• 395.50 KB
  • 2021-06-11 发布

【数学】2020届一轮复习苏教版第四章第1讲弧度制与任意角的三角函数学案

  • 17页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第1讲 弧度制与任意角的三角函数 考试要求 1.任意角的概念,弧度制的概念,弧度与角度的互化(A级要求);‎ ‎2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(B级要求).‎ 知 识 梳 理 ‎1.角的概念的推广 ‎(1)正角、负角和零角:一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角;如果射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做零角.‎ ‎(2)象限角:以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,这样,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限.‎ ‎(3)终边相同的角:与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α,k∈Z}.‎ ‎2.弧度制的定义和公式 ‎(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.‎ ‎(2)公式 角α的弧度数公式 ‎|α|=(弧长用l表示)‎ 角度与弧度的换算 ‎①1°= rad;②1 rad=°‎ 弧长公式 弧长l=|α|r 扇形面积公式 S=lr=|α|r2‎ ‎3.任意角的三角函数 ‎(1)任意角的三角函数的定义 设P(x,y)是角α的终边上任意一点,且|PO|=r(r>0),则有sin α=,cos α=,tan α=,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.‎ ‎(2)三角函数在各象限内的正值口诀是:Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦.即:‎ 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ Ⅱ ‎+‎ ‎-‎ ‎-‎ Ⅲ ‎-‎ ‎-‎ ‎+‎ Ⅳ ‎-‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎(3)特殊角的三角函数值 角α α弧度数 sin α cos α tan α ‎0°‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎1‎ ‎60°‎ ‎90°‎ ‎1‎ ‎0‎ 不存在 ‎120°‎ ‎- ‎- ‎135°‎ ‎- ‎-1‎ ‎150°‎ ‎- ‎- ‎180°‎ π ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎270°‎ ‎-1‎ ‎0‎ 不存在 ‎(4)三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知,点 P的坐标为(cos__α,sin__α),其中cos α=OM,sin α=MP,单位圆与x 轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T,则 tan α=AT.我们把有向线段OM,MP,AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.‎ 三角函数线 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)小于90°的角是锐角.(  )‎ ‎(2)锐角是第一象限角,反之亦然.(  )‎ ‎(3)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是30°.(  )‎ ‎(4)若α∈,则tan α>α>sin α.(  )‎ ‎(5)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.(  )‎ 解析 (1)锐角的取值范围是.‎ ‎(2)第一象限角不一定是锐角.‎ ‎(3)顺时针旋转得到的角是负角.‎ ‎(5)终边相同的角不一定相等.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×‎ ‎2.(教材改编)小明从家步行到学校需要15 min,则这段时间内钟表的分针走过的角度是________.‎ 解析 利用定义得分针是顺时针走的,形成的角是负角,又周角为360°,所以×15=90°,即分针走过的角度是-90°.‎ 答案 -90°‎ ‎3.(2019·无锡调研)已知角α的终边经过点P(x,-6),且tan α=-,则x的值为________.‎ 解析 tan α=-=⇒x=10.‎ 答案 10‎ ‎4.(教材改编)若tan α>0,sin α<0,则α在第________象限.‎ 解析 由tan α>0,得α在第一或第三象限,又sin α<0,得α在第三或第四象限或终边在y轴的负半轴上,故α在第三象限.‎ 答案 三 ‎5.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为________.‎ 解析 设扇形的半径为R,‎ 则R2α=2,R2×4=2,R2=1,‎ ‎∴R=1,∴扇形的周长为2R+α·R=2+4=6.‎ 答案 6‎ 考点一 角的概念及其集合表示 ‎【例1】 (1)终边在直线y=x上的角的集合是________.‎ ‎(2)(2019·苏州模拟)若角θ的终边与角的终边相同,则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角的个数为________.‎ 解析 (1)在(0,π)内终边在直线y=x上的角为,‎ ‎∴终边在直线y=x上的角的集合为 ‎{α|α=+kπ,k∈Z}.‎ ‎(2)∵θ=+2kπ(k∈Z),‎ ‎∴=+(k∈Z),‎ 依题意0≤+≤2π,k∈Z,∴-≤k≤,‎ ‎∴k=0,1,2,即在[0,2π]内终边与角的终边相同的角为,,共三个.‎ 答案 (1){α|α=+kπ,k∈Z} (2)3‎ 规律方法 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.‎ ‎(2)确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或的范围,然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.‎ ‎【训练1】 (1)设集合M=,N=,则下列结论:‎ ‎①M=N;②M⊆N;③N⊆M;④M∩N=∅.‎ 其中正确的是________(填序号).‎ ‎(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是________(填序号).‎ 解析 (1)法一 由于M=={…,-45°,45°,135°,225°,…},‎ N=={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有M⊆N.‎ 法二 由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°,2k+1是奇数;‎ 而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整数,因此必有M⊆N.‎ ‎(2)当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+(n∈Z),此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;‎ 当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+(n∈Z),此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样.‎ 答案 (1)② (2)③‎ 考点二 弧度制及其应用 ‎【例2】 已知扇形的圆心角是α,半径是r,弧长为l.‎ ‎(1)若α=100°,r=2,求扇形的面积;‎ ‎(2)若扇形的周长为20,求扇形面积的最大值,并求此时扇形圆心角的弧度数.‎ 解 (1)S=lr=αr2=×π×4=π.‎ ‎(2)由题意知l+2r=20,即l=20-2r,‎ S=l·r=(20-2r)·r=-(r-5)2+25,‎ 当r=5时,S的最大值为25.‎ 当r=5时,l=20-2×5=10,α==2(rad).‎ 即扇形面积的最大值为25,此时扇形圆心角的弧度数为2.‎ 规律方法 应用弧度制解决问题的方法 ‎(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.‎ ‎(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.‎ ‎(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.‎ ‎【训练2】 扇形AOB的周长为8 cm.‎ ‎(1)若这个扇形的面积为3 cm2,求圆心角的大小;‎ ‎(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.‎ 解 设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α,‎ ‎(1)由题意可得解得或 ‎∴α==或6.‎ ‎(2)∵2r+l=8,∴S扇=lr=l·2r≤·=×=4(当且仅当l=2r,即α==2时,S扇取最大值4).‎ ‎∴扇形面积取得最大值时,圆心角α=2.‎ 又由解得 ‎∴弦长AB=2rsin=2×2sin =4sin 1.‎ 即扇形面积取得最大值时弦长AB=4sin 1.‎ 考点三 任意角的三角函数定义及应用 角度1 三角函数定义 ‎【例3-1】 (1)(2019·泰州中学检测)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为________.‎ ‎(2)若角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0)且sin θ=m,则cos θ的值为________.‎ 解析 (1)由题意得cos α==-⇒‎ m=.‎ ‎(2)由题意知r=,‎ ‎∴sin θ==m,‎ ‎∵m≠0,∴m=±,∴r==2,‎ ‎∴cos θ==.‎ 答案 (1) (2)- 角度2 三角函数符号规律的应用 ‎【例3-2】 (1)给出下列各函数值:‎ ‎①sin(-1 000°);②cos(-2 200°);‎ ‎③tan(-10);④.‎ 其中符号为负的是________(填序号).‎ ‎(2)若sin α·tan α<0,且<0,则角α是第________象限角.‎ 解析 (1)sin(-1 000°)=sin 80°>0;‎ cos(-2 200°)=cos(-40°)=cos 40°>0;‎ tan(-10)=tan(3π-10)<0;‎ =>0.‎ ‎(2)由sin α·tan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二或第三象限的角,由<0,可知cos α,tan α异号,从而α为第三或第四象限角.综上,α为第三象限角.‎ 答案 (1)③ (2)三 角度3 三角函数线的应用 ‎【例3-3】 (1)满足cos α≤-的角α的集合为________;‎ ‎(2)(2019·盐城模拟)函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为________.‎ 解析 (1)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为.‎ ‎(2)∵3-4sin2x>0,‎ ‎∴sin2x<,‎ ‎∴-0,∴cos x>.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),‎ ‎∴x∈(k∈Z).‎ 答案 (1)三 (2)- ‎(3) 考点四 三角函数定义与三角恒等变换的综合 ‎【例4】 如图,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈.将角α的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点B,记A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎(1)若x1=,求x2;‎ ‎(2)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D.记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2,若S1=S2,求角α的值.‎ 解 (1)由三角函数定义得x1=cos α,x2=cos,‎ 因为α∈,cos α=,所以sin α===.‎ 所以x2=cos=cos α-sin α=.‎ ‎(2)依题意得y1=sin α,y2=sin.‎ 所以S1=x1y1=cos αsin α=sin 2α,‎ S2=|x2|y2=sin ‎=-sin.‎ 依题意得sin 2α=-sin=-sin 2αcos -cos 2αsin ,‎ 整理得tan 2α=-.‎ 因为<α<,所以<2α<π,‎ 所以2α=,故α=.‎ 规律方法 这类以角的终边上的点的坐标为背景的综合题,通常应考虑应用三角函数的定义将问题转化为三角函数问题,灵活运用三角恒等变换解决问题.‎ ‎【训练4】 (2019·南京高三学情调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A,B,若点A的横坐标是,点B的纵坐标是.‎ ‎(1)求cos(α-β)的值;‎ ‎(2)求α+β的值.‎ 解 (1)由任意角的三角函数的定义得cos α=,结合α为锐角,得sin α==.同理得sin β=,结合β为钝角,得cos β=-=-.‎ 则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.‎ ‎(2)因为α∈,β∈,‎ 所以α+β∈,‎ 由(1)得sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=,‎ 结合α+β∈,可得α+β=.‎ 一、必做题 ‎1.给出下列四个命题:‎ ‎①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.‎ 其中正确的命题的个数为________.‎ 解析 -是第三象限角,故①错误;=π+,从而是第三象限角,②正确;-400°=-360°-40°,从而③正确;-315°=-360°+45°,从而④正确.‎ 答案 3‎ ‎2.已知角α的终边经过点P(m,-3),且cos α=-,则m=________.‎ 解析 ∵角α的终边经过点P(m,-3),‎ ‎∴r=.‎ 又cos α=-,‎ ‎∴cos α==-,∴m=-4.‎ 答案 -4‎ ‎3.下列判断正确的是________(填序号).‎ ‎①sin 300°>0;②cos(-305°)<0;③tan(-π)>0;‎ ‎④sin 10<0.‎ 解析 300°=360°-60°,则300°是第四象限角;‎ ‎-305°=-360°+55°,则-305°是第一象限角;‎ ‎-π=-8π+π,则-π是第二象限角;‎ 因为3π<10<π,所以10是第三象限角.‎ 故sin 300°<0,cos(-305°)>0,tan<0,sin 10<0,‎ ‎④正确.‎ 答案 ④‎ ‎4.已知角α的终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则sin α=________.‎ 解析 因为r==2,由任意三角函数的定义,得 sin α==-cos 2.‎ 答案 -cos 2‎ ‎5.“x=2kπ+,k∈Z”是“sin x=”成立的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”).‎ 解析 当x=2kπ+,k∈Z时,可得sin x=;反之,当sin x=时,可得x=2kπ+或x=2kπ+,k∈Z,故“x=2kπ+,k∈Z”是“sin x=”成立的充分不必要条件.‎ 答案 充分不必要 ‎6.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第________象限.‎ 解析 ∵点P(tan α,cos α)在第三象限,∴tan α<0,cos α<0,∴角α的终边在第二象限.‎ 答案 二 ‎7.(2018·镇江一模)已知α是第二象限的角,其终边上的一点为P(x,),且cos α=x,则tan α=________.‎ 解析 ∵P(x,),∴y=.‎ 又cos α=x=,∴r=2,‎ ‎∴x2+()2=(2)2,解得x=±.‎ 由α是第二象限的角,得x=-,‎ ‎∴tan α===-.‎ 答案 - ‎8.若角θ的终边与角的终边相同,则在[0,2π)内终边与角的终边相同的角的集合为________(用列举法表示).‎ 解析 由题意θ=+2kπ(k∈Z),∴=+kπ(k∈Z).‎ 由0≤<2π,即0≤+kπ<2π知-≤k<,k∈Z.‎ ‎∴k=0,1.故在[0,2π)内终边与角的终边相同的角的集合为.‎ 答案  ‎9.(2018·南通、扬州等六市调研)在平面直角坐标系xOy中,已知角α,β的始边均为x轴的非负半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan(α-β)的值为________.‎ 解析 由三角函数的定义可知tan α==2,tan β=,故tan(α-β)===.‎ 答案  ‎10.已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tan θ=-x,求sin θ+cos θ.‎ 解 ∵θ的终边过点(x,-1)(x≠0),‎ ‎∴tan θ=-,又tan θ=-x,‎ ‎∴x2=1,即x=±1.‎ 当x=1时,sin θ=-,cos θ=,‎ 因此sin θ+cos θ=0;‎ 当x=-1时,sin θ=-,cos θ=-,‎ 因此sin θ+cos θ=-.‎ 故sin θ+cos θ的值为0或-.‎ ‎11.已知一扇形的圆心角为α (α>0),所在圆的半径为R.‎ ‎(1)若α=90°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;‎ ‎(2)若扇形的周长是一定值C (C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?‎ 解 (1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则 α=90°=,R=10,l=×10=5π(cm),‎ S弓=S扇-S△=×5π×10-×102=25π-50(cm2).‎ ‎(2)扇形周长C=2R+l=2R+αR,‎ ‎∴R=,‎ ‎∴S扇=α·R2=α· ‎=·=·≤.‎ 当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积有最大值.‎ 二、选做题 ‎12.如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2,1)时,点P的坐标为________.‎ 解析 如图所示,过圆心C作x轴的垂线,垂足为A,过P作x轴的垂线与过C 作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2,‎ 所以劣弧=2,即圆心角∠PCA=2,则∠PCB=2-,所以PB=sin(2-)=‎ ‎-cos 2,CB=cos(2-)=sin 2,‎ 所以xP=2-CB=2-sin 2,yP=1+PB=1-cos 2,‎ 所以点P的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).‎ 答案 (2-sin 2,1-cos 2)‎ ‎13.(2019·南通高三第一次调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边作锐角α,其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β,其终边与单位圆交于点B,AB=.‎ ‎(1)求cos β的值;‎ ‎(2)若点A的横坐标为,求点B的坐标.‎ 解 (1)在△AOB中,由余弦定理得,‎ cos∠AOB===.‎ 所以cos β=.‎ ‎(2)因为cos β=,β∈,‎ 所以sin β===.‎ 因为点A的横坐标为,由三角函数定义可得 cos α=,‎ 因为α为锐角,所以sin α===.‎ 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-,‎ sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=.‎ 所以点B的坐标为.‎