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- 2021-06-11 发布
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第七节 导数的应用——单调与极值
一 考查热点:利用导数研究函数的单调性,求函数的单调区间;求函数的极大值、极小值;求函数的最大值、最小值;结合单调与最值求参数的范围.
二 要点小结:
(1)利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时, 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.
(3)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.[ :学| | ]
(4)求解函数的最值时,要先求函数y=f(x)在[a,b]内所有使f′(x)=0的点,再计算函数y=f(x)在区间内所有使f′(x)=0的点和区间端点处的函数值,最后比较即得.
(5)已知函数的最值求参数,一般先用参数表示最值,列方程求解参数.
三 典例分析
例1 . (2015安徽)已知函数
(1) 求的定义域,并讨论的单调性;
(2) 若,求在内的极值。
例2.(2015新课标2)已知函数f(x)=ln x +a(1- x)
(I) 讨论f(x)的单调性;
(II) 当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
四 真题演练
1.(2014安徽) 设函数,其中
(1) 讨论在其定义域上的单调性;
(2) 当时,求取得最大值和最小值时的的值.
2. (2014大纲)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.[ :学 ]
3.(2014江西) 已知函数,其中.
(1)当时,求的单调递增区间;
(2)若在区间上的最小值为8,求的值.
4.(2014重庆) 已知函数,其中,且曲线在点处的切线垂直于
(1)求的值;
(2)求函数的单调区间和极值。
5.(2014山东)设函数 ,其中为常数.
(I)若,求曲线在点处的切线方程;
(II)讨论函数的单调性.
6.(2014湖北)为圆周率,为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求,,,,,这6个数中的最大数与最小数.
7.(2015重庆)已知函数()在x=处取得极值.
(Ⅰ)确定的值,
(Ⅱ)若,讨论的单调性.
8.(2016山东)设
(Ⅰ)令,求的单调区间;
(Ⅱ)已知)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
第七节 例题1: 解:(1)由题意知,所求的定义域为。
,
,
所以当x<-r或x>r时,<0,当-r0,
因此,的单调递减区间为,;的单调递增区间为(-r,r)。
(2)由(1)的解答可知=0,在(0,r)上单调递增,在(r,+)上单调递减。因此,x=r是的极大值点,所以在(0,+)内的极大值为。
例题2:(Ⅰ)f(x)的定义域为
若则所以单调递增。
若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,无最大值;当时,在取得最大值,最大值为。
因此 等价于
令,则在单调递增,
于是,当时;当时,,因此,的取值范围是
演练:1. 解:(Ⅰ)的定义域为,
令得
所以
当或时;当时
故在和内单调递减,在内单调递增。
(Ⅱ)∵,∴
(1)当时,由(Ⅰ)知在上单调递增∴在和处分别取得最小值和最大值。
(2)当时,,由(Ⅰ)知在上单调递增,在上单调递减
∴在处取得最大值,又
∴当时在处取得最小值, 当时在和处同时取得最小值,当时,在取得最小值。
2. 解:(1),的判别式△=36(1-a).
(i)若a≥1,则,且当且仅当a=1,x=-1,故此时f(x)在R上是增函数.
(ii)由于a≠0,故当a<1时,有两个根:,
若00,x>0时, ,所以当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.
若a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当且,解得.综上,a的取值范围是.
3. 解:当时,由,得或,由得或,故函数f(x)的单调递增区间为和
(2)因为
,a<0,由 得或,当时,单调递增,时,单调递减,当时,单调递增,易知=(2x+a)2,且
当时,即-2a<0时,在上的最小值为,由=4+4a+a2=8,得a=均不符合题意
当时,即,在上的最小值为不符合题意
当时,即,在上的最小值可能在x=1或x=4上取得,而由得或(舍去),当时,在上单调递减,在上的最小值为符合题意。综上有,a=-10
4. (Ⅰ)对求导得,由在点处切线垂直于直线知解得;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,则
令,解得或.因不在的定义域内,故舍去.
当时,故在内为减函数;当时,故在内为增函数;由此知函数在时取得极小值.
5. (I)由题意知时,,此时,
可得,又,所以曲线在处的切线方程为.
(II)函数的定义域为,,
当时,,函数在上单调递增,当时,令,由于,
① 当时,,,函数在上单调递减,
② 当时,,,函数在上单调递减,
③ 当时,,设是函数的两个零点,
则,,
由 ,
所以时,,函数单调递减,
时,,函数单调递增,
时,,函数单调递减,
6. (Ⅰ)函数的定义域为.因为,所以.
当,即时,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减.
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(Ⅱ)因为,所以,,即,.
于是根据函数,,在定义域上单调递增,可得
,.故这6个数的最大数在与之中,最小数在与之中. 由及(Ⅰ)的结论,得,即.
由,得,所以;由,得,所以.
综上,6个数中的最大数是,最小数是.
7. 解:(Ⅰ)对求导得,因为在处取得极值,所以,即,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,
故
令,解得.当时,,故为减函数;
当时,,故为增函数;当时,,故为减函数;当时,,故为增函数;
综上知在 内为减函数,内为增函数.
8. (Ⅰ)由
可得,
则,当时, 时,,函数单调递增;当时, 时,,函数单调递增, 时, ,函数单调递减.所以当时,函数单调递增区间为;
当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.
①当时,,单调递减.所以当时,,单调递减.当时,,单调递增.所以在x=1处取得极小值,不合题意.
②当时,,由(Ⅰ)知在内单调递增,
可得当当时,,时,,所以在(0,1)内单调递减,在内单调递增,所以在x=1处取得极小值,不合题意.
③当时,即时,在(0,1)内单调递增,在 内单调递减,
所以当时,, 单调递减,不合题意.
④当时,即 ,当时,,单调递增,
当时,,单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,合题意.综上可知,实数a的取值范围为.