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  • 2021-06-11 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版利用数轴解决集合运算问题学案

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专题01 利用数轴解决集合运算问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 数形结合是解决高中数学问题的常用手段,其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果,与代数的精确性结合,能够快速解决一些较麻烦的问题.在集合的运算中,涉及到单变量的取值范围,数轴就是一个非常好用的工具,本专题以一些题目为例,来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交集、并集及补集等运算.‎ ‎1、集合运算在数轴中的体现:‎ ‎ 在数轴上表示为表示区域的公共部分.‎ ‎ 在数轴上表示为表示区域的总和.‎ ‎ 在数轴上表示为中除去剩下的部分(要注意边界值能否取到).‎ ‎2、问题处理时的方法与技巧:‎ ‎(1)涉及到单变量的范围问题,均可考虑利用数轴来进行数形结合,尤其是对于含有参数的问题时,由于数轴左边小于右边,所以能够以此建立含参数的不等关系.‎ ‎(2)在同一数轴上作多个集合表示的区间时,可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域.‎ ‎(3)涉及到多个集合交并运算时,数轴也是得力的工具,从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域.交集即为公共部分,而并集为覆盖的所有区域.‎ ‎(4)在解决含参数问题时,作图可先从常系数的集合(或表达式)入手,然后根据条件放置参数即可.‎ ‎3、作图时要注意的问题:学/* / ‎ ‎(1)在数轴上作图时,若边界点不能取到,则用空心点表示;若边界点能够取到,则用实心点进行表示,这些细节要在数轴上体现出来以便于观察.‎ ‎(2)处理含参数的问题时,要检验参数与边界点重合时是否符合题意.‎ ‎【经典例题】‎ 例1【2017课标1,理1】已知集合A={x|x<1},B={x|},则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由可得,则,即,所以,结合数轴得 ‎,,故选A.‎ 例2【2018届河北省衡水中学高三上学期七调】 设集合, ,全集,若,则有( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,结合数轴得,故选C.‎ 例3【2018届河北省武邑中学高三下学期开学】设常数,集合, ,若,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由题得,因为,所以通过画数轴分析得到,(注意一定要取等),故选B.‎ ‎【名师点睛】:(1)含有参数的问题时,可考虑参数所起到的作用,在本题中参数决定区间的端点;‎ ‎(2)含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图象,再按要求放置含参的集合;‎ ‎(3)注意考虑端点处是否可以重合.‎ 例4【2018届河北省衡水中学高三上学期九模】已知集合, ,若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 例5.已知函数,对,使得成立,则实数的取值范围是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】思路:任取,则取到值域中的每一个元素,依题意,存在使得,意味着值域中的每一个元素都在的值域中,即的值域为的值域的子集,分别求出两个函数值域,再利用子集关系求出的范围 解:时, 时,‎ ‎ ‎ 综上所述:‎ 答案:.‎ 例6.已知集合,若,则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考察如何根据所给条件,在数轴上标好集合的范围.从而确定出的值, ,所以.‎ 例7. 已知集合,若,则实数的取值范围为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先解出的解集,意味着有公共部分,利用数轴可标注集合两端点的位置,进而求出的范围 ‎ ‎ 且 ‎.‎ 例8:在上定义运算,若关于的不等式的解集是的子集,则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C.或 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先将变为传统不等式:,不等式含有参数,考虑根据条件对进行分类讨论。设解集为,因为,所以首先解集要分空集与非空两种情况:当时,则;当时,根据的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出的范围即可 解: +- ‎ 设解集为 ‎ 当时,则 当时:‎ 若时,‎ ‎ ‎ 若时,‎ ‎ ‎ 综上所述:‎ 答案:D. ‎ ‎【精选精练】‎ ‎1【2017北京,理1】若集合A={x|–23},则AB=‎ ‎(A){x|–2