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  • 2021-06-11 发布

【数学】2019届一轮复习(理)苏教版算法、复数、统计、概率、推理与证明第66讲学案

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第66讲 推理与证明 考试要求 1.合情推理(B级要求);2.分析法和综合法的思考过程和特点(A级要求);3.反证法的思考过程和特点(A级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10= .‎ 解析 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,依据此规律,a10+b10=123.‎ 答案 123‎ ‎2.(教材改编)在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (n<19,n∈N )成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b9=1,则存在的等式为 .‎ 解析 利用类比推理,借助等比数列的性质,‎ b=b1+n·b17-n,可知存在的等式为b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N ).‎ 答案 b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N )‎ ‎3.观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N ,1+2+…+n+…+2+1= .‎ 解析 ∵1=12,1+2+1=22,1+2+3+2+1=32,‎ ‎1+2+3+4+3+2+1=42,…,‎ ‎∴归纳可得1+2+…+n+…+2+1=n2. ‎ 答案 n2‎ ‎4.(2018·扬州质检)已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中n∈N ,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为 .‎ 解析 由条件得 cn=an-bn=-n=,‎ 则cn随n的增大而减小,∴cn+10,则-≥a+-2.‎ 证明 要证-≥a+-2,‎ 只要证+2≥a++,因为a>0,‎ 故只要证≥,‎ 即证a2++4+4‎ ‎≥a2+2++2+2,‎ 从而只要证2≥,‎ 只要证4≥2,即证a2+≥2,‎ 而该不等式显然成立,故原不等式成立.‎ 规律方法 分析法除了用来证明外,还能引导学生用分析法思考问题.培养学生逆向思维的能力,要求学生学会用分析法逆向解决问题,用分析法写综合法过程.‎ ‎【训练2】 (2018·南京模拟)已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证:‎ ‎(1)++≤;‎ ‎(2)++≥.‎ 证明 (1)∵(++)2‎ ‎=(a+b+c)+2+2+2 ‎≤(a+b+c)+(a+b)+(b+c)+(c+a)=3,‎ ‎∴++≤.‎ ‎(2)∵a>0,∴3a+1>0,‎ ‎∴+(3a+1)≥2=4,‎ ‎∴≥3-3a,同理得≥3-3b,≥3-3c,‎ 以上三式相加得 ‎4≥9-3(a+b+c)=6,‎ ‎∴++≥.‎ 考点三 反证法证明 ‎【例3】 等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;‎ ‎(2)设bn=(n∈N ),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.‎ ‎(1)解 由已知得 ‎∴d=2,‎ 故an=2n-1+,Sn=n(n+).‎ ‎(2)证明 由(1)得bn==n+.‎ 假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r∈N ,且互不相等)成等比数列,则b=bpbr,‎ 即(q+)2=(p+)(r+).‎ ‎∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0.‎ ‎∵p,q,r∈N ,∴ ‎∴=pr,即(p-r)2=0.∴p=r,与p≠r矛盾.‎ ‎∴假设不成立,即数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.‎ 规律方法 (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时,可用反证法来证,反证法关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等.‎ ‎(2)用反证法证明不等式要把握三点:①必须否定结论;②‎ 必须从否定结论进行推理;③推导出的矛盾必须是明显的.‎ ‎【训练3】 直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A、C两点,O是坐标原点.‎ ‎(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;‎ ‎(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.‎ ‎(1)解 因为四边形OABC为菱形,‎ 则AC与OB相互垂直平分,‎ 由于O(0,0),B(0,1),‎ 所以设点A,代入椭圆方程得+=1,‎ 则t=±,故AC=2.‎ ‎(2)证明 假设四边形OABC为菱形,‎ 因为点B不是W的顶点,且AC⊥OB,所以k≠0.‎ 由 消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.‎ 设A(x1,y1),C(x2,y2),则 =-,=k·+m=.‎ 所以AC的中点为M.‎ 因为M为AC和OB的交点,且m≠0,k≠0,‎ 所以直线OB的斜率为-,‎ 因为k·=-≠-1,所以AC与OB不垂直.‎ 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.‎ 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.‎ 一、必做题 ‎1.(2018·南通检测)演绎推理“因为对数函数y=logax(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=logx是对数函数,所以y=logx是增函数”所得结论错误的原因是 (填序号).‎ ‎①大前提错误;②小前提错误;‎ ‎③推理形式错误;④大前提和小前提都错误.‎ 解析 因为当a>1时,y=logax在定义域内单调递增,当0AB,则P点的轨迹为椭圆;‎ ‎②由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式;‎ ‎③由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πab;‎ ‎④ 学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.‎ 解析 从S1,S2,S3猜想到数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以②是归纳推理,其余都不是.‎ 答案 ②‎ ‎3.(2018·苏州质检)若a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是 (填序号).‎ ‎①lg(1+a2)>0;②a2+b2≥2(a-b-1);‎ ‎③a2+3ab>2b2;④<.‎ 解析 在②中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,‎ ‎∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立.‎ 答案 ②‎ ‎4.观察一列算式:1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1,…,则式子3⊗5是第 项.‎ 解析 两数和为2的有1个,和为3的有2个,和为4的有3个,和为5的有4个,和为6的有5个,和为7的有6个,前面共有21个,3⊗5是和为8的第3项,所以为第24项.‎ 答案 24‎ ‎5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为 .‎ 解析 由题意2B=A+C,又A+B+C=π,∴B=,又b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,‎ ‎∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c,‎ ‎∴A=C,∴A=B=C=,∴△ABC为等边三角形.‎ 答案 等边三角形 ‎6.若数列{an}是等差数列,则数列{bn}(bn= ‎)也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则dn的表达式应为 (填序号).‎ ‎①dn=;②dn=;‎ ‎③dn=;④dn=.‎ 解析 若{an}是等差数列,则a1+a2+…+an=na1+d,‎ ‎∴bn=a1+d=n+a1-,即{bn}为等差数列;‎ 若{cn}是等比数列,‎ 则c1·c2·…·cn=c·q1+2+…+(n-1)=c·q,‎ ‎∵dn==c1·q,即{dn}为等比数列,故④符合题意.‎ 答案 ④‎ ‎7.把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表,设aij(i,j∈N )是位于这个三角形数表中从上往下第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若aij=2 009,则i与j的和为 .‎ 解析 由题意可知奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2 009=2×1 005-1,所以2 009为第1 005个奇数,又前31个奇数行内数的个数为961,‎ 前32个奇数行内数的个数为1 024,故2 009在第32个奇数行内,则i=63,因为第63行第1个数为2×962-1=1 923,2 009=1 923+2(j-1),所以j=44,所以i+j=107.‎ 答案 107‎ ‎8.若P0(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)外,过P0作椭圆的两条切线的切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是+=1,那么对于双曲线则有如下命题:若P0(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)外,过P0作双曲线的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程是 .‎ 解析 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),‎ 则过P1,P2的切线方程分别是 -=1,-=1.‎ 因为P0(x0,y0)在这两条切线上,‎ 故有-=1,-=1,‎ 这说明P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线-=1上,‎ 故切点弦P1P2所在的直线方程是-=1.‎ 答案 -=1‎ ‎9.设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.‎ ‎(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;‎ ‎(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?‎ ‎(1)证明 假设数列{Sn}是等比数列,则S=S1S3,‎ 即a(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),‎ 因为a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,‎ 即q=0,这与公比q≠0矛盾,‎ 所以数列{Sn}不是等比数列.‎ ‎(2)解 当q=1时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;‎ 当q≠1时,{Sn}不是等差数列,‎ 否则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),‎ 得q=0,这与公比q≠0矛盾.‎ 综上,当q=1时,数列{Sn}是等差数列;当q≠1时,数列{Sn}不是等差数列.‎ ‎10.(2015·安徽卷)设n∈N ,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.‎ ‎(1)求数列{xn}的通项公式;‎ ‎(2)记Tn=xx…x,证明:Tn≥.‎ ‎(1)解 y′=(x2n+2+1)′=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).‎ 令y=0,解得切线与x轴的交点的横坐标xn=1-=,所以数列{xn}的通项公式xn=.‎ ‎(2)证明 由题设和(1)中的计算结果知,‎ Tn=xx…x=….‎ 当n=1时,T1=.‎ 当n≥2时,因为x==>==,‎ 所以Tn>×××…×=.‎ 综上可得,对任意的n∈N ,均有Tn≥.‎ 二、选做题 ‎11.如图,我们知道圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形,又圆环的面积S=π(R2-r2)=(R-r)×2π×.所以圆环的面积等于以线段AB=R-r为宽,以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将平面区域M={(x,y)|(x-d)2+y2≤r2}(其中0