高中数学必修4教案：4_备课资料（2_2_3 向量数乘运算及其几何意义） 3页

备课资料 一、向量的数乘运算律的证明 设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有 ‎(1)λ(μa)=(λμ)a; ①‎ ‎(2)(λ+μ)a=λa+μa; ②‎ ‎(3)λ(a+b)=λa+λb. ③‎ 证明：(1)如果λ=0或μ=0或a=0,则①式显然成立.‎ 如果λ≠0,μ≠0,且a≠0,则根据向量数乘的定义,有 ‎|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|,‎ ‎|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|.‎ 所以|λ(μa)|=|(λμ)a|.‎ 如果λ、μ同号,则①式两边向量的方向都与a同向;如果λ、μ异号,则①式两边向量的方向都与a反向.‎ 因此,向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等.‎ ‎(2)如果λ=0或μ=0或a=0,则②显然成立.‎ 如果λ≠0,μ≠0且a≠0,可分如下两种情况:‎ 当λ、μ同号时,则λa和μa同向,所以 ‎|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,‎ ‎|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,‎ 即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|.‎ 由λ、μ同号,知②式两边向量的方向或都与a同向,或都与a反向,即②式两边向量的方向相同.‎ 综上所述,②式成立.‎ 如果λ、μ异号,当λ>μ时,②式两边向量的方向都与λa的方向相同;当λ<μ时,②式两边向量的方向都与μa的方向相同.‎ 还可证|(λ+μ)a|=|λa+μa|.因此②式也成立.‎ ‎(3)当a=0,b=0中至少有一个成立,或λ=0,λ=1时,③式显然成立.‎ 图13‎ 当a≠0,b≠0且λ≠0,λ≠1时,‎ 可分如下两种情况:‎ 当λ>0且λ≠1时如图13,在平面内任取一点O作=a,=b,=λa,=λb,则=a+b,=λa+λb.‎ 由作法知∥,有∠OAB=∠OA1B1,||=λ||.‎ 所以|==λ.所以△AOB∽△A1OB1.‎ 所以=λ,∠AOB=∠A1OB1.‎ 图14‎ 因此O、B、B1在同一条直线上,||=|λ|,与λ的方向也相同.‎ 所以λ(a+b)=λa+λb.‎ 当λ<0时,由图14可类似证明λ(a+b)=λa+λb.‎ 所以③式也成立.‎ 二、备用习题 ‎1.[(2a+8b)-(4a-2b)]等于（ ）‎ A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b ‎2.设两非零向量e1、e2不共线,且ke1+e2与e1+ke2共线,则k的值为（ ）‎ A.1 B.-1 C.±1 D.0‎ ‎3.若向量方2x-3(x-2a)=0,则向量x等于（ ）‎ A.a B.-6a C.6a D.a ‎4.在△ABC=,EF∥BC,EF交AC于F,设=a,=b,则用a、b表示的形式是=_________.‎ ‎5.在△ABC,M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点,O是△ABC平面上的任意一点,若+=e1-e2,则=________.‎ ‎6.已知△ABC的重心为G,O为坐标原点,=a,=b,=c,‎ 求证:=(a+b+c).‎ ‎7.对判断向量a=-2e与b=2e是否共线?有如下解法:‎ 解:∵a=-2e,b=-2e,∴b=-a.∴a与b共线.请根据本节所学的共线知识给以评析.如果解法有误,请给出正确解法.‎ 参考答案:‎ ‎1.B 2.C 3.C ‎4.-a+b ‎5. e1-e2.‎ ‎6.连接AG并延长,设AG交于M.‎ ‎∵=b-a,=c-a,=c-b,‎ ‎∴=+=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a).‎ ‎∴==(c+b-2a).‎ ‎∴=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c).‎ ‎7.评析:乍看上述解答,真是简单明快.然而,仔细研究题目已知,却发现其解答存在问题,这是因为,原题已知中,对向量e并无任何限制,那么就应允许e=0,而当e=0时,显然,a=0,b=0,此时,a不符合定理中的条件,且使b=λa成立的λ值也不唯一(如λ=-1,λ=1,λ=2等均可使b=λa成立),故不能应用定理来判断它们是否共线.可见,对e=0的情况应另法判断才妥.‎ 综上分析,此题应解答如下:‎ 解:(1)当e=0时,则a=-2e=0.‎ 由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以此时a与b共线.‎ ‎(2)当e≠0时,则a=-2e≠0,b=2e≠0,‎ ‎∴b=-a〔这时满足定理中的a≠0,及有且只有一个实数λ(λ=-1),使得b=λa成立〕.‎ ‎∴a与b共线.‎ 综合(1)(2),可知a与b共线.‎ ‎(设计者：沈献宏)‎