【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第十章第1讲　随机事件的概率学案 15页

知识点 考纲下载 随机事件的概率 ‎ 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．‎ ‎ 了解两个互斥事件的概率加法公式.‎ 古典概型 ‎ 理解古典概型及其概率计算公式．‎ ‎ 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.‎ 随机数与几何概型 ‎ 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．‎ ‎ 了解几何概型的意义.‎ 第1讲　随机事件的概率 ‎1．事件的分类 确定事件 必然事件 在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件 不可能事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 随机事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件 ‎2.概率与频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．‎ ‎3．事件的关系与运算 定 义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事件(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B(或A＋B)‎ 交事件(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅且A∪B＝Ω ‎4.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．‎ ‎(2)必然事件的概率：P(A)＝1．‎ ‎(3)不可能事件的概率：P(A)＝0．‎ ‎(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．‎ P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)‎ ‎(2)随机事件和随机试验是一回事．(　　)‎ ‎(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)‎ ‎(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　)‎ ‎(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)‎ ‎(6)两互斥事件的概率和为1.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)×‎ ‎ (教材习题改编)总数为10万张的彩票，中奖率是，下列说法中正确的是(　　)‎ A．买1张一定不中奖 B．买1 000张一定有一张中奖 C．买2 000张一定中奖 D．买2 000张不一定中奖 解析：选D.由题意知，彩票中奖属于随机事件，故买1张也可能中奖，买2 000张也可能不中奖．‎ ‎ (教材习题改编)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)‎ A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 答案：C ‎ 袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则 ‎①恰有1个白球和全是白球；‎ ‎②至少有1个白球和全是黑球；‎ ‎③至少有1个白球和至少有2个白球；‎ ‎④至少有1个白球和至少有1个黑球．‎ 在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为(　　)‎ A．①　　　　　　　　　 B．②‎ C．③ D．④‎ 解析：选A.由题意可知，事件③④均不是互斥事件；①②为互斥事件，但②又是对立事件，满足题意只有①，故选A.‎ ‎ (教材习题改编)甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．‎ 解析：乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为＋＝.‎ 答案： ‎　　　　　随机事件的关系[学生用书P177]‎ ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：‎ ‎①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；‎ ‎②至少有一个是奇数和两个都是奇数；‎ ‎③至少有一个是奇数和两个都是偶数；‎ ‎④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．‎ 上述事件中，是对立事件的是(　　)‎ A．①　　　　　　　　　　 B．②④‎ C．③ D．①③‎ ‎(2)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)‎ A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 ‎【解析】　(1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．‎ ‎(2)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“2张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A 判断互斥、对立事件的2种方法 ‎(1)定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．‎ ‎(2)集合法 ‎①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．‎ ‎②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(　　)‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次， 事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次都出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．‎ ‎2．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(　　)‎ A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 解析：选D.A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．‎ ‎　　　　　　随机事件的频率与概率 ‎ [学生用书P177]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高 ‎[10，15)‎ ‎[15，20)‎ ‎[20，25)‎ ‎[25，30)‎ ‎[30，35)‎ ‎[35，40)‎ 气温 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．‎ ‎(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．‎ ‎【解】　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.‎ ‎(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，‎ 若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；‎ 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.‎ 所以，Y的所有可能值为900，300，－100.‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.‎ ‎(1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．‎ ‎(2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是事件的概率．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎(2016·高考全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出 险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；‎ ‎(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；‎ ‎(3)求续保人本年度平均保费的估计值．‎ 解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.‎ 由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为 ＝0.55，‎ 故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，‎ 故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(3)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为 ‎0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.‎ ‎　　　　　　互斥事件、对立事件的概率 ‎[学生用书P178]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：‎ ‎(1)P(A)，P(B)，P(C)；‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率；‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．‎ ‎【解】　(1)P(A)＝，‎ P(B)＝＝，‎ P(C)＝＝.‎ 故事件A，B，C的概率分别为，，.‎ ‎(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．‎ 设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.‎ 因为A、B、C两两互斥，‎ 所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝＝.‎ 故1张奖券的中奖概率为.‎ ‎(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，‎ 所以P(N)＝1－P(A∪B)‎ ‎＝1－＝.‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.‎ 求复杂互斥事件概率的2种方法 ‎(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．‎ ‎(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．‎ ‎[注意]　应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各个事件发生的概率，再求和(或差)．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D．1‎ 解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.‎ ‎2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下表：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 求：(1)至多2人排队等候的概率；‎ ‎(2)至少3人排队等候的概率．‎ 解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.‎ ‎(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.‎ 法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.‎ ‎ 概率与频率的关系 对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．‎ ‎ 求复杂事件概率的方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：‎ ‎(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；‎ ‎(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．　 ‎ ‎[学生用书P327(单独成册)]‎ ‎1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)‎ A．对立事件　　　　　　　 B.不可能事件 C．互斥事件但不是对立事件 D．以上答案都不对 解析：选C.由互斥事件和对立事件的概念可判断，应选C.‎ ‎2．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　)‎ A．两个任意事件 B.互斥事件 C．非互斥事件 D．对立事件 解析：选B.因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．故选B.‎ ‎3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为(　　)‎ A．0.95 B.0.97‎ C．0.92 D．0.08‎ 解析：选C.记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.‎ ‎4．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选C.“取出的2个球全是红球”记为事件A，则P(A)＝.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A的对立事件，所以其概率为P()＝1－P(A)＝1－＝.‎ ‎5．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件是次品”，则下列结论正确的是(　　)‎ A．F与G互斥 B.E与G互斥但不对立 C．E，F，G任意两个事件均互斥 D．E与G对立 解析：选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A、C错．事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B错误，D正确．‎ ‎6．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30，40]克的概率为0.5，那么重量大于40克的概率为________．‎ 解析：由互斥事件概率加法公式知，重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2.‎ 答案：0.2‎ ‎7．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：‎ 污染指数T ‎30‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎130‎ ‎140‎ 概率P 其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．‎ 解析：由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为 P＝＋＋＝.‎ 答案： ‎8．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．‎ 解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则＝，故n＝15.‎ 答案：15‎ ‎9．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量(件)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．求当天商店不进货的概率．‎ 解：P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝＋＝.‎ 故当天不进货的概率为.‎ ‎10．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“”表示未购买．‎ ‎　　　商品 顾客人数　　　　‎ 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎  ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎  ‎√‎  ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎  ‎300‎ ‎√‎  ‎√‎  ‎85‎ ‎√‎    ‎98‎  ‎√‎   ‎(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；‎ ‎(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；‎ ‎(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ 解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.‎ ‎(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.‎ ‎(3)与(1)同理，可得：‎ 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，‎ 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，‎ 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1，‎ 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．‎ ‎1．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：‎ ‎162，153，148，154，165，168，172，171，173，150，‎ ‎151，152，160，165，164，179，149，158，159，175.‎ 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选A.从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5～170.5 cm之间的学生有8人，频率为，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，‎ 其身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为.‎ ‎2．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8、0.12、0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________．‎ 解析：断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.‎ 答案：0.97　0.03‎ ‎3．一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．‎ 解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－＝，所以可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×＝6 912(人)．‎ 答案：6 912‎ ‎4．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．‎ 解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P＝＝.‎ 答案： ‎5．如图，从A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：‎ 所用时间(分钟)‎ ‎10～20‎ ‎20～30‎ ‎30～40‎ ‎40～50‎ ‎50～60‎ 选择L1的人数 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎12‎ ‎12‎ 选择L2的人数 ‎0‎ ‎4‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；‎ ‎(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；‎ ‎(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，‎ 为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．‎ 解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，‎ 所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0.44.‎ ‎(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，‎ 故由调查结果得频率为 所用时间 ‎(分钟)‎ ‎10～20‎ ‎20～30‎ ‎30～40‎ ‎40～50‎ ‎50～60‎ L1的频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ L2的频率 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．‎ 由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，‎ P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，‎ 因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1 .‎ 同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，‎ P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，‎ 因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2.‎ ‎6．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样调查，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：‎ 赔付金额(元)‎ ‎0‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ ‎3 000‎ ‎4 000‎ 车辆数(辆)‎ ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；‎ ‎(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．‎ 解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.‎ 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，‎ 样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.‎