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- 2021-06-11 发布
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第1讲 弧度制与任意角的三角函数
考试要求 1.任意角的概念,弧度制的概念,弧度与角度的互化(A级要求);
2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(B级要求).
知 识 梳 理
1.角的概念的推广
(1)正角、负角和零角:一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角;如果射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做零角.
(2)象限角:以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,这样,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限.
(3)终边相同的角:与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α,k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°= rad;②1 rad=°
弧长公式
弧长l=|α|r
扇形面积公式
S=lr=|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义
设P(x,y)是角α的终边上任意一点,且|PO|=r(r>0),则有sin α=,cos α=,tan α=,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
(2)三角函数在各象限内的正值口诀是:Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦.即:
三角函数
正弦
余弦
正切
各象限符号
Ⅰ
+
+
+
Ⅱ
+
-
-
Ⅲ
-
-
+
Ⅳ
-
+
-
(3)特殊角的三角函数值
角α
α弧度数
sin α
cos α
tan α
0°
0
0
1
0
30°
45°
1
60°
90°
1
0
不存在
120°
-
-
135°
-
-1
150°
-
-
180°
π
0
-1
0
270°
-1
0
不存在
(4)三角函数线
设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知,点
P的坐标为(cos__α,sin__α),其中cos α=OM,sin α=MP,单位圆与x
轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T,则
tan α=AT.我们把有向线段OM,MP,AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角,反之亦然.( )
(3)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是30°.( )
(4)若α∈,则tan α>α>sin α.( )
(5)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.( )
解析 (1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
(3)顺时针旋转得到的角是负角.
(5)终边相同的角不一定相等.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2.(教材改编)小明从家步行到学校需要15 min,则这段时间内钟表的分针走过的角度是________.
解析 利用定义得分针是顺时针走的,形成的角是负角,又周角为360°,所以×15=90°,即分针走过的角度是-90°.
答案 -90°
3.(2019·无锡调研)已知角α的终边经过点P(x,-6),且tan α=-,则x的值为________.
解析 tan α=-=⇒x=10.
答案 10
4.(教材改编)若tan α>0,sin α<0,则α在第________象限.
解析 由tan α>0,得α在第一或第三象限,又sin α<0,得α在第三或第四象限或终边在y轴的负半轴上,故α在第三象限.
答案 三
5.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为________.
解析 设扇形的半径为R,
则R2α=2,R2×4=2,R2=1,
∴R=1,∴扇形的周长为2R+α·R=2+4=6.
答案 6
考点一 角的概念及其集合表示
【例1】 (1)终边在直线y=x上的角的集合是________.
(2)(2019·苏州模拟)若角θ的终边与角的终边相同,则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角的个数为________.
解析 (1)在(0,π)内终边在直线y=x上的角为,
∴终边在直线y=x上的角的集合为
{α|α=+kπ,k∈Z}.
(2)∵θ=+2kπ(k∈Z),
∴=+(k∈Z),
依题意0≤+≤2π,k∈Z,∴-≤k≤,
∴k=0,1,2,即在[0,2π]内终边与角的终边相同的角为,,共三个.
答案 (1){α|α=+kπ,k∈Z} (2)3
规律方法 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
(2)确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或的范围,然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.
【训练1】 (1)设集合M=,N=,则下列结论:
①M=N;②M⊆N;③N⊆M;④M∩N=∅.
其中正确的是________(填序号).
(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是________(填序号).
解析 (1)法一 由于M=={…,-45°,45°,135°,225°,…},
N=={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有M⊆N.
法二 由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°,2k+1是奇数;
而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整数,因此必有M⊆N.
(2)当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+(n∈Z),此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;
当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+(n∈Z),此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样.
答案 (1)② (2)③
考点二 弧度制及其应用
【例2】 已知扇形的圆心角是α,半径是r,弧长为l.
(1)若α=100°,r=2,求扇形的面积;
(2)若扇形的周长为20,求扇形面积的最大值,并求此时扇形圆心角的弧度数.
解 (1)S=lr=αr2=×π×4=π.
(2)由题意知l+2r=20,即l=20-2r,
S=l·r=(20-2r)·r=-(r-5)2+25,
当r=5时,S的最大值为25.
当r=5时,l=20-2×5=10,α==2(rad).
即扇形面积的最大值为25,此时扇形圆心角的弧度数为2.
规律方法 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
【训练2】 扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解 设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α,
(1)由题意可得解得或
∴α==或6.
(2)∵2r+l=8,∴S扇=lr=l·2r≤·=×=4(当且仅当l=2r,即α==2时,S扇取最大值4).
∴扇形面积取得最大值时,圆心角α=2.
又由解得
∴弦长AB=2rsin=2×2sin =4sin 1.
即扇形面积取得最大值时弦长AB=4sin 1.
考点三 任意角的三角函数定义及应用
角度1 三角函数定义
【例3-1】 (1)(2019·泰州中学检测)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为________.
(2)若角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0)且sin θ=m,则cos θ的值为________.
解析 (1)由题意得cos α==-⇒
m=.
(2)由题意知r=,
∴sin θ==m,
∵m≠0,∴m=±,∴r==2,
∴cos θ==.
答案 (1) (2)-
角度2 三角函数符号规律的应用
【例3-2】 (1)给出下列各函数值:
①sin(-1 000°);②cos(-2 200°);
③tan(-10);④.
其中符号为负的是________(填序号).
(2)若sin α·tan α<0,且<0,则角α是第________象限角.
解析 (1)sin(-1 000°)=sin 80°>0;
cos(-2 200°)=cos(-40°)=cos 40°>0;
tan(-10)=tan(3π-10)<0;
=>0.
(2)由sin α·tan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二或第三象限的角,由<0,可知cos α,tan α异号,从而α为第三或第四象限角.综上,α为第三象限角.
答案 (1)③ (2)三
角度3 三角函数线的应用
【例3-3】 (1)满足cos α≤-的角α的集合为________;
(2)(2019·盐城模拟)函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为________.
解析 (1)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为.
(2)∵3-4sin2x>0,
∴sin2x<,
∴-0,∴cos x>.利用三角函数线画出x
满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
∴x∈(k∈Z).
答案 (1)三 (2)-
(3)
考点四 三角函数定义与三角恒等变换的综合
【例4】 如图,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈.将角α的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点B,记A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若x1=,求x2;
(2)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D.记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2,若S1=S2,求角α的值.
解 (1)由三角函数定义得x1=cos α,x2=cos,
因为α∈,cos α=,所以sin α===.
所以x2=cos=cos α-sin α=.
(2)依题意得y1=sin α,y2=sin.
所以S1=x1y1=cos αsin α=sin 2α,
S2=|x2|y2=sin
=-sin.
依题意得sin 2α=-sin=-sin 2αcos -cos 2αsin ,
整理得tan 2α=-.
因为<α<,所以<2α<π,
所以2α=,故α=.
规律方法 这类以角的终边上的点的坐标为背景的综合题,通常应考虑应用三角函数的定义将问题转化为三角函数问题,灵活运用三角恒等变换解决问题.
【训练4】 (2019·南京高三学情调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A,B,若点A的横坐标是,点B的纵坐标是.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)求α+β的值.
解 (1)由任意角的三角函数的定义得cos α=,结合α为锐角,得sin α==.同理得sin β=,结合β为钝角,得cos β=-=-.
则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.
(2)因为α∈,β∈,
所以α+β∈,
由(1)得sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=,
结合α+β∈,可得α+β=.
一、必做题
1.给出下列四个命题:
①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.
其中正确的命题的个数为________.
解析 -是第三象限角,故①错误;=π+,从而是第三象限角,②正确;-400°=-360°-40°,从而③正确;-315°=-360°+45°,从而④正确.
答案 3
2.已知角α的终边经过点P(m,-3),且cos α=-,则m=________.
解析 ∵角α的终边经过点P(m,-3),
∴r=.
又cos α=-,
∴cos α==-,∴m=-4.
答案 -4
3.下列判断正确的是________(填序号).
①sin 300°>0;②cos(-305°)<0;③tan(-π)>0;
④sin 10<0.
解析 300°=360°-60°,则300°是第四象限角;
-305°=-360°+55°,则-305°是第一象限角;
-π=-8π+π,则-π是第二象限角;
因为3π<10<π,所以10是第三象限角.
故sin 300°<0,cos(-305°)>0,tan<0,sin 10<0,
④正确.
答案 ④
4.已知角α的终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则sin α=________.
解析 因为r==2,由任意三角函数的定义,得
sin α==-cos 2.
答案 -cos 2
5.“x=2kπ+,k∈Z”是“sin x=”成立的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”).
解析 当x=2kπ+,k∈Z时,可得sin x=;反之,当sin x=时,可得x=2kπ+或x=2kπ+,k∈Z,故“x=2kπ+,k∈Z”是“sin x=”成立的充分不必要条件.
答案 充分不必要
6.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第________象限.
解析 ∵点P(tan α,cos α)在第三象限,∴tan α<0,cos α<0,∴角α的终边在第二象限.
答案 二
7.(2018·镇江一模)已知α是第二象限的角,其终边上的一点为P(x,),且cos α=x,则tan α=________.
解析 ∵P(x,),∴y=.
又cos α=x=,∴r=2,
∴x2+()2=(2)2,解得x=±.
由α是第二象限的角,得x=-,
∴tan α===-.
答案 -
8.若角θ的终边与角的终边相同,则在[0,2π)内终边与角的终边相同的角的集合为________(用列举法表示).
解析 由题意θ=+2kπ(k∈Z),∴=+kπ(k∈Z).
由0≤<2π,即0≤+kπ<2π知-≤k<,k∈Z.
∴k=0,1.故在[0,2π)内终边与角的终边相同的角的集合为.
答案
9.(2018·南通、扬州等六市调研)在平面直角坐标系xOy中,已知角α,β的始边均为x轴的非负半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan(α-β)的值为________.
解析 由三角函数的定义可知tan α==2,tan β=,故tan(α-β)===.
答案
10.已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tan θ=-x,求sin θ+cos θ.
解 ∵θ的终边过点(x,-1)(x≠0),
∴tan θ=-,又tan θ=-x,
∴x2=1,即x=±1.
当x=1时,sin θ=-,cos θ=,
因此sin θ+cos θ=0;
当x=-1时,sin θ=-,cos θ=-,
因此sin θ+cos θ=-.
故sin θ+cos θ的值为0或-.
11.已知一扇形的圆心角为α (α>0),所在圆的半径为R.
(1)若α=90°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;
(2)若扇形的周长是一定值C (C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
解 (1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则
α=90°=,R=10,l=×10=5π(cm),
S弓=S扇-S△=×5π×10-×102=25π-50(cm2).
(2)扇形周长C=2R+l=2R+αR,
∴R=,
∴S扇=α·R2=α·
=·=·≤.
当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积有最大值.
二、选做题
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2,1)时,点P的坐标为________.
解析 如图所示,过圆心C作x轴的垂线,垂足为A,过P作x轴的垂线与过C
作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2,
所以劣弧=2,即圆心角∠PCA=2,则∠PCB=2-,所以PB=sin(2-)=
-cos 2,CB=cos(2-)=sin 2,
所以xP=2-CB=2-sin 2,yP=1+PB=1-cos 2,
所以点P的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).
答案 (2-sin 2,1-cos 2)
13.(2019·南通高三第一次调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边作锐角α,其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β,其终边与单位圆交于点B,AB=.
(1)求cos β的值;
(2)若点A的横坐标为,求点B的坐标.
解 (1)在△AOB中,由余弦定理得,
cos∠AOB===.
所以cos β=.
(2)因为cos β=,β∈,
所以sin β===.
因为点A的横坐标为,由三角函数定义可得
cos α=,
因为α为锐角,所以sin α===.
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-,
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=.
所以点B的坐标为.