【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第十二章概率、随机变量及其分布12-2基本事件的特点学案 14页

‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的；‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)所有的基本事件只有有限个；‎ ‎(2)每个基本事件的发生都是等可能的．‎ ‎3．如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝.‎ ‎4．古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　×　)‎ ‎(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　×　)‎ ‎(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　×　)‎ ‎(4)(教材改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，‎ 每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(　√　)‎ ‎(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(　√　)‎ ‎(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.(　√　)‎ ‎1．已知书架上有3本数学书，2本物理书，若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________．‎ 答案　 解析　从5本书中取出2本书，基本事件有10个．从3本数学书中取出2本书的事件有3个，故所求的概率为.‎ ‎2．(2016·北京改编)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________．‎ 答案　 解析　从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝.‎ ‎3．(2015·课标全国Ⅰ改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．‎ 答案　 解析　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.‎ ‎4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为______．‎ 答案　 解析　取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为＝.‎ ‎5．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．‎ 答案　 解析　掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率P＝1－＝.‎ 题型一　基本事件与古典概型的判断 例1　(1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：‎ ‎①试验的基本事件；‎ ‎②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；‎ ‎③事件“出现点数相等”包含的基本事件．‎ ‎(2)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．‎ ‎①有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？‎ ‎②若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？‎ 解　(1)①这个试验的基本事件为 ‎(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，‎ ‎(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，‎ ‎(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，‎ ‎(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．‎ ‎②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为 ‎(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，‎ ‎(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．‎ ‎③事件“出现点数相等”包含的基本事件为 ‎(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．‎ ‎(2)①由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．‎ 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．‎ ‎②由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“‎ 摸到黑球”，C：“摸到红球”，‎ 又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，‎ 故一次摸球摸到白球的可能性为，‎ 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，‎ 显然这三个基本事件出现的可能性不相等，‎ 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．‎ 思维升华　一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．‎ ‎　下列试验中，古典概型的个数为________．‎ ‎①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；‎ ‎②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；‎ ‎③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；‎ ‎④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．‎ 答案　1‎ 解析　①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，‎ 所以不是古典概型；‎ ‎②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型；‎ ‎③符合古典概型的特点，是古典概型．‎ 题型二　古典概型的求法 例2　(1)(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．‎ 答案　 解析　设取出的2只球颜色不同为事件A.‎ 基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)共6种，事件A包含5种，故P(A)＝.‎ ‎(2)(2016·山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：‎ a．若xy≤3，则奖励玩具一个；‎ b．若xy≥8，则奖励水杯一个；‎ c．其余情况奖励饮料一瓶．‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．‎ ‎①求小亮获得玩具的概率；‎ ‎②请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．‎ 解　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．‎ 因为S中元素的个数是4×4＝16，‎ 所以基本事件总数n＝16.‎ ‎①记“xy≤3”为事件A，‎ 则事件A包含的基本事件共5个，‎ 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．‎ 所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.‎ ‎②记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.‎ 则事件B包含的基本事件共6个，‎ 即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．‎ 所以P(B)＝＝.‎ 事件C包含的基本事件共5个，‎ 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．‎ 所以P(C)＝.因为＞，‎ 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．‎ 引申探究 ‎1．本例(1)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．‎ 解　基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，‎ 所以P(A)＝＝.‎ ‎2．本例(1)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．‎ 解　基本事件数为CC＝16，‎ 颜色相同的事件数为CC＋CC＝6，‎ 所求概率为＝.‎ 思维升华　求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．‎ ‎　(1)(2016·全国乙卷改编)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．‎ 答案　 解析　从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，((红紫)，(黄白))，((黄白)，(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P＝＝.‎ ‎(2)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎5‎ 未参加演讲社团 ‎2‎ ‎30‎ ‎①从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；‎ ‎②在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．‎ 解　①由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，‎ 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，‎ 所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.‎ ‎②从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有 ‎{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，‎ ‎{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，‎ ‎{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，‎ ‎{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，‎ ‎{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．‎ 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，‎ 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有 ‎{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．‎ 因此，A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.‎ 题型三　古典概型与统计的综合应用 例3　(2015·安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．‎ ‎(1)求频率分布直方图中a的值；‎ ‎(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．‎ 解　(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.‎ ‎(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，‎ 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.‎ ‎(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；‎ 受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，‎ 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝.‎ 思维升华　‎ 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点．概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．‎ ‎　海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.‎ 地区 A B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；‎ ‎(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．‎ 解　(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 ＝，‎ 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 ‎50×＝1,150×＝3,100×＝2.‎ 所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.‎ ‎(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为 A；B1，B2，B3；C1，C2.‎ 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．‎ 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．‎ 所以P(D)＝，‎ 即这2件商品来自相同地区的概率为.‎ 六审细节更完善 典例　(14分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.‎ ‎(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；‎ ‎(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，‎ 该球的编号为n，求n90°的概率是________．‎ 答案　 解析　∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.‎ 基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．‎ ‎∴P＝＝.‎ ‎6．(2016·南通模拟)在平面直角坐标系中，从下列五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是________．‎ 答案　 解析　从5个点中取3个点，列举得ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10个基本事件，而其中ACE，BCD两种情况三点共线，其余8个均符合题意，故能构成三角形的概率为＝.‎ ‎7．(2016·苏州高三一模)若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别有数字1,2,3,4,5,6)，则两次向上的数字之和等于7的概率为________．‎ 答案　 解析　连续抛掷骰子两次，基本事件有36个．两次向上的数字之和等于7的事件有6个：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．故所求的概率为＝.‎ ‎8．(2016·镇江模拟)若箱子中有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，一次摸出2个球，则摸到的2个球颜色不同的概率为________．‎ 答案　 解析　从5个球中摸出2个球，基本事件共有10个．摸到的2个球颜色不同的事件为：红1，白1；红1，白2；红2，白1；红2，白2；红3，白1；红3，白2，共6个．故所求的概率为＝.‎ ‎9.如下图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．‎ 答案　0.3‎ 解析　依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝＝0.3.‎ ‎10．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.‎ 答案　7‎ 解析　1＋1＝2,1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6，1＋6＝7，2＋1＝3,2＋2＝4,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,2＋6＝8，…，依次列出m的可能取值，知7出现次数最多．‎ ‎11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．‎ ‎(1)求事件“a⊥b”发生的概率；‎ ‎(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率．‎ 解　(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．‎ 因为a⊥b，所以m－3n＝0，即m＝3n，有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事件a⊥b发生的概率为＝.‎ ‎(2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，‎ 有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为＝.‎ ‎12．甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．‎ ‎(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；‎ ‎(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？‎ ‎(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．‎ 解　(1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况．‎ ‎(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.‎ ‎(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．‎ 甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.‎ 因为<，所以此游戏不公平．‎ ‎*13.(2016·北京海淀区期末)为了研究某种农作物在特定温度(要求最高温度t满足：27 ℃≤t≤30 ℃)下的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度(单位：℃)的记录如下：‎ ‎(1)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期；‎ ‎(2)设该地区今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小；(直接写出结论即可)‎ ‎(3)从10月份31天中随机选择连续3天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27,30]之间的概率．‎ 解　(1)农学家观察试验的起始日期为7日或8日．‎ ‎(2)最高温度的方差D1大．‎ ‎(3)设“连续3天平均最高温度值都在[27,30]之间”为事件A，‎ 则基本事件空间可以设为Ω＝{(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，…，(29,30,31)}，共29个基本事件，‎ 由题图可以看出，事件A包含10个基本事件，‎ 所以P(A)＝，所选3天每天日平均最高温度值都在[27,30]之间的概率为. ‎