高中数学第2章常用逻辑用语课时分层作业6命题定理定义含解析苏教版必修第一册 4页

课时分层作业(六)　命题、定理、定义 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．下列语句中是命题的是(　　)‎ A．两个奇数的和是奇数吗？‎ B．sin 45°＝1‎ C．x2＋2x－1>0‎ D．x2＋y2＝0‎ B　[对于A，是疑问句，不是命题；对于C，D，不能判断真假，不是命题；对于B，是陈述句且能判断真假，是命题．]‎ ‎2．下列命题中是假命题的是(　　)‎ A．若a>b>c>d，则a＋b>c＋d B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若A＝60°，则cos A＝ B　[因为|a|＝|b|，所以 a＝b或a＝－b，故选B．]‎ ‎3．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是(　　)‎ A．两条直线 B．一条直线 C．垂直 D．两条直线垂直于同一条直线 D　[命题的条件是“两条直线垂直于同一条直线”．故选D．]‎ ‎4．已知集合A是整数集Z的非空子集，任取a，b∈A，若a＋b∈A，a－b∈A，ab∈A同时成立，并且A中的元素只有有限个，那么满足要求的集合A的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．无穷多个 B　[任取k∈A，根据条件，k＋k＝2k∈A,2k＋k＝3k∈A……对于任意正整数n，都有nk∈A，若k≠0，则A中的元素必有无限多个，与条件矛盾，故k必须等于零，则0＋0＝0－0＝0×0＝0，满足条件．因此满足要求的集合A的个数为1，故选B．]‎ ‎5．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(　　)‎ A．4 B．2 ‎ - 4 -‎ C．0 D．－3‎ C　[由题意知，Δ＝a2－4<0，故a＝0适合题意．]‎ 二、填空题 ‎6．(一题多空)命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p： ， 结论q： ．它是 命题(填“真”或“假”)．‎ a>0　二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)　真　[a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]‎ ‎7．设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且xA∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，则A×B＝ ．‎ ‎{x|0≤x<1或x>3}　[∵A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且xA∩B}，A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，故A×B＝{x|0≤x<1或x>3}．]‎ ‎8．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为 ．‎ ‎(－∞，0)∪(0,1)　[由题意知解得a<1，且a≠0．]‎ 三、解答题 ‎9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．‎ ‎(1)当ac>bc时，a>b；‎ ‎(2)面积相等的两个三角形全等；‎ ‎(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0．‎ ‎[解]　(1)若ac>bc，则a>b．‎ 由于ac>bc，c<0时，a0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　因为ax2－2ax－3>0不成立，‎ 所以ax2－2ax－3≤0恒成立．‎ ‎(1)当a＝0时，－3≤0成立；‎ ‎(2)当a≠0时，应满足解之得－3≤a<0．‎ 由(1)(2)得a的取值范围为[－3,0]．‎ ‎1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”‎ - 4 -‎ 这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是(　　)‎ A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 A　[“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A．]‎ ‎2．设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且∀a，b，c∈T有abc∈T，∀x，y，z∈V有xyz∈V，有结论：‎ ‎①T，V中至少有一个关于乘法是封闭的；‎ ‎②T，V中至多有一个关于乘法是封闭的；‎ ‎③T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的；‎ ‎④T，V中每一个关于乘法都是封闭的．‎ 其中结论恒成立的是 ．‎ ‎①　[①因为T∪V＝Z，故必有1∈T或1∈V，不妨设1∈T，则令c＝1，‎ 依题意对∀a，b∈T，有ab∈T，‎ 从而T关于乘法是封闭的；‎ 同理当1∈V时，可得V关于乘法是封闭的；‎ 故①是恒成立的；‎ 若T＝{奇数}，V＝{偶数}，显然两者都关于乘法是封闭，故②③均不恒成立；‎ 取T＝N，则V为所有负整数组成的集合，显然T关于乘法是封闭的，但V关于乘法是不封闭的，如(－1)×(－2)＝2V，故④也不是恒成立的．故答案为①．]‎ ‎3．下列命题是真命题的是 ．‎ ‎①0是{0,1,2}的真子集；‎ ‎②关于x的方程x2＋|x|＝0有四个实数根；‎ ‎③设a，b，c是实数，若a>b，则ac2>bc2；‎ ‎④若a≠0，则(a2＋1)2>a4＋a2＋1．‎ ‎④　[对于①，0是集合{0,1,2}的元素，不是真子集，故①是假命题；对于②，由x2＋|x|＝0得|x|＝0，所以x＝0，方程有一个实数根，故②是假命题；‎ 对于③，当c＝0时，ac2＝bc2，故③是假命题；‎ 对于④，当a≠0得(a2＋1)2＝a4＋‎2a2＋1>a4＋a2＋1，故④是真命题．]‎ ‎4．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是 ．‎ ‎56　[由条件一：S是A的子集，满足条件的有26＝64(个)；‎ - 4 -‎ 由条件二：在条件一的64个集合中，和B交集为空集的，必然不含元素4,5,6，那集合应该是{1,2,3}的子集，有23＝8(个)．‎ 因此，满足两个条件的集合的个数为64－8＝56(个)．]‎ ‎5．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．‎ ‎[解]　若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>‎1”‎．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4．故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．‎ - 4 -‎