【数学】2018届一轮复习北师大版两条直线的位置关系教案 8页

第二节　两条直线的位置关系 [考纲传真]　1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用 解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线 的距离公式，会求两平行直线间的距离． 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1∥l2⇔k1＝ k2. ②当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)两条直线垂直 ①如果两条直线 l1，l2 的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1⊥l2. 2．两条直线的交点的求法 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组Error!的解． 3．距离 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距 离|P1P2| d＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2 点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝ 0 的距离 d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋ C2＝0 间的距离 d＝ |C1－C2| A2＋B2 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)点 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离为|kx0＋b| 1＋k2.(　　) (4)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2， B2，C2 为常数)，若直线 l1⊥l2，则 A1A2＋B1B2＝0.(　　) (5)若点 P，Q 分别是两条平行线 l1，l2 上的任意一点，则 P，Q 两点的最小 距离就是两条平行线的距离．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等于 (　　) A. 2　　　　　　 B．2－ 2 C. 2－1 D． 2＋1 C　[由题意得|a－2＋3| 2 ＝1，即|a＋1|＝ 2， 又 a>0，∴a＝ 2－1.] 3．直线 l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线 l 恒过定点________． (2，－2)　[直线 l 的方程变形为 a(x＋y)－2x＋y＋6＝0， 由Error!解得 x＝2，y＝－2， 所以直线 l 恒过定点(2，－2)．] 4．已知直线 l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若 l1⊥l2，则实数 a 的值 为________. 【导学号：66482375】 2　[由 a a－3 ＝－2，得 a＝2.] 5．已知直线 3x＋4y－3＝0 与直线 6x＋my＋14＝0 平行，则它们之间的距离 是________． 2　[∵6 3 ＝m 4 ≠ 14 －3 ，∴m＝8， 直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋4y＋7＝0， ∴两平行线之间的距离 d＝|－3－7| 32＋42 ＝2.] 两条直线的平行与 垂直 　(1)设 a∈R，则“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2017·青岛模拟)过点(－1,3)且垂直于直线 x－2y＋3＝0 的直线方程为 (　　) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0 (1)A　(2)A　[(1)当 a＝1 时，显然 l1∥l2， 若 l1∥l2，则 a(a＋1)－2×1＝0， 所以 a＝1 或 a＝－2. 所以 a＝1 是直线 l1 与直线 l2 平行的充分不必要条件． (2)直线 x－2y＋3＝0 的斜率为1 2 ，从而所求直线的斜率为－2. 又直线过点(－1,3)， 所以所求直线的方程为 y－3＝－2(x＋1)，即 2x＋y－1＝0.] [规律方法]　1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的 影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况， 同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． 2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得 出结论，可避免讨论．另外当 A2B2C2≠0 时，比例式A1 A2 与B1 B2 ，C1 C2 的关系容易记住， 在解答选择、填空题时，有时比较方便． [变式训练 1]　已知过点 A(－2，m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2x＋y－1＝ 0 为 l2，直线 x＋ny＋1＝0 为 l3.若 l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m＋n 的值为(　　) A．－10　　 B．－2 C．0　　 D．8 A　[∵l1∥l2，∴kAB＝4－m m＋2 ＝－2，解得 m＝－8. 又∵l2⊥l3，∴(－1 n )×(－2)＝－1， 解得 n＝－2，∴m＋n＝－10.] 两直线的交点与距离问题 　(1)直线 l 过点 P(－1,2)且到点 A(2,3)和点 B(－4,5)的距离相 等，则直线 l 的方程为________． (2)过点 P(3,0)作一直线 l，使它被两直线 l1：2x－y－2＝0 和 l2：x＋y＋3＝0 所截的线段 AB 以 P 为中点，求此直线 l 的方程. 【导学号：66482376】 (1)x＋3y－5＝0 或 x＝－1　[法一：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程 为 y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0. 由题意知|2k－3＋k＋2| k2＋1 ＝|－4k－5＋k＋2| k2＋1 ， 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－1 3 ， ∴直线 l 的方程为 y－2＝－1 3(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝－1，也符合题意． 法二：当 AB∥l 时，有 k＝kAB＝－1 3 ，直线 l 的方程为 y－2＝－1 3(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当 l 过 AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线 l 的方程为 x＝－1. 故所求直线 l 的方程为 x＋3y－5＝0 或 x＝－1.] (2)设直线 l 与 l1 的交点为 A(x0，y0)，则直线 l 与 l2 的交点 B(6－x0，－y0)，2 分 由题意知Error!解得 Error!6 分 即 A(11 3 ，16 3 )，从而直线 l 的斜率 k＝ 16 3 －0 11 3 －3 ＝8，10 分 直线 l 的方程为 y＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0. 12 分 [规律方法]　1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点 坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参 数． 2．利用距离公式应注意：①点 P(x0，y0)到直线 x＝a 的距离 d＝|x0－a|，到 直线 y＝b 的距离 d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数化为相等． [变式训练 2]　若直线 l 过点 A(1，－1)与已知直线 l1：2x＋y－6＝0 相交于 B 点，且|AB|＝5，求直线 l 的方程． [解]　①过点 A(1，－1)与 y 轴平行的直线为 x＝1. 解方程组Error!求得 B 点坐标为(1,4)， 此时|AB|＝5，即直线 l 的方程为 x＝1. 4 分 ②设过点 A(1，－1)且与 y 轴不平行的直线为 y＋1＝k(x－1)， 解方程组Error! 得 x＝k＋7 k＋2 且 y＝4k－2 k＋2 (k≠－2，否则 l 与 l1 平行)． 则 B 点坐标为(k＋7 k＋2 ，4k－2 k＋2 ). 8 分 又 A(1，－1)，且|AB|＝5， 所以 (k＋7 k＋2 －1)2＋(4k－2 k＋2 ＋1)2＝52，解得 k＝－3 4. 10 分 因此 y＋1＝－3 4(x－1)，即 3x＋4y＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为 x＝1 或 3x＋4y＋1＝0. 12 分 对称问题 　(1)平面直角坐标系中直线 y＝2x＋1 关于点(1,1)对称的直线方程是 ________． (2)光线从 A(－4，－2)点射出，到直线 y＝x 上的 B 点后被直线 y＝x 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D(－1,6)，则 BC 所在的直 线方程是________． (1)y＝2x－3　(2)10x－3y＋8＝0　[(1)法一：在直线 l 上任取一点 P′(x，y)， 其关于点(1,1)的对称点 P(2－x,2－y)必在直线 y＝2x＋1 上， ∴2－y＝2(2－x)＋1，即 2x－y－3＝0. 因此，直线 l 的方程为 y＝2x－3. 法二：由题意，l 与直线 y＝2x＋1 平行，设 l 的方程为 2x－y＋c＝0(c≠1)， 则点(1,1)到两平行线的距离相等， ∴|2－1＋c| 22＋1 ＝|2－1＋1| 22＋1 ，解得 c＝－3. 因此所求直线 l 的方程为 y＝2x－3. 法三：在直线 y＝2x＋1 上任取两个点 A(0,1)，B(1,3)，则点 A 关于点(1,1)对 称的点 M(2,1)，B 关于点(1,1)对称的点 N(1，－1)．由两点式求出对称直线 MN 的方程为y＋1 1＋1 ＝x－1 2－1 ，即 y＝2x－3. (2)作出草图，如图所示，设 A 关于直线 y＝x 的对称点为 A′，D 关于 y 轴 的对称点为 D′， 则易得 A′(－2，－4)，D′(1,6)． 由入射角等于反射角可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C. 故 BC 所在的直线方程为 y－6 －4－6 ＝ x－1 －2－1 ，即 10x－3y＋8＝0.] [迁移探究 1]　在题(1)中“将结论”改为“求点 A(1,1)关于直线 y＝2x＋1 的 对称点”，则结果如何？ [解]　设点 A(1,1)关于直线 y＝2x＋1 的对称点为 A′(a，b)，2 分 则 AA′的中点为(1＋a 2 ，1＋b 2 )，4 分 所以Error!解得 Error!10 分 故点 A(1,1)关于直线 y＝2x＋1 的对称点为(－3 5 ，9 5). 12 分 [迁移探究 2]　在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线 x－y＝0 对 称”，则结果如何？ [解]　在直线 y＝2x＋1 上任取两个点 A(0,1)，B(1,3)，则点 A 关于直线 x－y＝ 0 的对称点为 M(1,0)，点 B 关于直线 x－y＝0 的对称点为 N(3,1)，6 分 ∴根据两点式，得所求直线的方程为y－1 0－1 ＝x－3 1－3 ，即 x－2y－1＝0. 12 分 [规律方法]　1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中 心对称转化为点关于点的对称． 2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一 是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中 点在对称轴上． [变式训练 3]　(2017·广州模拟)直线 x－2y＋1＝0 关于直线 x＋y－2＝0 对 称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0　　　 B．2x－y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 B　[由题意得直线 x－2y＋1＝0 与直线 x＋y－2＝0 的交点坐标为(1,1)． 在直线 x－2y＋1＝0 上取点 A(－1,0)， 设 A 点关于直线 x＋y－2＝0 的对称点为 B(m，n)， 则Error!解得Error! 故所求直线的方程为y－1 3－1 ＝x－1 2－1 ，即 2x－y－1＝0.] [思想与方法] 1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合 的两条直线 l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存 在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意． 2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称， 利用坐标转移法． [易错与防范] 1．判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直 线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． 2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式； (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x，y 的系数对应相 等．