2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）【word版本；可编辑；含答案】1 10页

‎2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合A=x|x‎2‎-3x-4<0‎,B=‎‎-4,1,3,5‎，则A∩B=()‎ A.‎-4,1‎ B.‎1,5‎ C.‎3,5‎ D.‎‎1,3‎ ‎2.若z=1+2i+‎i‎3‎，则‎|z|=()‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎2‎ ‎3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()‎ A.‎5‎‎-1‎‎4‎ B.‎5‎‎-1‎‎2‎ C.‎5‎‎+1‎‎4‎ D.‎‎5‎‎+1‎‎2‎ ‎4.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取‎3‎点，则取到的‎3‎点共线的概率为‎()‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎4‎‎5‎ ‎5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：‎​‎‎∘‎C）的关系，在‎20‎个不同温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据‎(xi,yi)(i=1,2,⋯,20)‎得到下面的散点图：‎ 由此散点图，在‎10‎‎∘‎C至‎40‎‎∘‎C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是‎()‎ A.y=a+bx B.y=a+bx‎2‎ C.y=a+bex D.‎y=a+blnx ‎6.已知圆x‎2‎‎+y‎2‎-6x=0‎，过点‎1,2‎的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎7.设函数f(x)=cos(ωx+π‎6‎)‎在‎[-π,π]‎的图象大致如图，则f(x)‎的最小正周期为‎()‎ A.‎10π‎9‎ B.‎7π‎6‎ C.‎4π‎3‎ D.‎‎3π‎2‎ ‎8.设alog‎3‎4=2‎，则‎4‎‎-a‎=()‎ A.‎1‎‎16‎ B.‎1‎‎9‎ C.‎1‎‎8‎ D.‎‎1‎‎6‎ ‎9.执行下面的程序框图，则输出的n=()‎ ‎ 10 / 10‎ A.‎17‎ B.‎19‎ C.‎21‎ D.‎‎23‎ ‎10.设an是等比数列，且a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎=1‎，a‎2‎‎+a‎3‎+a‎4‎=2‎，则a‎6‎‎+a‎7‎+a‎8‎=()‎ A.‎12‎ B.‎24‎ C.‎30‎ D.‎‎32‎ ‎11.设F‎1‎‎,‎F‎2‎是双曲线C:x‎2‎-y‎2‎‎3‎=1‎的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且‎|OP|=2‎，则‎△PF‎1‎F‎2‎的面积为()‎ A.‎7‎‎2‎ B.‎3‎ C.‎5‎‎2‎ D.‎‎2‎ ‎12.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，‎⊙‎O‎1‎为‎△ABC的外接圆，若‎⊙‎O‎1‎的面积为‎4π，AB=BC=AC=OO‎1‎，则球O的表面积为‎()‎ A.‎64π B.‎48π C.‎36π D.‎‎32π 二、填空题 ‎13.若x，y满足约束条件‎2x+y-2≤0,‎x-y-1≥0,‎y+1≥0,‎则z=x+7y的最大值为________.‎ ‎14.设向量a‎→‎‎=‎1,-1‎,b‎→‎=‎m+1,2m-4‎，若a‎→‎‎⊥‎b‎→‎，则m=‎________.‎ ‎15.曲线y=lnx+x+1‎的一条切线的斜率为‎2‎，则该切线的方程为________.‎ ‎16.数列an满足an+2‎‎+‎-1‎nan=3n-1‎，前‎16‎项和为‎540‎，则a‎1‎‎=‎________.‎ 三、解答题 ‎17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费‎90‎元，‎50‎元，‎20‎元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费‎50‎元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为‎25‎元‎/‎件，乙分厂加工成本费为‎20‎元‎/‎件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了‎100‎件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：‎ 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 ‎40‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎20‎ 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 ‎28‎ ‎17‎ ‎34‎ ‎21‎ ‎(1)‎分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；‎ ‎ 10 / 10‎ ‎(2)‎分别求甲、乙两分厂加工出来的‎100‎件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？‎ ‎18.‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=‎‎150‎‎∘‎.‎ ‎(1)‎若a=‎3‎c，b=2‎‎7‎，求‎△ABC的面积；‎ ‎(2)‎若sinA+‎3‎sinC=‎‎2‎‎2‎，求C．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎19.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，‎△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，‎∠APC=‎‎90‎‎∘‎.‎ ‎(1)‎证明：平面PAB⊥‎平面PAC；‎ ‎(2)‎设DO=‎‎2‎，圆锥的侧面积为‎3‎π，求三棱锥P-ABC的体积．‎ ‎20.已知函数f(x)=ex-a(x+2)‎.‎ ‎(1)‎当a=1‎时，讨论f(x)‎的单调性；‎ ‎(2)‎若f(x)‎有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎21.已知A，B分别为椭圆E：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎=1 ‎a>1‎的左、右顶点，G为E的上顶点，AG‎→‎‎⋅GB‎→‎=8‎，P为直线x=6‎上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.‎ ‎(1)‎求E的方程；‎ ‎(2)‎证明：直线CD过定点．‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线C‎1‎的参数方程为x=coskt，‎y=sinkt（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C‎2‎的极坐标方程为‎4ρcosθ-16ρsinθ+3=0‎.‎ ‎(1)‎当k=1‎时，C‎1‎是什么曲线？‎ ‎(2)‎当k=4‎时，求C‎1‎与C‎2‎的公共点的直角坐标．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎23.已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|‎.‎ ‎(1)‎画出y=f(x)‎的图象；‎ ‎(2)‎求不等式f(x)>f(x+1)‎的解集.‎ ‎ 10 / 10‎ 参考答案与试题解析 ‎2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）‎ 一、选择题 ‎1.D ‎2.C ‎3.C ‎4.A ‎5.D ‎6.B ‎7.C ‎8.B ‎9.C ‎10.D ‎11.B ‎12.A 二、填空题 ‎13.‎‎1‎ ‎14.‎‎5‎ ‎15.‎y=2x ‎16.‎‎7‎ 三、解答题 ‎17.解：‎(1)‎由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为‎40‎‎100‎‎=0.4‎，‎ 乙厂加工出来的一件产品为A级品的概率为‎28‎‎100‎‎=0.28‎；‎ ‎(2)‎甲分厂加工‎100‎件产品的总利润为：‎ ‎40×‎90-25‎+20×‎50-25‎+20×‎20-25‎-20×‎50+25‎=1500‎‎（元），‎ 所以甲分厂加工‎100‎件产品的平均利润为‎15‎元每件；‎ 乙分厂加工‎100‎件产品的总利润为：‎ ‎28×‎90-20‎+17×‎50-20‎+34×‎20-20‎-21×‎50+20‎=1000‎‎（元），‎ 所以乙分厂加工‎100‎件产品的平均利润为‎10‎元每件．‎ 故厂家选择甲分厂承接加工任务．‎ ‎18.解：‎(1)‎由余弦定理可得：‎ b‎2‎‎=28=a‎2‎+c‎2‎-2ac⋅cos‎150‎‎∘‎=7‎c‎2‎‎，‎ ‎∴c=2，a=2‎‎3‎，‎ ‎∴‎△ABC的面积S=‎1‎‎2‎acsinB=‎‎3‎.‎ ‎(2)‎‎∵A+C=‎‎30‎‎∘‎，‎ ‎∴‎sinA+‎3‎sinC ‎=sin‎30‎‎∘‎‎-C+‎3‎sinC ‎=‎1‎‎2‎cosC+‎3‎‎2‎sinC ‎=sinC+‎‎30‎‎∘‎ ‎=‎‎2‎‎2‎‎．‎ ‎∵‎0‎‎∘‎‎0‎.‎ ‎∴fx在‎-∞,0‎上单调递减，在‎0,+∞‎上单调递增．‎ ‎(2)‎‎①当a≤0‎时，f‎'‎x‎>0‎恒成立，‎ fx在‎-∞,+∞‎上单调递增，不符合题意；‎ ‎ 10 / 10‎ ‎②当a>0‎时，令f‎'‎x‎=0‎，解得x=lna.‎ 当x∈‎‎-∞,lna时，f‎'‎x‎<0‎；‎ 当x∈‎lna,+∞‎时，f‎'‎x‎>0‎，‎ ‎∴fx在x∈‎‎-∞,lna上单调递减，在x∈‎lna,+∞‎上单调递增，‎ ‎∴fxmin=flna=a-alna+2‎=-a‎1+lna，‎ ‎∴要使fx有两个零点，则flna<0‎即可，‎ 则‎1+lna>0⇒a>‎e‎-1‎.‎ 综上，若fx有两个零点，则a∈‎e‎-1‎‎,+∞‎.‎ ‎21.‎(1)‎解：依题意作出如下图象，‎ 由椭圆方程E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎=1‎a>1‎，‎ 可得：A‎-a,0‎,Ba,0‎,G‎0,1‎，‎ ‎∴AG‎→‎‎=a,1‎,GB‎→‎=‎a,-1‎，‎ ‎∴AG‎→‎‎⋅GB‎→‎=a‎2‎-1=8‎，‎ ‎∴a‎2‎‎=9‎，‎ ‎∴椭圆方程为：x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎=1‎.‎ ‎(2)‎证明：设P‎6,‎y‎0‎，‎ 则直线AP的方程为：y=‎y‎0‎‎-0‎‎6-‎‎-3‎x+3‎，‎ 即：y=‎y‎0‎‎9‎x+3‎.‎ 联立直线AP的方程与椭圆方程可得：‎ x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎=1,‎y=y‎0‎‎9‎x+3‎,‎ 整理得：y‎0‎‎2‎‎+9‎x‎2‎‎+6y‎0‎‎2‎x+9y‎0‎‎2‎-81=0‎，‎ 解得：x=-3‎或x=‎‎-3y‎0‎‎2‎+27‎y‎0‎‎2‎‎+9‎.‎ 将x=‎‎-3y‎0‎‎2‎+27‎y‎0‎‎2‎‎+9‎代入直线y=‎y‎0‎‎9‎x+3‎,‎ 可得：y=‎‎6‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎+9‎，‎ 所以点C的坐标为‎-3y‎0‎‎2‎+27‎y‎0‎‎2‎‎+9‎‎,‎‎6‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎+9‎.‎ 同理可得：点D的坐标为‎3y‎0‎‎2‎-3‎y‎0‎‎2‎‎+1‎‎,‎‎-2‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎+1‎.‎ ‎∴直线CD的方程为 y-‎-2‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎+1‎=‎‎6‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎+9‎‎-‎‎-2‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎+1‎‎-3y‎0‎‎2‎+27‎y‎0‎‎2‎‎+9‎‎-‎‎3y‎0‎‎2‎-3‎y‎0‎‎2‎‎+1‎x-‎‎3y‎0‎‎2‎-3‎y‎0‎‎2‎‎+1‎‎,‎ 整理可得：‎y+‎2‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎+1‎=‎‎8‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎+3‎‎6‎‎9-‎y‎0‎‎4‎x-‎‎3y‎0‎‎2‎-3‎y‎0‎‎2‎‎+1‎ ‎=‎‎8‎y‎0‎‎6‎‎3-‎y‎0‎‎2‎x-‎‎3y‎0‎‎2‎-3‎y‎0‎‎2‎‎+1‎‎，‎ 整理得：y=‎4‎y‎0‎‎3‎‎3-‎y‎0‎‎2‎x+‎2‎y‎0‎y‎0‎‎2‎‎-3‎=‎‎4‎y‎0‎‎3‎‎3-‎y‎0‎‎2‎x-‎‎3‎‎2‎，‎ ‎ 10 / 10‎ 故直线CD过定点‎3‎‎2‎‎,0‎.‎ ‎22.解：‎(1)‎当k=1‎时，曲线C‎1‎的参数方程为x=cost，‎y=sint（t为参数），‎ 两式平方相加得x‎2‎‎+y‎2‎=1‎，‎ 所以曲线C‎1‎表示以坐标原点为圆心，半径为‎1‎的圆.‎ ‎(2)‎当k=4‎时，曲线C‎1‎的参数方程为x=cos‎4‎t，‎y=sin‎4‎t（t为参数），‎ 所以x≥0，y≥0‎，‎ 曲线C‎1‎的参数方程化为x‎=cos‎2‎t，‎y‎=sin‎2‎t（t为参数），‎ 两式相加得曲线C‎1‎方程为x‎+y=1‎，‎ 得y‎=1-‎x，‎ 平方得y=x-2x+1，0≤x≤1，0≤y≤1‎.‎ 曲线C‎2‎的极坐标方程为‎4ρcosθ-16ρsinθ+3=0‎，‎ 曲线C‎2‎直角坐标方程为‎4x-16y+3=0‎，‎ 联立C‎1‎‎,‎C‎2‎方程y=x-2x+1，‎‎4x-16y+3=0，‎ 整理得‎12x-32x+13=0‎，‎ 解得x‎=‎‎1‎‎2‎或x‎=‎‎13‎‎6‎（舍去），‎ ‎∴x=‎1‎‎4‎，y=‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴C‎1‎‎,‎C‎2‎公共点的直角坐标为‎1‎‎4‎‎,‎‎1‎‎4‎.‎ ‎23.解：‎(1)‎因为f(x)=‎x+3,x≥1,‎‎5x-1,-‎1‎‎3‎