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- 2021-06-11 发布
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课时素养评价
三十三 对数函数y=logax的图象和性质
(15分钟 35分)
1.若a=log67,b=log76,c=loπ,则 ( )
A.alog66=1,0=log71ln e=1,log51时,a+loga2+1=a,loga2=-1,a=(舍去).当00.
答案:(0,+∞)
5.已知函数f(x)=lg(2+x2),则满足不等式f(2x-1)0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象为 ( )
【解析】选D.由f(x)是R上的奇函数,即函数图象关于原点对称,排除A,B.又x>0时,f(x)=ln(x+1),所以D项正确.
2.(2020·天津高考)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a1,b==30.8>30.7=a,
c=log0.70.80,且a≠1)的最大值比最小值大1,则底数a的值为 ( )
A. B. C.π-2 D.2-π
【解析】选AB.当01时,函数f(x)在[2,π]上单调递增,
故logaπ-loga2=1,故a=.
6.若实数a,b满足loga2b>1 D.00>loga2,则有0b>1,故C有可能成立;对于D,当00,logb2<0,loga20,且a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为 ,若点A在幂函数f(x)的图象上,则f(3)= .
【解析】因为loga1=0,所以当2x-3=1,即x=2时,y=4,所以点A的坐标是(2,4).设幂函数f(x)=xα,因为幂函数f(x)=xα的图象过点A(2,4),所以4=2α,解得α=2,所以幂函数为f(x)=x2,则f(3)=9.
答案:(2,4) 9
8.已知函数f(x)=loga(x+2)+3的图象恒过定点(m,n),且函数g(x)=mx2-2bx+n在[1,+∞)上单调递减,则实数b的取值范围是 .
【解析】因为函数f(x)的图象恒过定点(m,n),
令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=3,
可得它的图象恒过定点(-1,3),所以m=-1,n=3.
因为函数g(x)=mx2-2bx+n=-x2-2bx+3 在[1,+∞)上单调递减,所以-b≤1,
所以b≥-1.
答案:[-1,+∞)
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0且a≠1),
(1)若a>1,解不等式f(x)<0;
(2)若函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为a>1,loga(1-ax)<0,
所以loga(1-ax)<0=loga1,
所以0<1-ax<1,所以-1<-ax<0,解得01时,不等式的解集为.
(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,而t=1-ax在区间(0,2]上单调递减,
所以00.再由解得00,a≠1),且f(0)=2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域;
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.
【解析】(1)f(0)=loga3+loga3=2loga3=2,
所以a=3.所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),
所以解得-3f(2-a),则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(1,3)
【解析】选A.根据题意可得f(x)=
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;根据题意可知,⇒01时,因为f(a)>f(2-a),
所以-ln a>ln(2-a)⇒a(2-a)<1,解得a≠1;
⇒0f(2-a),
所以ln a>-ln(2-a)⇒a(2-a)>1,解得a∈∅;
综上,a的取值范围为(0,1).
2.若定义运算f(a⊗b)=则函数y=f(log2(1+x)⊗log2(1-x))的值域是 ( )
A.(-1,1) B.[0,1)
C.[0,+∞) D.[0,1]
【解析】选B.由题意得f(ab)=
所以y=f(log2(1+x)log2(1-x))
=
当0≤x<1时,函数为y=log2(1+x),
因为y=log2(1+x)在[0,1)上单调递增,
所以y∈[0,1),当-1
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