【数学】2018届一轮复习北师大版函数模型及其应用教案 8页

第八讲 函数模型及其应用 项目 内容 课题 函数模型及其应用（共 2 课时）‎ 修改与创新 教学目标 ‎1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；‎ ‎2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。‎ 命题走向 函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。‎ 预测2017年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。‎ ‎（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；‎ ‎（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。‎ 教学准备 多媒体课件 教学过程 一．知识梳理：‎ ‎1．解决实际问题的解题过程 学,科,网]‎ ‎（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；‎ ‎（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；‎ ‎（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.‎ 这些步骤用框图表示：‎ 实际问题 函数模型 实际问题的解 函数模型的解 抽象概括 还原说明 运用函数性质 ‎2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：‎ ‎（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；‎ ‎（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；‎ ‎（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。‎ 二．典例分析 考点一：一次函数与二次函数模型 利用所学函数的有关知识解决实际问题，需要对问题进行分析，以选择相应知识来解决。其基本步骤可用框图表示。‎ 典题导入 ‎[例1]　为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．‎ 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ ‎[自主解答]　设该单位每月获利为S，‎ 则S＝100x－y ‎＝100x－ ‎＝－x2＋300x－80 000‎ ‎＝－(x－300)2－35 000，‎ 因为400≤x≤600，‎ 所以当x＝400时，S有最大值－40 000.‎ 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．‎ 由题悟法 ‎1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解．‎ ‎2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决．‎ ‎3．在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．‎ 以题试法 ‎1．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm与60 cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？‎ 解：如图，剪出的矩形为CDEF，‎ 设CD＝x，CF＝y，‎ 则AF＝40－y.‎ ‎∵△AFE∽△ACB，∴＝，‎ ‎ ‎ 本题较简单，可完全由学生独立完成。‎ 即＝.‎ ‎∴y＝40－x.剩下的残料面积为 S＝×60×40－x·y＝x2－40x＋1 200‎ ‎＝ (x－30)2＋600.‎ ‎∵0500时，f(x)＝0.05×500－×5002－＝12－x，‎ 故f(x)＝ ‎(2)当0500时，f(x)＝12－x<12－＝<，‎ 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．‎ 由题悟法 ‎1．很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．‎ ‎2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．‎ 以题试法 ‎2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．‎ ‎(1)求y关于x的函数；‎ ‎(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．‎ 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，‎ y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；‎ 当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，‎ y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.‎ 当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，‎ y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.‎ 所以y＝ ‎(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，‎ 当x∈时，y≤f<26.4；‎ 当x∈时，y≤f<26.4；‎ 当x∈时，令24x－9.6＝26.4，‎ 解得x＝1.5.‎ 所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5吨，‎ 付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70元；‎ 乙户用水量为3x＝4.5吨，‎ 付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70元．‎ 考点三; 指数函数模型 典题导入 ‎[例3]　一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.‎ 解决本题前，带领学生理清利润、销售量、成本之间的关系，再让学生尝试列出函数关系式。‎ ‎ ‎ ‎(1)求每年砍伐面积的百分比；‎ ‎(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？‎ ‎(3)今后最多还能砍伐多少年？‎ ‎[自主解答]　(1)设每年降低的百分比为x(0