【数学】2019届一轮复习北师大版三角函数与向量综合问题学案 13页

2018 年高考数学专题复习难点突破名师讲练：三角函 数与向量综合问题 一、考点突破 三角函数与平面向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题第一小题 的位置上，其难度中等偏下。交汇性主要体现在：三角函数的恒等变换公式、性质，图象与 平面向量的数量积，平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇。估计在 今后的高考中，解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数 的图象和性质、解三角形、向量的数量积、共线（平行）与垂直的充要条件。 二、重难点提示 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义。同角三角函数的基本关系式。正弦、余弦的 诱导公式。正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，两角和与两角差，二倍角的正弦、 余弦、正切公式。正弦定理、余弦定理，向量的运算，平面向量的基本定理。 难点：利用公式定理解决三角函数与向量的综合问题，平面向量的基本定理。 一、知识脉络图 二、知识点拨 （一）三角函数 1. 弧长公式： 。扇形面积公式： 三 角 变 换 倍 角 与 半 角 的 三 角 函 数 倍角、半角公式 ①二倍角公式： 1cos2sin21sincos2cos 2222 −=−=−= ααααα ααα cossin22sin = ， α αα 2tan1 tan22tan −= ②三倍角公式： ααα 3sin4sin33sin −= ， ααα cos3cos43cos 3 −= ， α ααα 2 3 tan31 tantan33tan − −= ③半角公式： 2 cos1 2sin αα −±= ， 2 cos1 2cos αα +±= α α α α α αα cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2tan +=−=+ −±= 部分倍角、半角公式、和差化积、积化和差的推导 倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用 万能公式的应用 2tan1 2tan2 sin 2 α α α + = ， 2tan1 2tan1 cos 2 2 α α α + − = ， 2tan1 2tan2 tan 2 α α α − = 三角函数在三角形中的应用 rαl ⋅= || 2||2 1 2 1 rαlrS ⋅==扇形 2. 三角函数：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y），P 与 原点的距离为 r，则 ； ； 。 3. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 4. 三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT。 5. 同角三角函数 6. 三角公式 （1）诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 正切、余切余弦、正割 - - - - - + + + ++ - + 正弦、余割 o oox y x y x y T M AO P x y α α r yα =sin r xα =cos x yα =tan 2 2 sinsin cos 1, tancos αα α αα+ = = xxπk xxπk xxπk xxπk cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( =+ =+ =+ =+ xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( −=− −=− =− −=− xxπ xxπ xxπ xxπ cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( =+ =+ −=+ −=+ xxπ xxπ xxπ xxπ cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( −=− −=− =− −=− xxπ xxπ xxπ xxπ cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( −=− −=− −=− =− （2）角与角之间的互换 公式一 公式二 7. 正弦、余弦、正切图象的性质： 定义域 R R 值域 R 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 上 为增函数； 上 为减函数（ ） 上 为 增函数 上 为 减函数（ ） 上 为 增 函 数（ ） 8. 正、余弦定理 正弦定理： ，其中 是三角形外接圆半径。 余弦定理： 由此可得： ， ， 。 三角形面积公式： 。 （二）平面向量 重要定理、公式 1. 平面向量的基本定理 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内的任一向量，有且仅有 一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2。 βαβαβα sinsincoscos)cos( −=+ ααα cossin22sin = βαβαβα sinsincoscos)cos( +=− ααααα 2222 sin211cos2sincos2cos −=−=−= βαβαβα sincoscossin)sin( +=+ α αα 2tan1 tan22tan − = βαβαβα sincoscossin)sin( −=− 2 cos1 2sin αα −±= βα βαβα tantan1 tantan)tan( − +=+ 2 cos1 2cos αα +±= βα βαβα tantan1 tantan)tan( + −=− α α α α α αα sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2tan −=+=+ −±= xy sin= xy cos= xy tan=   ∈+≠∈ ZkkxRxx ,2 1| ππ且 ]1,1[− ]1,1[− π2 π2 π [ 2 , 2 ]2 2k k π ππ π− + + 3[ 2 , 2 ]2 2k k π ππ π+ + Zk ∈ ( )[ 2 1 ,2 ]k kπ π− ( )[2 , 2 1 ]k kπ π+ Zk ∈      ++− ππππ kk 2,2 Zk ∈ RC c B b A a 2sinsinsin === R Cabbac Baccab Abccba cos2 cos2 cos2 222 222 222 −+= −+= −+= ab acbA 2cos 222 −+= ac bcaB 2cos 222 −+= ab cbaC 2cos 222 −+= BacAbcCabS ABC sin2 1sin2 1sin2 1 Δ === 2. 两个向量平行的充要条件 a∥b a＝λb（b≠0） x1y2－x2y1＝0。 3. 两个向量垂直的充要条件 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0。 能力提升类 例 1 已知 ， 为 的最小正周期， ，求 的值。 一点通：根据余弦函数的周期性求得函数 的最小正周期，即 的值，进而根据 a•b=m ， 求 得 ， 进 而 利 用 二 倍 角 公 式 和 诱 导 公 式 化 简 整 理 后 ， 把 的值代入即可。 答案：因为 为 的最小正周期，故 。因为 ， 又 ，故 。 由于 ，所以 。 点评：合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、 半、倍角公式进行恒等变形，以期得到与题设条件或待求结论相关的式子，找准时机代入求 值或化简。 例 2 已知向量→a ＝（cosα,sinα），→b ＝（cosβ,sinβ），|→a －→b |＝2 5 5。 （Ⅰ）求 cos（α－β）的值；（Ⅱ）若－π 2＜β＜0＜α＜π 2，且 sinβ＝－ 5 13，求 sinα 的值。 一点通：利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第（Ⅰ）小题；而第（Ⅱ）小 题则可变角 α＝（α－β）＋β，然后求 sin（α－β）与 cosβ 即可。 答案：（Ⅰ）∵|→a －→b |＝2 5 5，∴→a 2－2→a ·→b ＋→b 2＝4 5， 将向量→a ＝（cosα,sinα），→b ＝（cosβ,sinβ）代入上式得 12－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＋12＝4 5，∴cos（α－β）＝3 5。 （Ⅱ）∵－π 2＜β＜0＜α＜π 2，∴0＜α－β＜π， 由 cos（α－β）＝3 5，得 sin（α－β）＝4 5， ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 0 4 πα< < β ( ) cos(2 )8f x x π= + (tan( ), 1), (cos ,2),4a b a b m βα α= + − = ⋅ =   22cos sin 2( ) cos sin α α β α α + + − )(xf β )4tan(cos βαα + )4tan(cos βαα + β ( ) cos(2 )8f x x π= + β π= a b m⋅ = cos tan( ) 24a b βα α⋅ = ⋅ + − cos tan( ) 24 m πα α⋅ + = + 0 4 πα< < 22cos sin 2( ) cos sin α α β α α + + =− 22cos sin(2 2 ) cos sin α α π α α + + − 22cos sin 2 cos sin α α α α += − 2cos (cos sin ) cos sin α α α α α += − 1 tan2cos 1 tan αα α += ⋅ − 42)4tan(cos2 +=+⋅= m παα 又 sinβ＝－ 5 13，∴cosβ＝12 13， ∴sinα＝sin［（α－β）＋β］＝sin（α－β）cosβ＋cos（α－β）sinβ＝33 65。 点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关 系。本题解答中要注意两点：（1）化|→a －→b |为向量运算|→a －→b |2＝（→a －→b ）2；（2）注 意解 α－β 的范围。整个解答过程体现了方程的思想及转化的思想。 综合运用类 例 3 已 知 向 量 ， ， 定 义 函 数 。 （Ⅰ）求函数 的最小正周期； （Ⅱ）在 中，角 为锐角，且 ， ， ，求边 的长。 一点通：（Ⅰ）先根据向量的减法运算求出 ，根据题中的新定义及平面向量的数 量积的运算法则表示出 ，然后利用二倍角的正弦函数公式及两角和的正弦函数公式化 为一个角的正弦函数，然后利用周期公式 即可求出 的最小正周期； （Ⅱ）根据 ，由第一问求出的 的解析式，根据 的范围，利用特殊角的 三角函数值求出 的度数，再根据 的度数求出 的度数，由已知的 ， 及 的值，利用正弦定理即可求出 的值。 答案：（Ⅰ） ∴ ； （Ⅱ）由 得 ， ∴ 且 ， ∴ ，解得 ， 又∵ ，∴ ， 在 中，由正弦定理得： ， ∴ 。 点评：此题综合考查了三角函数的恒等变换，正弦定理及平面向量的数量积运算。函数 周期的求法是把函数化为一个角的三角函数，然后利用周期公式求出。熟练掌握三角函数公 式及平面向量的运算法则是解本题的关键。 )2cos1,(sin xxa += )2 12cos,cos(sin +−= xxxb )()( baaxf −⋅= )(xf ABCΔ A 12 7πBA =+ 1)( =Af 2=BC AC ba − )(xf λ πT 2= )(xf 1)( =Af )(xf A A BA + B BC Asin Bsin AC 2 12cossincos)()( ++⋅=−⋅= xxxbaaxf 2 1)42sin(2 2)12cos2(sin2 1 ++=++= πxxx ππT == 2 2 1)( =Af 12 1)42sin(2 2 =++ πA 2 2)42sin( =+ πA )4 5,4(42 πππA ∈+ 4 3 42 ππA =+ 4 πA = 12 7πBA =+ 3 πB = ABCΔ B AC A BC sinsin = 6sin sin == A BBCAC 思维拓展类 例 4 如图，在 中， ， 是边 上一点， ，则 一点通：利用平面向量的基本定理求解。 答案： ， 点评：本题利用解三角形的方法计算复杂，不易求解，若利用平面向量基本定理的重要 结论，则可使问题简化，先选取 作为基底，其他向量都可以用 进行线性表 示。所以复习中应强化用平面向量解决平面几何问题的意识。 例 5 设 , 满足 , 求函数 在 上的最大值和最小值。 一点通：利用二倍角公式化简函数 ，然后由 求出 a 的值，进一步 化简为 ，再根据 的范围求出 的范围，利用单调性求出函数的 最大值和最小值。 答案： 由 因此 当 为增函数， 当 为减函数， 所以 在 上的最大值为 。 又因为 故 上的最小值为 a R∈ ( ) ( ) 2cos sin cos cos 2f x x a x x x π = − + −   ( )03f f π − =   ( )f x 11[ , ]4 24 π π 2 2( ) sin cos cos sinf x a x x x x= − + sin 2 cos2 .2 a x x= − 3 1( ) (0) 1, 2 3.3 2 2 2 af f a π− = − ⋅ + = − =得 解得 ( ) 3sin 2 cos2 2sin(2 ).6f x x x x π= − = − [ , ] ,2 [ , ], ( )4 3 6 3 2x x f x π π π π π∈ − ∈时 11 3[ , ] ,2 [ , ], ( )3 24 6 2 4x x f x π π π π π∈ − ∈时 11( ) 3, ( ) 2,4 24f f π π= = 11( ) [ , ]4 24f x π π在 11( ) 2.24f π = ABC△ 120 2 1BAC AB AC∠ = = =， ，° D BC 2DC BD= AD BC⋅ =  A B D C 2DC BD= AD∴ = 1 2 1 2 1 2AC AB++ +   BC AC AB= −   3 8 3 1 3 2 3 1)()3 2 3 1( 22 −=⋅+−=−⋅+=⋅ ABACABACABACABACBCAD ,AB AC  ,AB AC  )(xf )0()3( fπf =− )62sin(2)( πxxf −= x 62 πx − )(xf ]24 11,4[ ππ 2)3( =πf 点评：本题考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、 最值，考查计算能力。 例 6 已知函数 为偶函数，且 函数 图象的两相邻对称轴间的距离为 。 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）将函数 的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标 伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求 的单调递减区间。 一 点 通 ： （ Ⅰ ） 先 用 两 角 和 公 式 对 函 数 的 表 达 式 化 简 得 ，利用偶函数的性质即 求得 ，进而求出 的 表达式，把 代入即可。 （Ⅱ）根据三角函数图象的变化可得函数 的解析式，再根据余弦函数的单调性求 得函数 的单调区间。 答案：（Ⅰ） ∵ 为偶函数， ∴对 恒成立， ∴ 。 即 ， 整理得 。 ∵ ，且 ，所以 。 又∵ ，故 = 。 ∴ 。 由题意得 ，所以 。 故 。 ∴ 。 （Ⅱ）将 的图象向右平移 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横 )0,0)(cos()sin(3)( ><<+−+= ωπφφxωφxωxf )(xfy = 2 π )8(πf )(xfy = 6 π )(xgy = )(xg )(xf )6sin(2)( πφxωxf −+= )()( xfxf −= ω )(xf 8 πx = )(xg )(xg )cos()sin(3)( φxωφxωxf +−+= )6sin(2 )]cos(2 1)sin(2 3[2 πφxω φxωφxω −+= +−+= )(xf )()(, xfxfRx =−∈ )6sin()6sin( πφxωπφxω −+=−+− )6sin(cos)6cos(sin)6sin(cos)6cos(sin πφxωπφxωπφxωπφxω −+−=−+−− 0)6cos(sin =− πφxω 0>ω Rx ∈ 0)6cos( =− πφ πφ <<0 6 πφ − 2 π xωπxωxf cos2)2sin(2)( =+= 222 π ω π ⋅= 2=ω xxf 2cos2)( = 24cos2)8( == ππf )(xf 6 π )6( πxf − 坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 的图象。 ∴ 。 当 ， 即 时， 单调递减， 因此 的单调递减区间为 。 点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数图象的应用。 例 7 已知向量 =（2，2），向量 与向量 的夹角为 ，且 · =－2， （1）求向量 ； （2）若 ，其中 A、C 是△ABC 的内角，若 ABC 的三内角 A、B、C 依次成等差数列，试求| + |的取值范围。 答案：（1）设 =（x,y），则 ∴解得 （2） 。 ∴ ∴ =1+ ∴ ∴ 点评：本题是向量与解三角形的综合问题，注意向量的坐标用于表达三角形的内角。 1. 辅助角公式中辅助角的确定： （其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由 确定）在求最值、化简时起着重要作用。 )64( πxf − )32cos(2)]64(2cos[2)64()( πxπxπxfxg −=−=−= )(2322 Zkππkπxπk ∈+≤−≤ )(3 843 24 Zkππkxππk ∈+≤≤+ )(xg )(xg )](3 84,3 24[ Zkππkππk ∈++ → a → b → a 4 3π → a → b → b )2cos2,(cos,)0,1( 2 CActbt =⊥= →→→→ 且 Δ → b → c b .1 4 3cos|| ||,222 22 yx a babyx +==⋅=−=+ π且 )1,0()0,1(,1 0 0 1 −=−=    −= =    = −= bby x y x 或或 )1,0(),0,1(,,3 −=∴=⊥= bttbB 且 π ),cos,(cos)12cos2,(cos 2 CACAcb =−=+ )2cos2(cos2 11coscos|| 222 CACAcb ++=+=+ ),cos(2 11)cos()cos( CACACA −−=−+ ,3 2 3 2 πCAπ <−<− ,1)cos(2 1 ≤−<− CA .2 5||2 2 <+≤ cb ( )2 2sin cos sina x b x a b x θ+ = + + θ θ tan b a θ = 如：若方程 有实数解，则 的取值范围是___________。 （[－2,2]） 2. 向量中一些常用的结论： 在 中，①若 ，则其重心的坐标为 。 ② 为 的重心，特别地 为 的重心； ③ 为 的垂心； ④向量 所在直线过 的内心（是 的角平分线所在 直线）。 判断命题“ 的夹角为锐角的充要条件是 ”的真假。 答：假命题 （答题时间：45 分钟） 一、选择题 1. 设→a ＝（3 2,sinα），→b ＝（cosα,1 3），且→a ∥→b ，则锐角α为 （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 2. 设 0≤θ≤2π 时，已知两个向量OP1→ ＝（cosθ，sinθ），OP2→ ＝（2＋sinθ，2－cosθ），则向量 P1P2→ 长度的最大值是 （ ） A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 2 3 3. 若向量→a ＝（cosα,sinα），→b ＝（cosβ,sinβ），则→a 与→b 一定满足 （ ） A. →a 与→b 的夹角等于α－β B. →a ⊥→b C. →a ∥→b D. （→a ＋→b ）⊥（→a －→b ） 4. 将函数 y＝2sin2x－π 2的图象按向量（π 2，π 2）平移后得到的图象对应的解析式是（ ） A. 2cos2x B. －2cos2x C. 2sin2x D. －2sin2x 二、填空题： 1. 已知在△OAB（O 为原点）中， →OA＝（2cosα，2sinα）， →OB＝（5cosβ，5sinβ），若 →OA· →OB＝－5，则 S△AOB 的值为_____________。 2. 已知向量→ m＝（1，1），向量→ n 与向量→ m的夹角为3π 4 ，且→ m·→ n ＝－1。则向量→ n ＝_______。 三、解答题： sin 3 cosx x c− = c ABC∆ ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y 1 2 3 1 2 3,3 3 x x x y y yG + + + +     1 ( )3PG PA PB PC= + +    ⇔ G ABC∆ 0PA PB PC P+ + = ⇔    ABC∆ PA PB PB PC PC PA P⋅ = ⋅ = ⋅ ⇔      ABC∆ ( )( 0) | | | | ACAB AB AC λ λ+ ≠   ABC∆ BAC∠ ,a b  0a b⋅ >  1. 如图，函数 （其中 ）的图象与 轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）设 是图象上的最高点，M、N 是图象与 轴的交点，求 与 的夹角。 2. 已知向量 向量 与向量 夹角为 ，且 。若向量 与向量 = （1，0）的夹角为 ，求|2 + |的值。 3. 已知向量 m=（sinA,cosA）,n= ，m·n＝1，且 A 为锐角。 （Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）求函数 的值域。 2sin( ),y x x Rπ ϕ= + ∈ 0 2 πϕ≤ ≤ y ϕ P x PM PN ),1,1(=m n m π 4 3 1−=⋅ nm n q )2cos4,sin2(,2 2 AAp =向量π n p ( 3, 1)− ( ) cos2 4cos sin ( )f x x A x x R= + ∈ 一、选择题 1. B 由平行的充要条件得3 2×1 3－sinαcosα＝0，sin2α＝1，2α＝90°，α＝45°。 2. C |P1P2→ |＝ (2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2＝ 10－8cosθ≤3 2。 3. D →a ＋→b ＝（cosα＋cosβ,sinα＋sinβ），→a －→b ＝（cosα＋cosβ,sinα－sinβ），∴（→a ＋ →b ）·（→a －→b ）＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0，∴（→a ＋→b ）⊥（→a －→b ）。 4. D y＝2sin2x－π 2→y＝2sin2（x＋π 2）－π 2＋π 2，即 y＝－2sin2x。 二、填空题： 1. 5 2 →OA· →OB＝－5⇒10cosαcosβ＋10sinαsinβ＝－5⇒10cos（α－β）＝－5⇒cos（α－β） ＝－1 2， ∴sin∠AOB＝2，又| →OA|＝2，| →OB|＝5，∴S△AOB＝1 2×2×5×2＝5 2。 2. （－1，0）或（0，－1） 设→ n ＝（x，y），由→ m·→ n ＝－1，有 x＋y＝－1 ①，由→ m与→ n 的夹角为3π 4 ，有→ m·→ n ＝| → m|·|→ n |cos3π 4 ，∴|→ n |＝1，则 x2＋y2＝1 ②，由①②解得 或 ∴即→ n ＝（－1，0）或→ n ＝（0，－1）。 三、解答题： 1. 解：（I）因为函数图象过点 ，所以 即 因为 ，所以 。 （II）由函数 及其图象，得 所以 从而 ，故 。 2. 解：由 垂直知 ∴ 3. 解：（Ⅰ）由题意得 ，    = −= 0 1 y x    −= = 1 0 y x (0,1) 2sin 1,ϕ = 1sin .2 ϕ = 0 2 πϕ≤ ≤ 6 πϕ = 2sin( )6y x ππ= + 1 1 5( ,0), ( , 2), ( ,0),6 3 6M P N− − 1 1( ,2), ( , 2),2 2PM PN= − = −  cos , | | | | PM PNPM PN PM PN ⋅< >= ⋅      15 17 = ,PM PN< >=  15arccos17 qn与 ).1,0( −=n ),cos2,sin2()22cos4,sin2(2 2 AAAApn =−=+ 2cos4sin4|2| 22 =+=+ AApn 1cossin3 =−=⋅ AAnm 12sin( ) 1,sin( ) .6 6 2A A π π− = − = 由 A 为锐角得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 所以 。 因为 x∈R，所以 ，因此，当 时，f（x）有最大值 。 当 sinx=－1 时，f（x）有最小值－3，所以所求函数 f（x）的值域是 。 , .6 6 3A A π π π− = = 1cos ,2A = 2 3)2 1(sin2sin2sin21sin22cos)( 22 +−−=+−=+= xxxxxxf [ ]sin 1,1x∈ − 1sin 2x = 3 2 33, 2  −  