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- 2021-06-11 发布
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§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲
考情考向分析
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．
dr⇔相离．
(2)代数法：
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，∴k＝，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
题型一 直线与圆的位置关系
1．(2018届贵州黔东南州联考)在△ABC中，若asin A＋bsin B－csin C＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
答案 A
解析 因为asin A＋bsin B－csin C＝0，
所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝0.
故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1＝r，故圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切，故选A.
2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
答案 C
解析 直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，
故选C.
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
题型二 圆与圆的位置关系
典例 已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为( )
A. B. C. D．2
答案 C
解析 由圆C1与圆C2外切，
可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为.
引申探究
1．若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．
解 由C1与C2内切得＝1.
即(a＋b)2＝1，又ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为.
2．若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．
解 由题意把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得
圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①
圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②
由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，
即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线方程．
思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
跟踪训练 (2017·重庆调研)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．
答案 (－2，0)∪(0,2)
解析 圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0<<2＋2，∴0<|a|<2.
∴a∈(－2，0)∪(0,2)．
题型三 直线与圆的综合问题
命题点1 求弦长问题
典例 直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
答案 2
解析 ∵圆x2＋y2＝4的圆心为点(0,0)，半径r＝2，
∴圆心到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝1，
∴弦长|AB|＝2＝2.
命题点2 直线与圆相交求参数范围
典例 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1.
解得0，b>0)的离心率为，则其渐近线与圆(x－a)2＋y2＝a2的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案 C
解析 因为一条渐近线方程为ay－bx＝0，又离心率为＝，所以a＝b，所以渐近线方程为y－x＝0，由(x－a)2＋y2＝a2知圆心为(a,0)，半径为a，圆心到直线的距离d＝＝>a，所以直线与圆相离，故选C.
2．(2017·辽宁辽南协作体模拟)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A．18 B．6 C．5 D．4
答案 C
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，
圆心到直线的距离为＝2<3，
故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为3＋2＝5.综上可得，圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离的差是5－0＝5.故选C.
3．(2018·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( )
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－
答案 B
解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.
4．(2017·广州调研)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 C
解析 如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆．由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．
5．(2017·福建漳州八校联考)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么( )
A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切
C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离
答案 C
解析 ∵点P(a，b)(ab≠0)在圆内，∴a2＋b2＝r，
∴m∥l，l与圆相离．故选C.
6．(2018·洛阳二模)已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则|PA|的最小值为( )
A. B．1
C.－1 D．2－
答案 D
解析 方法一 由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，
设P(cos α，sin α)，则A(cos α，2－cos α)，
∴|PA|＝|2－cos α－sin α|＝，
∴|PA|的最小值为2－，故选D.
方法二 由题意可知圆心(0,0)到直线x＋y＝2的距离d＝＝，∴圆C上一点到直线x＋y＝2的距离的最小值为－1.由题意可得|PA|min＝(－1)＝2－，故选D.
7．(2018届南昌摸底)已知动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，点C为直线l上一点，且满足＝，若M是线段AB的中点，则·的值为( )
A．3 B．2
C．2 D．－3
答案 A
解析 动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，则△OAB为等边三角形，于是可设动直线l的方程为y＝(x＋2)，根据题意可得B(－2,0)，A(－1，)，∵M是线段AB的中点，
∴M，设C(x，y)，
∵＝，∴(－2－x，－y)＝(－1－x，－y)，
∴解得
∴C，
∴·＝·＝＋＝3，故选A.
8．(2016·全国Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
答案 4
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得y2－3y＋6＝0，
解得x1＝－3，y1＝；x2＝0，y2＝2，
∴A(－3，)，B(0,2)．
过A，B作l的垂线方程分别为
y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0，则xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.
9．(2017·兰州月考)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
答案 3－5
解析 把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得
(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.
圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；
圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.
圆心距d＝＝3.
所以|PQ|的最小值是3－5.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为______．
答案
解析 由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2
＋(y1－y2)2表示(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为－＝，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.
11．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．
解 把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，
C到l的距离d＝2＝r，满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，
得l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.
∴l的方程为y－3＝－(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2
＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，
|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，
整理，得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
12．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设圆心C(a,0)，
则＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN，即＋＝0，
则＋＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，
亦即－＋2t＝0，解得t＝4，
所以当点N坐标为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
13．(2018·贵州贵阳第一中学月考)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋4－4m＝0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是( )
A．m≤1或m≥2 B．2≤m≤8
C．－2≤m≤10 D．m≤－2或m≥8
答案 C
解析 如图，设切点分别为A，B.连接AC，BC，MC，由∠AMB＝∠MAC＝∠MBC＝90°及MA＝MB知，四边形MACB为正方形，故|MC|＝＝2，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心(－1,2)到直线l的距离d＝≤2，即m2－8m－20≤0，∴－2≤m≤10，故选C.
14．(2017·郑州一模)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．
答案 4
解析 ⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.
又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5.
又A，B关于OO1所在直线对称，
∴AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍，
∴|AB|＝2×＝4.
15．(2017·石家庄一模)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由已知可得圆心(0,0)到直线2ax＋by－2＝0的距离d＝，
则直线被圆截得的弦长为2＝2，
化简得4a2＋b2＝4.
∴t＝a＝·(2a)·
≤[(2a)2＋()2]
＝(8a2＋2b2＋1)＝，
当且仅当时等号成立，即t取最大值，此时a＝(舍负值)．故选D.
16．(2017·日照一模)曲线y＝的一条切线l与直线y＝x，y轴围成的三角形记为△OAB，则△OAB外接圆面积的最小值为( )
A．8π B．8(3－)π
C．16(－1)π D．16(2－)π
答案 C
解析 y′＝，设直线l与曲线的切点坐标为(x0，y0)，则直线l的方程为y－＝·(x－x0)，即y＝x＋.不妨设直线l与直线y＝x的交点为A，与y轴的交点为B，可求得A(2x0，2x0)，B.
∴|AB|2＝4x＋2＝8x＋－32
≥32(－1)，当且仅当x＝2时取等号．
由正弦定理可得△OAB的外接圆的半径R＝·＝|AB|，
则△OAB外接圆的面积S＝πR2＝π|AB|2≥16(－1)π.故选C.
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