2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第一章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系充分条件与必要条件 10页

www.ks5u.com 第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件 考试要求　1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.‎ 知 识 梳 理 ‎1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.‎ ‎2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同.‎ ‎3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(　　)‎ ‎(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　)‎ ‎(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(　　)‎ ‎(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.(　　)‎ 解析　(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√‎ ‎2.(新教材必修第一册P34复习参考题T5改编)设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>”，‎ 若“a>”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，‎ 故“ab>1”是“a>”的既不充分也不必要条件.‎ 答案　D ‎3.(老教材选修2－1P2例1改编)下面有4个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a不属于N，则a属于N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④x2＋1＝2x的解可表示为{1，1}.其中真命题的个数为________.‎ 解析　①为假命题，集合N中最小的数是0；②为假命题，如a＝不满足；③为假命题，如a＝0，b＝1，a＋b＝1，比2小；④为假命题，所给集合中的元素不满足互异性.‎ 答案　0‎ ‎4.(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.‎ 解析　a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，‎ 则a＋b＝－6a是q：2a}，∴a≤2.‎ 答案　(－∞，2]‎ ‎6.(2020·青岛二中检测)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.‎ 解析　直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解得－11，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”‎ B.“若am24x0成立 D.“若sin α≠，则α≠”是真命题 ‎(2)(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.‎ 解析　(1)对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；‎ 对于B项，若“am23x，C错；‎ 对于D项，原命题的逆否命题为“若α＝，则sin α＝”是真命题，故原命题是真命题.‎ ‎(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0).‎ 答案　(1)D　(2)f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一 ，再如f(x)＝)‎ 规律方法　1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：‎ ‎(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；‎ ‎(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.‎ ‎2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.‎ ‎3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.‎ ‎【训练1】 (1)(2020·石家庄模拟)下列说法中正确的是(　　)‎ A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0‎ B.若数列{an}为常数列，则{an}既是等差数列也是等比数列 C.在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件 D.命题“若0，则x>a；命题q：若m≤a－2，则mB⇔a>b⇔sin A>sin B.‎ D错，若{an}递减，则an＋1a，则x>0，它是真命题时，a≥0.命题q的逆否命题是：若m≥sin x，则m>a－2恒成立，它是真命题时a－2<－1，解得a<1.综上所述，实数a的取值范围是[0，1).‎ 答案　(1)C　(2)[0，1)‎ 考点二　充分条件与必要条件的判定 ‎【例2】 (1)(2019·浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　(1)当a>0，b>0时，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5>4，不满足a＋b≤4，必要性不成立，故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.‎ ‎(2)由5x－6>x2，得2b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A.ac2>bc2 B.>1‎ C.a－c>b－c D.a2>b2‎ 解析　对于选项A，a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a>b，若a>0，b<0，则<1，故B错；对于选项C，a>b，则a－c>b－c，故C正确；对于选项D，a>b，若a，b均小于0，则a2b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(　　)‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 解析　原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：设a，b，c∈R，若“ac2>bc2，则a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.‎ 答案　C ‎6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是 綈p，则a的取值范围是(　　)‎ A.[1，＋∞) B.(－∞，1]‎ C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]‎ 解析　由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.‎ 答案　A ‎7.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.‎ 答案　A ‎8.下列结论错误的是(　　)‎ A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”‎ B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件 C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”‎ 解析　C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，‎ 即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题.‎ 答案　C 二、填空题 ‎9.(2017·北京卷改编)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________条件.‎ 解析　存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇒cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，当〈m，n〉∈时，m，n不共线.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.‎ 答案　充分不必要 ‎10.有下列几个命题：‎ ‎①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－22S5⇔d>0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.‎ 答案　C ‎14.(2020·合肥模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|).‎ 又y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增，‎ 若a>|b|，则f(a)>f(|b|)＝f(b)，即充分性成立；‎ 若f(a)>f(b)，则等价为f(|a|)>f(|b|)，即|a|>|b|，‎ 即a>|b|或a<－|b|，即必要性不成立，‎ 则“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件.‎ 答案　A ‎15.已知p：实数m满足3a0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________.‎ 解析　由2－m>m－1>0，得1b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________.‎ 解析　若a>b，则<为真命题，则－＝<0，∵a>b，∴b－a<0，则ab>0.故当a>0，b<0时，均能说明“若a>b，则<”为假命题.‎ 答案　a＝1，b＝－1(答案不唯一，只需a>0，b<0)‎