【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-12一道高考题引发的探究（抛物线）学案 6页

‎　　　　　　　　　　　　　一道高考题引发的探究 ‎[真题示例]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)‎ A．16　　　　　　　　　　　 B．14‎ C．12 D．10‎ ‎[命题意图]　本题主要考查抛物线的定义、焦点弦及基本不等式的应用(或函数最值)．考查逻辑推理和运算求解能力．‎ ‎[解题思路]　一般利用弦长公式计算，有时也会引入中间变量利用函数的有界性或取值范围求解．‎ 一、解法探究 　焦点弦 法一：设l1的倾斜角α，α∈(0°，90°)，则l2的倾斜角为90°＋α.‎ 由焦点弦公式得|AB|＝，|DE|＝＝.所以|AB|＋|DE|＝＋＝.‎ 所以当sin22α＝1，即α＝45°时，(|AB|＋|DE|)min＝16.‎ 法二：由题意知，显然直线l1，l2的斜率都存在．‎ 设l1的斜率为k，则l2的斜率为－.‎ 由焦点弦公式得 ‎|AB|＝×4，|DE|＝×4＝(1＋k2)×4.‎ 所以|AB|＋|DE|＝4 ‎＝4≥4＋8＝16.‎ 当且仅当k2＝1，即k＝±1时，(|AB|＋|DE|)min＝16.‎ 　弦长公式与抛物线定义 法三：显然l1，l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，‎ 因为抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，‎ 设l1的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16(k2＋1)＞0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝1.‎ ‎|AB|＝ ‎＝＝.‎ 同理|DE|＝4(1＋k2)．‎ 所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)．(下同法二)．‎ 法四：由法三与抛物线定义知，‎ ‎|AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＝.‎ k用－代换得|DE|＝＝4(k2＋1)．‎ 所以|AB|＋|DE|＝＋4(k2＋1)．(下同法二)‎ 答案：A 二、内涵探究 ‎[问题1]　已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过F且互相垂直的弦AB与DE，则＋＝________．‎ 解析：不妨设直线AB的倾斜角为α，α∈(0°，90°)，则 由焦点弦公式得 ‎|AB|＝，|DE|＝＝，‎ 所以＋＝＋＝.‎ 所以＋＝.‎ 答案： ‎[问题2]　已知F为抛物线y2＝4x的焦点，AB为过F的弦．‎ 有下列结论 ‎①＋为定值；‎ ‎②|AB|min＝4；‎ ‎③|FA|·|FB|min＝4；‎ ‎④以AB为直径的圆与y轴相切；‎ ‎⑤·为定值．(O为坐标原点)‎ 则正确的结论序号有________．‎ 解析：因为F(1，0)，设弦AB所在的直线方程为x＝my＋1.代入抛物线y2＝4x得y2－4my－4＝0.‎ Δ＝16(m2＋1)＞0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ 所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.‎ x1x2＝·＝＝1.‎ 对于①，＋＝＋ ‎＝＝＝1.‎ 即＋为定值1，①正确．‎ 对于②，|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4.‎ 所以|AB|min＝4，②正确．‎ 对于③，|FA|·|FB|＝(x1＋1)(x2＋1)‎ ‎＝x1x2＋x1＋x2＋1＝4m2＋4≥4，③正确．‎ 对于④，AB的中点M的横坐标为＝2m2＋1，‎ 所以M到y轴的距离为d＝2m2＋1，又|AB|＝2m2＋2＞d.‎ 故以|AB|为直径的圆与y轴相交．‎ 故④错误．(事实上，以AB为直径的圆与准线相切)．‎ 对于⑤，·＝x1x2＋y1y2＝1＋(－4)＝－3.‎ 即·为定值－3，即⑤正确．‎ 所以正确的序号有①②③⑤.‎ 答案：①②③⑤‎ ‎[问题3]　已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过F且互相垂直的弦AB与DE，则四边形ADBE面积的最小值为(　　)‎ A．16 B．32‎ C．48 D．64‎ 解析：选B.由问题1知，S四边形ADBE＝|AB|·|DE|‎ ‎＝··＝.‎ 当sin22α＝1，即α＝45°时，S四边形ADBE的最小值为32.‎ 三、外延探究 ‎[问题4]　过椭圆C：＋＝1的右焦点F且互相垂直的两弦分别为AB与DE.‎ ‎(1)求证＋为定值，并求|AB|＋|DE|的最小值；‎ ‎(2)求四边形ADBE面积S的最小值，并求此时直线AB的方程．‎ 解：(1)由＋＝1知F(1，0)．‎ 设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 代入＋＝1得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，‎ Δ＝144(m2＋1)＞0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝－，y1y2＝.‎ 所以|AB|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ m用－代换得|DE|＝.‎ 所以＋ ‎＝＋＝＝.‎ 所以＋＝(定值)．‎ (|AB|＋|DE|)‎ ‎＝2＋＋≥2＋2＝4.‎ 即(|AB|＋|DE|)≥4.‎ 所以|AB|＋|DE|≥，‎ 当且仅当|AB|＝|DE|＝时，‎ ‎|AB|＋|DE|取得最小值.‎ ‎(2)因为AB⊥DE.‎ 所以S＝|AB|·|DE|‎ ‎＝·· ‎＝72· ‎＝72·.‎ 令t＝＋2≥4.‎ 所以S＝72·＝.‎ 所以当t＝4时，Smin＝.‎ 即当m＝±1时，S取得最小值.‎ 此时，直线AB的方程为x＝±y＋1.‎ 即y＝x－1或y＝－x＋1.‎ ‎[问题5]　如图所示．已知点E(m，0)为抛物线y2＝4x内的一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点．‎ ‎(1)若m＝1，k1k2＝－1，求三角形EMN面积的最小值；‎ ‎(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．‎ 解：(1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，‎ 因为k1k2＝－1，所以AB⊥CD，‎ 设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，‎ y1y2＝－4，‎ 因为AB中点M，‎ 所以M，‎ 同理，点N(2k＋1，－2k1)．‎ 所以S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，‎ 当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4.‎ ‎(2)证明：设直线AB方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得k1y2－4y－4k1m＝0，y1＋y2＝，‎ y1y2＝－4m，‎ 因为AB中点M，‎ 所以M，‎ 同理，点N，‎ 所以kMN＝＝＝k1k2，‎ 所以直线MN：y－＝k1k2，‎ 即y＝k1k2(x－m)＋2，‎ 所以直线MN恒过定点(m，2)．‎