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- 2021-06-11 发布
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1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)；
(2)作商法 (a∈R，b>0)．
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔bb，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒acb＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
【知识拓展】
不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒<.
②a<0b>0,0.
④0b>0，m>0，则
①<；>(b－m>0)．
②>；<(b－m>0)．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( × )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( × )
(5)a>b>0，c>d>0⇒>.( √ )
(6)若ab>0，则a>b⇔<.( √ )
1．设a B.>
C．|a|>－b D.>
答案 B
解析 由题设得a不成立．
2．(教材改编)若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 －>0⇒>
⇒a>b⇒a2>b2，
但由a2－b2>0－>0.
3．若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A．a－b>0 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0 D．a＋b<0
答案 D
解析 由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，
当b≥0时，a＋b<0成立，
当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0成立.故选D.
4．(教材改编)若01且2a<1，
∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a
＝－22＋<.
即a<2ab<，
又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，
即a2＋b2>，
a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，
又2b－1>0，b－1<0，∴a2＋b2－b<0，
∴a2＋b2N
C．M＝N D．不确定
(2)若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a0，即M－N>0.
∴M>N.
(2)方法一 易知a，b，c都是正数，＝
＝log8164<1，
所以a>b；
＝＝log6251 024>1，
所以b>c.即ce时，函数f(x)单调递减．
因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，
即cB
(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
答案 (1)B (2)a0,1618>0，
∴1816<1618，即aac B．c(b－a)<0
C．cb20
(2)若<<0，则下列不等式：
①a＋b|b|；③a0.
由b>c得ab>ac一定成立．
(2)因为<<0，所以b0，
所以a＋b0>b>－a，cbc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 方法一 ∵a>0>b，c0，
∴ad0>b>－a，∴a>－b>0，
∵c－d>0，
∴a(－c)>(－b)(－d)，
∴ac＋bd<0，∴＋＝<0，故②正确．
∵c－d，
∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，
∴a－c>b－d，故③正确．
∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，
故④正确，故选C.
方法二 取特殊值．
题型三 不等式性质的应用
命题点1 应用性质判断不等式是否成立
例3 已知a>b>0，给出下列四个不等式：
①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.
其中一定成立的不等式为( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
答案 A
解析 方法一 由a>b>0可得a2>b2，①成立；
由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，
∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；
∵a>b>0，∴>，
∴()2－(－)2
＝2－2b＝2(－)>0，
∴>－，③成立；
若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，
a3＋b3<2a2b，④不成立．
故选A.
方法二 令a＝3，b＝2，
可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A.
命题点2 求代数式的取值范围
例4 已知－1 B．a2bn
(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②acloga(b－c)．
其中所有正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
答案 (1)C (2)D
解析 (1)(特殊值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；
C项，<⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)
⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，
∵ab>1知<，
又c<0，∴>，①正确；
构造函数y＝xc，
∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，
又a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1，
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．
6．利用不等式变形求范围
典例 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
错解展示
解析 由已知得
①＋②得3≤2a≤6，∴6≤4a≤12，
又由①可得－2≤－a＋b≤－1， ③
②＋③得0≤2b≤3，∴－3≤－2b≤0，
又f(－2)＝4a－2b，∴3≤4a－2b≤12，
∴f(－2)的取值范围是[3,12]．
答案 [3,12]
现场纠错
解析 方法一 由
得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
方法二 由
确定的平面区域如图阴影部分所示，
当f(－2)＝4a－2b过点A(，)时，
取得最小值4×－2×＝5，
当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，
取得最大值4×3－2×1＝10，
∴5≤f(－2)≤10.
答案 [5,10]
纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.
1．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是( )
A．ad>bc B．ac>bd
C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d
答案 D
解析 由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d.
2．(2016·包头模拟)若6y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
答案 C
解析 ∵x>y>z且x＋y＋z＝0，∴x>0，z<0，
又y>z，∴xy>xz.
4．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“ab，则ac2>bc2
B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>
D．若a2>b2且ab>0，则<
答案 C
解析 当c＝0时，可知A不正确；
当c<0时，可知B不正确；
对于C，由a3>b3且ab<0，知a>0且b<0，
所以>成立，C正确；
当a<0且b<0时，可知D不正确．
7．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋>b＋ B.>
C．a－>b－ D.>
答案 A
解析 取a＝2，b＝1，排除B，D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a－>b－⇔a＋>b＋，但g(a)>g(b)未必成立，故选A.
8．若a>b>0，则下列不等式一定不成立的是( )
A.< B．log2a>log2b
C．a2＋b2≤2a＋2b－2 D．b<<0(由a>b>0，得a，b不能同时为1)，
∴a2＋b2－2a－2b＋2>0，∴a2＋b2>2a＋2b－2，
∴C项一定不成立．
9．已知a，b，c∈R，有以下命题：
①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b；
③若a>b，则a·2c>b·2c.
其中正确命题的序号是________．
答案 ②③
解析 ①不对，因为c2可以为0；②对，因为c2>0；③对，因为2c>0.
10．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．
答案 a＝b>c
解析 ∵a＝log23＋log2＝log23，
b＝log29－log2＝log23，
∴a＝b，
又a＝log23>1，c＝log32<1，
∴a>c.故a＝b>c.
11．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；
②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；
③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.
其中正确的命题是________．
答案 ①②③
解析 ∵ab>0，bc－ad>0，
∴－＝>0，∴①正确；
∵ab>0，又－>0，即>0，
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又－>0，即>0，
∴ab>0，∴③正确．故①②③都正确．
12．设a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小关系是________．(用“>”连接)
答案 z>y>x
解析 方法一 y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.
同理，z>y，∴z>y>x.
方法二 令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝，y＝，
z＝，故z>y>x.
13．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？
解 设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，甲到教室所用时间为t甲，乙到教室所用时间为t乙．
t甲＝＋＝，
s＝·v1＋·v2⇒t乙＝，
∴＝≥＝1.
∴t甲≥t乙，当且仅当v1＝v2时“＝”成立．
由实际情况知v1>v2，∴t甲>t乙．∴乙先到教室．
*14.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．
解 设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元/人，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)
＝x＋nx，
y2＝nx.
所以y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx
＝x(1－)．
当n＝5时，y1＝y2；
当n>5时，y1y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；
当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；
当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．
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