【数学】2020届一轮复习北师大版命题及其关系、充分条件与必要条件学案 8页

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎[考纲传真]　1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．‎ ‎1．命题 可以判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qDp p是q的必要不充分条件 pDq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pDq且qDp ‎1．充分条件、必要条件的两个结论 ‎(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；‎ ‎(2)若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件．‎ ‎2．充分条件、必要条件与集合的关系 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AB p是q的必要不充分条件 BA p是q的充要条件 A＝B ‎[基础自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3<0”是命题． (　　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”． (　　)‎ ‎(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　)‎ ‎(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”． (　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．‎ ‎(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．‎ ‎(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．‎ ‎(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)‎ A．若α≠，则tan α≠1‎ B．若α＝，则tan α≠1‎ C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝ C　[“若p，则q”的逆否命题是“若﹁q，则﹁p”，显然﹁q：tan α≠1，﹁‎ p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．]‎ ‎3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)‎ A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.‎ 但A⊆B时，a＝2或3.‎ ‎∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]‎ ‎4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[x＜3D－1＜x＜3，但－1＜x＜3⇒x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.]‎ ‎5．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　)‎ A．1　　 B．2‎ C．3　　 D．4‎ B　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．‎ 因此4个命题中有2个假命题．]‎ 四种命题的相互关系及真假判断 ‎1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是(　　)‎ A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0‎ B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0‎ C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0‎ D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0‎ D　[“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.]‎ ‎2．(2019·开封模拟)下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题 B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题 B　[对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若＞1，则x＞1”是假命题，则其逆否命题为假命题，故选B.]‎ ‎3．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)‎ A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有 C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福 D　[命题的等价命题就是其逆否命题，故选D.]‎ ‎4．“若m＜n，则ms2＜ns2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．‎ ‎2　[原命题：“若m＜n，则ms2＜ns2”，这是假命题，因为若s＝0时，由m＜n，得到ms2＝ns2＝0，不能推出ms2＜ns2.‎ 逆命题：“若ms2＜ns2，则m＜n”，这是真命题，因为由ms2＜ns2得到s2＞0，所以两边同除以s2，得m＜n，因为原命题和逆否命题的真假相同，逆命题和否命题的真假相同，所以真命题的个数是2.]‎ ‎[规律方法]　1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：‎ ‎(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；‎ ‎(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．‎ ‎2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．‎ ‎3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．‎ 充分条件、必要条件的判断 ‎【例1】　(1)(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∉M”是“m∉N”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(1)B　(2)A　[(1)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则＝，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则＝，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.‎ ‎(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件．由NM知，“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件，从而“m∉M”是“m∉N”的充分不必要条件，故选A.]‎ ‎[规律方法]　充分条件和必要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：可按照以下三个步骤进行 ‎①确定条件p是什么，结论q是什么；‎ ‎②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；‎ ‎③确定条件p和结论q的关系．‎ ‎(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如﹁p是﹁q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．‎ ‎(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．‎ 易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”．‎ ‎ (1)(2018·天津高考)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)已知条件p：x＞1或x＜－3，条件q：5x－6＞x2，则﹁p是﹁q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(1)A　(2)A　[(1)由x3＞8可得x＞2，从而|x|＞2成立，‎ 由|x|＞2可得x＞2或x＜－2，从而x3＞8不一定成立．‎ 因此“x3＞8”是“|x|＞2”的充分而不必要条件，故选A.‎ ‎(2)由5x－6＞x2得2＜x＜3，即q：2＜x＜3.‎ 所以q⇒p，pDq，从而q是p的充分不必要条件．‎ 即﹁p是﹁q的充分不必要条件，故选A.]‎ 充分条件、必要条件的应用 ‎【例2】　(1)设命题p：(4x－3)2≤1，命题q：x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)≤0，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(－∞，0]∪ D．(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ ‎(2)“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是(　　)‎ A．－1≤k＜3 B．－1≤k≤3‎ C．0＜k＜3 D．k＜－1或k＞3‎ ‎(1)A　(2)C　[(1)由(4x－3)2≤1得≤x≤1，即p：≤x≤1，由x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)≤0得m≤x≤m＋1，即q：m≤x≤m＋1.‎ 由﹁p是﹁q的必要不充分条件知，p是q的充分不必要条件，‎ 从而{x|m≤x≤m＋1}．‎ ‎∴，解得0≤m≤，故选A.‎ ‎(2)“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的充要条件是＜，即－1＜k＜3.‎ 故所求应是集合{k|－1＜k＜3}的一个子集，故选C.]‎ ‎[规律方法]　利用充要条件求参数的关注点 ‎(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．‎ ‎(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．‎ ‎ (1)若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[－1,1] B．[－1,0]‎ C．[1,2] D．[－1,2]‎ ‎(2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.‎ ‎(1)A　(2)3或4　[(1)由题意知(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选A.‎ ‎(2)当Δ＝16－4n≥0，即n≤4时，方程x2－4x＋n＝0的两根为x＝‎ ＝2±.‎ 又n∈N*，且n≤4，则当n＝3,4时，方程有整数根．]‎