高中数学必修4教案：2_2_1向量加法运算及其几何意义 5页

‎2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学目标：‎ 1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； ‎ 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； ‎ 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；‎ 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.‎ 教学难点：理解向量加法的定义.‎ 教学思路：‎ 一、设置情景：‎ 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置：‎ ‎（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：‎ ‎（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和：‎ ‎（3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：‎ A B C A B C ‎（4）船速为，水速为，则两速度和：‎ A B C C A B 二、探索研究：‎ ‎１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.‎ ‎２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）‎ A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａ＋ｂ a 如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ， 规定： a + = + a b a ‎３．例1、已知向量、，求作向量+‎ ‎ ‎ 练习：已知向量、，求作向量+‎ ‎（1） ‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么不同？ ‎ ‎（2）当向量与不共线时， |+|<||+||；什么时候|+|=||+||，‎ 什么时候|+|=||－||，‎ 当向量与不共线时，，，+的方向不同，且|+|<||+||；‎ 当向量与共线时，‎ ‎① 当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，‎ ‎②当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；‎ 若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.‎ ‎（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加 ‎４．加法的交换律和平行四边形法则 已知向量、，求作向量+，+‎ ‎ ‎ 问题：上题中+的结果与+是否相同？ ‎ 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）‎ ‎ ２）向量加法的交换律：+=+‎ ‎５．你能证明：向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 吗？‎ ‎6．由以上证明你能得到什么结论？ ‎ ‎ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.‎ 三、应用举例：‎ 例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。现有一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h （1） 试用向量表示江水速度、船速及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；‎ （2） 求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度之间的夹角表示，精确到度）。‎ 变式1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度.‎ 变式2、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.‎ 练习：课本第84页1、2、3、4题 四、小结 ‎ ‎1、向量加法的几何意义；‎ ‎２、交换律和结合律；‎ ‎３、|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.‎ 五、课后作业 习题2.2A组第二题