江西省南昌市进贤一中2021届高三暑期摸底考试数学（理科）试卷 Word版含答案 12页

进贤一中2021届高三暑期摸底考试 ‎（理科）数学试卷 ‎ 一、单选题 ‎1．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ）‎ A． B．且 C． D．且 ‎2．若复数是虚数单位），则的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．二项式的展开式中的常数项为（ ）‎ A．－15 B．20 C．15 D．－20‎ ‎4．已知，令，，，那么之间的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知实数满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A．11 B．9 C．8 D．3‎ ‎6．“”是“直线与圆相切”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在中，，，则（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ - 12 -‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．定义为个正数的“快乐数”.若已知正项数列的前项的“快乐数”为，则数列的前项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，设其中一个切点为，若点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．已知均为单位向量，若，则与的夹角为________.‎ ‎14．若是奇函数，则_______.‎ ‎15．数式中省略号“···”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则，则，取正值得.用类似方法可得__________.‎ ‎16．在四面体中，若， ，，则四面体的外接球的表面积为_______.‎ 三、解答题（17－21题12分）‎ - 12 -‎ ‎17．的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎18．年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由年底的下降到年底的，创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，年至年我国贫困发生率的数据如下表：‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 贫困发生率 ‎ ‎10.2‎ ‎8.5‎ ‎7.2‎ ‎5.7‎ ‎4.5‎ ‎3.1‎ ‎1.4‎ ‎（1）从表中所给的个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于的概率；‎ ‎（2）设年份代码，利用线性回归方程，分析年至年贫困发生率与年份代码的相关情况，并预测年贫困发生率.‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎(的值保留到小数点后三位）‎ ‎19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20．己知椭圆的离心率为，分别是椭圈的左、右焦点，椭圆的焦点到双曲线渐近线的距离为 - 12 -‎ ‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆经过点，且原点到直线的距离为，求直线的方程.‎ ‎21．已知函数，其中，为自然对数的底数.‎ ‎（1）当时，证明：对1；‎ ‎（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．‎ 四、选做题二选一（10分）‎ ‎22．已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎23．设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ - 12 -‎ 理科数学参考答案 ‎1．D 2．D 3．C 4．A 5．C 6．A 7．B 8．D 9．A 10．B 11．C 12．C 由题意知函数的定义域为，‎ ‎.‎ 因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.‎ 令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.‎ ‎13． 14．1 15．4 16．‎ 由题意可知，四面体是由下方图形中的长方体切割得到，为长方体的四个顶点，则四面体的外接球即为长方体的外接球 设长方体长、宽、高分别为 则 ‎ - 12 -‎ 即长方体体对角线长度为：‎ 长方体外接球半径为体对角线长度一半，即 四面体外接球表面积：‎ 本题正确结果：‎ ‎17．（1）由正弦定理得：‎ ‎ ，又 ‎ ‎，即 由得：‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ 又（当且仅当时取等号） ‎ 即 三角形面积的最大值为：‎ ‎18．（1）由数据表可知，贫困发生率低于的年份有个 从个贫困发生率中任选两个共有：种情况 选中的两个贫困发生率低于的情况共有：种情况 所求概率为：‎ ‎（2）由题意得：；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎， 线性回归直线为：‎ - 12 -‎ ‎ 年至年贫困发生率逐年下降，平均每年下降 当时，‎ 年的贫困发生率预计为 ‎19．（1）证明：取中点，连接，，‎ 四边形为菱形 ‎ 又 为等边三角形，又为中点 ‎ ‎，为中点 ‎ 平面， 平面 又平面 ‎ ‎（2）以为原点，可建立如下图所示空间直角坐标系：‎ 由题意知：，，，‎ 则，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量 ‎，令，则， ‎ 设直线与平面所成角为 - 12 -‎ 即直线与平面所成角的正弦值为：‎ ‎20．（1）由题意知，，‎ 双曲线方程知，其渐近线方程为：‎ 焦点到双曲线渐近线距离：，解得：‎ 由椭圆离心率得： ‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（2）原点到直线距离为：，整理得：‎ 设，‎ 由得：‎ 则，即：‎ ‎，‎ 以为直径的圆过点 ‎ 又 ，‎ - 12 -‎ 即：‎ 由且得：，满足 直线方程为：‎ ‎21．(1)当时，，于是，.‎ 又因为，当时，且.‎ 故当时，，即. ‎ 所以，函数为上的增函数，于是，.‎ 因此，对，；‎ ‎(2) 方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零点，‎ ‎①当时，为上的增函数，‎ 注意到，，‎ 所以，存在唯一实数，使得成立. ‎ 于是，当时，，为上的减函数；‎ 当时，，为上的增函数；‎ 所以为函数的极小值点； ‎ ‎②当时，在上成立，‎ - 12 -‎ 所以在上单调递增，所以在上没有极值；‎ ‎③当时，在上成立，‎ 所以在上单调递减，所以在上没有极值， ‎ 综上所述，使在上存在极值的的取值范围是.‎ 方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点.‎ 即在上存在零点. ‎ 设，，则由单调性的性质可得为上的减函数.‎ 即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点.‎ 下面证明，当时，函数在上存在极值.‎ 事实上，当时，为上的增函数，‎ 注意到，，所以，存在唯一实数，‎ 使得成立.于是，当时，，为上的减函数；‎ 当时，，为上的增函数；‎ 即为函数的极小值点.‎ - 12 -‎ 综上所述，当时，函数在上存在极值.‎ ‎22．（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：‎ 曲线极坐标方程可化为：‎ 则曲线的直角坐标方程为：，即 ‎（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：‎ 设两点对应的参数分别为：，则，‎ ‎23．（1）当时，，解得：‎ 当时，，恒成立 当时，，解得：‎ 综上所述，不等式的解集为：‎ ‎（2）由得：‎ 由（1）知：‎ 令 当时，‎ - 12 -‎ 当时，‎ 当时，‎ 综上所述，当时，‎ 恒成立 ‎ - 12 -‎