2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角的概念与蝗制任意角的三角函数课件文北师大版 25页

第四章　三角函数、解三角形　　　 第一节　任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数　　　　　 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【 教材 · 知识梳理 】 1. 任意角 (1) 角的概念 : 角可以看成平面内一条射线绕着 _____ 从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形 . (2) 角的分类 : 按旋转方向分为 ___ 角、 ___ 角、 ___ 角 ; 按终边位置分为 _____ 角、 _____ 角 . (3) 与角 α 终边相同的角的集合 :S={β|β= _______________}. 端点 正 负 零 象限 轴线 α+k · 360°,k∈Z 2. 弧度制 (1) 弧度角 : 把长度等于 _____ 长的弧所对的圆心角称为 __________ . (2) 度与弧度的换算 :180°= ___ rad, (3) 扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为 R, 弧长为 l , 面积为 S, 圆心角为 α(0<α<2π), 则 l = ____ , S= . 半径 1 弧度的角 π Rα 3. 任意角的三角函数 (1) 终边与单位圆交点 P(x,y),sin α= __ ;cos α= __ ,tan α= (x≠0). (2) 任意角的三角函数的定义 ( 推广 ) 设 P(x,y) 是角 α 终边上异于原点的任一点 , 它到原点的距离为 r(r>0), 那么 : sin α = ,cos α = ,tan α = (x≠0). y x 【 知识点辨析 】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 小于 90° 的角是锐角 . ( 　　 ) (2) 锐角是第一象限角 , 反之亦然 . ( 　　 ) (3) 将表的分针拨快 5 分钟 , 则分针转过的角度是 30°. ( 　　 ) (4) 相等的角终边一定相同 , 终边相同的角也一定相等 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 锐角的取值范围是 . (2)×. 第一象限角不一定是锐角 . (3)×. 顺时针旋转得到的角是负角 . (4)×. 终边相同的角不一定相等 . 【 易错点索引 】 序号 易错警示 典题索引 1 结果要表示成集合形式 考点一、 T2 2 在弧长公式中 , 注意角的大小用弧度制 , 不是角度制 考点二、 T1 3 用定义求三角函数值 , 注意判断符号 考点三、角度 3T2 【 教材 · 基础自测 】 1.( 必修 4P23A 组 T3 改编 ) 已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30°)(m≠0), 且 cos α= , 则 m 的值为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由 P(-8m,-3)(m≠0) 知点 P 位于第三或第四象限 , 又因为 cos α= <0, 故 α 是第三象限角 , 因此 m>0, 又因为 cos α= = , 所以 m= . 2.( 必修 4P23A 组 T2 改编 ) 若 tan α>0, 则 ( 　　 ) A.sin α>0 　 B.cos α>0 　 C.sin 2α>0 　 D.cos 2α>0 【 解析 】 选 C. 由 tan α>0 可得 :kπ<α0. 3.( 必修 4P8 习题 1-2T3 改编 ) 在 -720° ～ 0° 范围内 , 所有与角 α=45° 终边相同的角 β 构成的集合为 　　　　 .  【 解析 】 所有与角 α 终边相同的角可表示为 :β=45°+k×360°(k∈Z), 则令 -720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z), 得 -765°≤k×360°<-45°(k∈Z). 解得 k=-2 或 k=-1, 所以 β=-675° 或 β=-315°. 答案 : {-675°,-315°} 核心素养　数学建模 —— 利用圆的特殊性建立模型　 【 典例 】 如图 , 某大型水上乐园内有一块矩形场地 ABCD,AB=120 米 ,AD=80 米 , 以 AD,BC 为 直径的半圆 O 1 和半圆 O 2 ( 半圆在矩形 ABCD 内部 ) 为两个半圆形水上主题乐 园 ,BC,CD,DA 都建有围墙 , 游客只能从线段 AB 处进出该主题乐园 . 为了进一步提 高经济效益 , 水上乐园管理部门决定沿着 修建不锈钢护栏 , 沿着线段 EF 修 建该主题乐园大门并设置检票口 , 其中 E,F 分别为 上的动点 ,EF∥AB, 且线段 EF 与线段 AB 在圆心 O 1 和 O 2 连线的同侧 . 已知弧线部分的修建费用为 200 元 / 米 , 直线部分的平均修建费用为 400 元 / 米 . 世纪金榜导学号 (1) 若 EF=80 米 , 则检票等候区域 ( 其中阴影部分 ) 面积为多少平方米 ? (2) 试确定点 E 的位置 , 使得修建费用最低 . 【解析】 (1) 如图 , 设直线 EF 与矩形 ABCD 交于 M,N 两点 , 连 O 1 E,O 2 F, 则 ME=20 米 ,O 1 M=20 米 . 梯形 O 1 O 2 FE 的面积为 ×(120+80)×20 =2 000 ( 平方米 ), 矩形 AO 1 O 2 B 的面积为 120×40=4 800 平方米 , 由∠ AO 1 E= , 得扇形 O 1 AE 和扇形 O 2 FB 的面积均为 × ×1 600= 平方米 , 故阴影部分面积为 4 800-2 000 - 平方米 . (2) 设∠ AO 1 E=θ,θ∈ , 则 =40θ, 所以 EF=120-2×40sinθ=120-80sinθ, 修建费用 f(θ)=200×80θ+400×(120-80sinθ)=16 000(θ+3-2sinθ), 所以 f′(θ)=16 000(1-2cosθ), 令 f′(θ)=0, 得 θ= , 当 θ 变化时 ,f′(θ) 、 f(θ) 的变化情况如下表 : 由上表可得当 θ= , 即∠ AO 1 E= 时 ,f(θ) 有极小值 , 也为最小值 . 故当 ∠ AO 1 E 为 时 , 修建费用最低 . θ f′(θ) - 0 + f(θ) ↘ 极小值 ↗ 【技法点拨】 数学建模就是根据实际问题来建立数学模型 , 对数学模型来进行求解 , 然后根据结果去解决实际问题 . 选择恰当的参数建立模型是解题的关键 . 【迁移应用】 　在一块顶角为 120° 、腰长为 2 的等腰三角形厚钢板废料 OAB 中用电焊切割成 扇形 , 现有如图所示两种方案 , 既要充分利用废料 , 又要切割时间最短 , 问哪一 种方案最优 ? 【 解析 】 因为△ AOB 是顶角为 120° 、腰长为 2 的等腰三角形 , 所以 A=B=30°= ,AM=BN=1,AD=2, 所以方案一中扇形的弧长 =2× = ; 方案二中扇形的弧长 =1× = ; 方案一中扇形的面积 = ×2×2× = , 方案二中扇形的面积 = ×1×1× = . 由此可见 : 两种方案中利用废料面积相等 , 方案一中切割时间短 . 因此方案一最 优 .