛｝是等差数列，其前项和为，｛｝是等比数列，且==2,,-=10‎ ‎（I）求数列｛｝与｛｝的通项公式；‎ ‎（II）记=+，（n,n>2）。‎ ‎【答案】‎ ‎26.【2012高考山东文20】 (本小题满分12分)‎ 已知等差数列的前5项和为105，且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.‎ ‎【答案】 (I)由已知得：‎ 解得,‎ 所以通项公式为.‎ ‎(II)由，得，‎ 即.‎ ‎∵，‎ ‎∴是公比为49的等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎27.【2012高考全国文18】(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知数列中， ，前项和。‎ ‎（Ⅰ）求，； ‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式。‎ ‎ 【答案】‎ ‎28.【2012高考安徽文21】（本小题满分13分）‎ 设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设的前项和为，求。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（I），‎ ‎，‎ ‎，‎ 得：当时，取极小值，‎ 得：。‎ ‎（II）由（I）得：。‎ ‎。‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 得： 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，。‎ ‎【2012高考上海文23】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5‎ ‎（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的 ‎（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）‎ ‎（3）设，常数，若，是的控制数列，求 ‎【答案】‎ ‎【2012高考广东文19】（本小题满分14分）‎ 设数列前项和为，数列的前项和为，满足，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）当时，。‎ 因为，所以，求得。‎ ‎（2）当时，，‎ ‎ 所以 ①‎ ‎ 所以 ②‎ ‎ ②①得 ，‎ ‎ 所以，即，‎ ‎ 求得，，则。‎ 所以是以3为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以，。‎ ‎【2102高考福建文17】（本小题满分12分）‎ ‎ 在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，b4=8，{an}的前10项和S10=55.‎ ‎（Ⅰ）求an和bn；‎ ‎（Ⅱ）现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。‎ ‎【答案】‎ ‎【2012高考江西文17】（本小题满分12分）‎ 已知数列|an|的前n项和（其中c，k为常数），且a2=4，a6=‎8a3‎ ‎（1）求an；‎ ‎（2）求数列{nan}的前n项和Tn。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】(1)当时，‎ 则 ‎，‎ ‎，∴c=2.∵a2=4，即，解得k=2，∴（n）1）‎ 当n=1时，‎ 综上所述 ‎(2) ，则 ‎（1）-（2）得 ‎ ‎