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  • 2021-06-11 发布

2012年高考真题汇编-文科数学(解析版)5:数列

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‎2 012高考试题分类汇编:5:数列 一、选择题 ‎1.【2012高考安徽文5】公比为2的等比数列{} 的各项都是正数,且 =16,则=‎ ‎(A) 1 (B)2 (C) 4 (D)8‎ ‎【答案】A ‎【解析】。‎ ‎2.【2012高考全国文6】已知数列的前项和为,,,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎ 【答案】B ‎【解析】因为,所以由得,,整理得,所以,所以数列是以为首项,公比的等比数列,所以,选B.‎ ‎3.【2012高考新课标文12】数列{an}满足an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前60项和为 ‎(A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得,‎ ‎,‎ 即,也有,两式相加得,设为整数,‎ 则,‎ 于是 ‎4.【2012高考辽宁文4】在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=‎ ‎(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,故选B ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题。‎ ‎5.【2012高考湖北文7】定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”。现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x²;②f(x)=2x;③;④f(x)=ln|x |。‎ 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④‎ ‎7. 【答案】C ‎ ‎【解析】设数列的公比为.对于①,,是常数,故①符合条件;对于②,,不是常数,故②不符合条件;对于③,‎ ‎,是常数,故③符合条件;对于④, ,不是常数,故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.‎ ‎【点评】本题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意,然后再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质等.‎ ‎6.【2012高考四川文12】设函数,数列是公差不为0的等差数列,,则( )‎ A、0 B、‎7 C、14 D、21‎ ‎ 【答案】D.‎ ‎【解析】‎ ‎,即,根据等差数列的性质得,即 ‎,即,即,,故选D.‎ ‎7.【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式,其前n项和为Sn,则S2012等于 ‎ A.1006 B‎.2012 C.503 D.0‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】因为函数的周期是4,所以数列的每相邻四项之和是一个常数2,所以.故选A.‎ ‎8.【2102高考北京文6】已知为等比数列,下面结论种正确的是 ‎(A)a1+a3≥‎2a2 (B) (C)若a1=a3,则a1=a2(D)若a3>a1,则a4>a2‎ ‎【答案】B ‎【解析】当,,时,可知,,,所以A选项错误;当时,C选项错误:当时,,与D选项矛盾,因此描述均值定理的B选项为正确答案,故选B。‎ ‎9.【2102高考北京文8】某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为 ‎(A)5(B)7(C)9(D)11‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C。‎ 二、填空题 ‎10.【2012高考重庆文11】首项为1,公比为2的等比数列的前4项和 ‎ ‎ 【答案】15‎ ‎【解析】因为数列是等比数列,所以。‎ ‎11.【2012高考新课标文14】等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】显然公比,设首项为,则由,得,即,即,即,所以,解得.‎ ‎12.【2012高考江西文13】等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1。若a1=1,且对任意的都有an+2+an+1-2an=0,则S5=_________________。‎ ‎ 【答案】11‎ ‎【解析】由条件得,即,解得或(舍去),所以.‎ ‎13.【2012高考上海文7】有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则 ‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以1为首项,为公比的等比数列,‎ ‎∴++…+==,∴。‎ ‎14.【2012高考上海文14】已知,各项均为正数的数列满足,,若,则的值是 ‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】由题意得,,,…,,‎ ‎∵,且>0,∴,易得==…====,‎ ‎∴+=+=。‎ ‎15.【2012高考辽宁文14】已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(a n+a n+2)=‎5a n+1 ,则数列{an}的公比q = _____________________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 因为数列为递增数列,且 ‎【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题。‎ ‎16.【2102高考北京文10】已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若,S2=a3,则a2=______,Sn=_______。‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】因为,‎ 所以,。‎ ‎17.【2012高考广东文12】若等比数列满足,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以 。‎ 三、解答题 ‎18.【2012高考浙江文19】(本题满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.‎ ‎(1)求an,bn;‎ ‎(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ (1) 由Sn=,得 当n=1时,;‎ 当n2时,,n∈N﹡.‎ 由an=4log2bn+3,得,n∈N﹡.‎ ‎(2)由(1)知,n∈N﹡‎ 所以,‎ ‎,‎ ‎,n∈N﹡.‎ ‎19.【2012高考江苏20】(16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:,,‎ ‎(1)设,,求证:数列是等差数列;‎ ‎(2)设,,且是等比数列,求和的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵,∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎(2)∵,∴。‎ ‎ ∴。(﹡)‎ 设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明 ‎ 若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。‎ ‎ 若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。‎ ‎ ‎ ‎∴综上所述,。∴,∴。‎ ‎ ‎ ‎ 又∵,∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若,则,于是。‎ 又由即,得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同,与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。‎ ‎【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证。‎ ‎ (2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列 的公比。‎ 从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎20.【2012高考四川文20】(本小题满分12分) ‎ 已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立。‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,,当为何值时,数列的前项和最大?‎ ‎ 【解析】‎ ‎21.【2012高考湖南文20】(本小题满分13分)‎ 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.‎ ‎(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;‎ ‎(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意得,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ‎.‎ 整理得 ‎ ‎.‎ 由题意,‎ 解得.‎ 故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元.‎ ‎【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出与an的关系式,第二问,只要把第一问中的迭代,即可以解决.‎ ‎22.【2012高考重庆文16】(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分))‎ 已知为等差数列,且(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记的前项和为,若成等比数列,求正整数的值。‎ ‎ 【解析】(Ⅰ)设数列 的公差为d,由题意知 解得 所以 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 因 成等比数列,所以 从而 ,即 ‎ 解得 或(舍去),因此 。‎ ‎23.【2012高考陕西文16】已知等比数列的公比为q=-.‎ ‎(1)若=,求数列的前n项和;‎ ‎(Ⅱ)证明:对任意,,,成等差数列。‎ ‎【答案】‎ ‎24.【2012高考湖北文20】(本小题满分13分)‎ 已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.‎ (1) 求等差数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列错误!不能通过编辑域代码创建对象。的前n项和。‎ ‎20. 【答案】‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解;有时需要利用等差数列的定义:(为常数)或等比数列的定义:(为常数,)来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.‎ ‎25.【2012高考天津文科18】 (本题满分13分)‎ 已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且==2,,-=10‎ ‎(I)求数列{}与{}的通项公式;‎ ‎(II)记=+,(n,n>2)。‎ ‎【答案】‎ ‎26.【2012高考山东文20】 (本小题满分12分)‎ 已知等差数列的前5项和为105,且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.‎ ‎【答案】 (I)由已知得:‎ 解得,‎ 所以通项公式为.‎ ‎(II)由,得,‎ 即.‎ ‎∵,‎ ‎∴是公比为49的等比数列,‎ ‎∴.‎ ‎27.【2012高考全国文18】(本小题满分12分) (注意:在试题卷上作答无效)‎ 已知数列中, ,前项和。‎ ‎(Ⅰ)求,; ‎ ‎(Ⅱ)求的通项公式。‎ ‎ 【答案】‎ ‎28.【2012高考安徽文21】(本小题满分13分)‎ 设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设的前项和为,求。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(I),‎ ‎,‎ ‎,‎ 得:当时,取极小值,‎ 得:。‎ ‎(II)由(I)得:。‎ ‎。‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 得: 当时,,‎ 当时,,‎ 当时,。‎ ‎【2012高考上海文23】(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分 对于项数为的有穷数列,记(),即为中的最大值,并称数列是的控制数列,如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5‎ ‎(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的 ‎(2)设是的控制数列,满足(为常数,),求证:()‎ ‎(3)设,常数,若,是的控制数列,求 ‎【答案】‎ ‎【2012高考广东文19】(本小题满分14分)‎ 设数列前项和为,数列的前项和为,满足,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求数列的通项公式.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)当时,。‎ 因为,所以,求得。‎ ‎(2)当时,,‎ ‎ 所以 ①‎ ‎ 所以 ②‎ ‎ ②①得 ,‎ ‎ 所以,即,‎ ‎ 求得,,则。‎ 所以是以3为首项,2为公比的等比数列,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 所以,。‎ ‎【2102高考福建文17】(本小题满分12分)‎ ‎ 在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前10项和S10=55.‎ ‎(Ⅰ)求an和bn;‎ ‎(Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率。‎ ‎【答案】‎ ‎【2012高考江西文17】(本小题满分12分)‎ 已知数列|an|的前n项和(其中c,k为常数),且a2=4,a6=‎8a3‎ ‎(1)求an;‎ ‎(2)求数列{nan}的前n项和Tn。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】(1)当时,‎ 则 ‎,‎ ‎,∴c=2.∵a2=4,即,解得k=2,∴(n)1)‎ 当n=1时,‎ 综上所述 ‎(2) ,则 ‎(1)-(2)得 ‎ ‎