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- 2021-06-11 发布
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第二节 空间图形的基本关系与公理
[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
1.空间图形的公理
(1)公理1:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).
(2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(即直线在平面内).
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
(4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
2.空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
(2)异面直线所成的角
①定义:过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角.
②范围:.
3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
4.定理(等角定理)
空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α,且aα,则α内的所有直线与a异面.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(教材改编) 如图721所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
图721
C [连接B1D1,D1C(图略),则B1D1∥EF,
故∠D1B1C为所求的角,
又B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°.]
3.在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
A [A不是公理,是个常用的结论,需经过推理论证;B,C,D是公理.]
4.(2016·山东高考)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [由题意知aα,bβ,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.]
5.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是________.
b与α相交或bα或b∥α
空间图形的公理及其应用
如图722,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
图722
[证明] (1)如图,连接EF,CD1,A1B.
∵E,F分别是AB,AA1的中点,
∴EF∥BA1. 2分
又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E,C,D1,F四点共面. 5分
(2)∵EF∥CD1,EF