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- 2021-06-11 发布
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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.简单的逻辑联结词
(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”.
(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
(2)全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中任意一个x,
有p(x)成立
存在M中的一个x0,
使p(x0)成立
简记
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0)
否定
∃x0∈M,¬p(x0)
∀x∈M,¬p(x)
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)命题p∧q为假命题,则命题p、q都是假命题.( )
(2)命题p和¬p不可能都是真命题.( )
(3)若命题p、q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.( )
(4)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.( )
(5)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,¬p(x)的真假性相反.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
命题“∃x0∈R,x-x0-1>0”的否定是( )
A.∀x∈R,x2-x-1≤0
B.∀x∈R,x2-x-1>0
C.∃x0∈R,x-x0-1≤0
D.∃x0∈R,x-x0-1≥0
解析:选A.依题意得,命题“∃x0∈R,x-x0-1>0”的否定是“∀x∈R,x2-x-1≤0”,选A.
已知命题p:∃x0∈R,使sin x0=;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0,给出下列结论:
② 命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧(¬q)”是假命题;
③ 命题“(¬p)∨q”是真命题;
④ 命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题.
其中正确的是( )
A.②③ B.②④
C.③④ D.①②③
解析:选A.因为>1,所以命题p是假命题.又因为x2+x+1=+≥>0,所以命题q是真命题,由命题真假的真值表可以判断②③正确,故选A.
(教材习题改编)命题“所有可以被5整除的整数,末位数字都是0”的否定为________________________________________________________________________.
答案:“有些可以被5整除的整数,末位数字不是0”
若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
解析:因为0≤x≤,所以0≤tan x≤1,
又因为∀x∈,tan x≤m,故m≥1,
即m的最小值为1.
答案:1
全称命题、特称命题(高频考点)
全称命题与特称命题是高考的常考内容,多和其他数学知识相结合命题,常以选择题、填空题的形式出现.高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度:
(1)全称命题、特称命题的否定;
(2)判断全称命题、特称命题的真假性.
[典例引领]
角度一 全称命题、特称命题的否定
已知命题p:∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则¬p是( )
A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0
D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0
【解析】 根据“全称命题q:∀x∈M,q(x)的否定是¬q:∃x0∈M,¬q(x0)”可知“¬p:∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0”.
【答案】 C
角度二 判断全称命题、特称命题的真假性
(2018·长沙市统一模拟考试)已知函数f(x)=x,则( )
A.∃x0∈R,f(x0)<0
B.∀x∈[0,+∞),f(x)≥0
C.∃x1,x2∈[0,+∞),<0
D.∀x1∈[0,+∞),∃x2∈[0,+∞),f(x1)>f(x2)
【解析】 幂函数f(x)=x的值域为[0,+∞),且在定义域上单调递增,故A错误,B正确,C错误,D选项中当x1=0时,结论不成立,选B.
【答案】 B
(1)全称命题与特称命题的否定
①改写量词:找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词.
②否定结论:对原命题的结论进行否定.
(2)全、特称命题的真假判断方法
①要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)
成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
②要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则,这一特称命题就是假命题.
(2018·河南商丘模拟)已知f(x)=sin x-x,命题p:∃x∈,f(x)<0,则( )
A.p是假命题,¬p:∀x∈,f(x)≥0
B.p是假命题,¬p:∃x∈,f(x)≥0
C.p是真命题,¬p:∀x∈,f(x)≥0
D.p是真命题,¬p:∃x∈,f(x)≥0
解析:选C.易知f′(x)=cos x-1<0,所以f(x)在上是减函数,因为f(0)=0,所以f(x)<0,所以命题p:∃x∈,f(x)<0是真命题,綈p:∀x∈,f(x)≥0,故选C.
含有逻辑联结词的命题的真假判断
[典例引领]
(1)(2017·高考山东卷)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧¬q
C.¬p∧q D.¬p∧¬q
(2)已知命题p:对于任意的非零向量a,b都有a·b≤|a|·|b|;命题q:对于任意的非零实数x,都有x+≥2.则下列命题:①p∧q,②p∨q,③p∧(¬q),④(¬p)∨q,⑤(¬p)∧(¬q),⑥(¬p)∨(¬q)中正确的个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
【解析】 (1)当x>0时,x+1>1,因此ln(x+1)>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题.易知B为真命题.
(2)对于任意的非零向量a,b,都有a·b≤|a·b|=|a|·|b||cos|≤|a|·|b|,即命题p为真命题,故¬p为假命题;当x<0时,x+≤-2,即命题q为假命题,故¬q为真命题.从而p
∨q、p∧(¬q)、(¬p)∨(¬q)为真命题,故选B.
【答案】 (1)B (2)B
“p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断命题p,q的真假;
(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“ ¬p”形式命题的真假.
[通关练习]
1.(2018·贵州省适应性考试)已知命题p:∀x∈R,log2(x2+4)≥2,命题q:y=x是定义域上的减函数,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∨(¬q) B.p∧q
C.(¬p)∨q D.(¬p)∧(¬q)
解析:选A.命题p:函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,x2+4≥4,所以log2(x2+4)≥log24=2,即命题p是真命题,因此¬p为假命题;命题q:y=x在定义域上是增函数,故命题q是假命题,¬q是真命题.因此选项A是真命题,选项B是假命题,选项C是假命题,选项D是假命题,故选A.
2.(2018·南昌市第一次模拟测试)已知命题p:函数f(x)=|cos x|的最小正周期为2π;命题q:函数y=x3+sin x的图象关于原点中心对称,则下列命题是真命题的是( )
A.p∧q B.p∨q
C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q)
解析:选B.因为命题p为假,命题q为真,所以p∨q为真命题.
由命题的真假确定参数的取值范围
[典例引领]
(1)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=()x-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是( )
A.[,+∞) B.[,+∞)
C.(-∞,] D.(-∞,-]
(2)(分类讨论思想)给定命题p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0成立;q:关于x的方程x2-
x+a=0有实数根.如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数a的取值范围为________.
【解析】 (1)当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,
当x∈[1,2]时,
g(x)min=g(2)=-m,
由f(x)min≥g(x)min,
得0≥-m,所以m≥,故选A.
(2)当p为真命题时,“对任意实数x都有ax2+ax+1>0成立”⇔a=0或
所以0≤a<4.
当q为真命题时,“关于x的方程x2-x+a=0有实数根”⇔Δ=1-4a≥0,所以a≤.
因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,
所以p,q一真一假.
所以若p真q假,则0≤a<4,且a>,
所以4.
2.已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“∃x0∈R,x+4x0+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(4,+∞) B.[1,4]
C.[e,4] D.(-∞,-1)
解析:选C.由题意知p与q均为真命题,由p为真,可知a≥e,由q为真,知x2+4x+a=0有解,则Δ=16-4a≥0,所以a≤4.综上可知e≤a≤4.
含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(¬p)∧(¬q)假.
(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(¬p)∧(¬q)真.
(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(¬p)∨(¬q)假.
(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(¬p)∨(¬q)真.
(5)¬p真⇔p假;¬p假⇔p真.
全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤
(1)求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围;
(2)根据复合命题的真假判断命题p,q的真假性;
(3)根据命题p,q的真假情况,利用集合的交集和补集的运算,求解参数的取值范围.
易错防范
(1)注意命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题的否定的前提;
(2)注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定;
(3)复合命题的否定
①“¬p”的否定是“p”;②“p∨q”的否定是“¬p∧¬q”;③“p∧q”的否定是“¬p∨¬q”.
1.设两个命题p:对所有整数x,x2-1=0,q:对所有整数x,5x-1是整数.则( )
A.p是真命题,q是真命题
B.p是真命题,q是假命题
C.p是假命题,q是真命题
D.p是假命题,q是假命题
解析:选C.因为当x=0时,x2-1=-1≠0,所以p是假命题;因为q是真命题,所以选C.
2.(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知命题q:∀x∈R,x2>0,则( )
A.命题¬q:∀x∈R,x2≤0为假命题
B.命题¬q:∀x∈R,x2≤0为真命题
C.命题¬q:∃x∈R,x2≤0为假命题
D.命题¬q:∃x∈R,x2≤0为真命题
解析:选D.全称命题的否定是将“任意”改为“存在”,然后再否定结论.又当x=0时,x2≤0成立,所以綈q为真命题,故选D.
3.(2018·湖北武汉调研)命题“y=f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是( )
A.∃x∈M,f(-x)=-f(x)
B.∀x∈M,f(-x)≠-f(x)
C.∀x∈M,f(-x)=-f(x)
D.∃x∈M,f(-x)≠-f(x)
解析:选D.命题“y=f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是∃x∈M,f(-x)≠-f(x),故选D.
4.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A.锐角三角形有一个内角是钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,>2
解析:选B.A中锐角三角形的内角都是锐角,所以A是假命题;B中当x=0时,x2=0,满足x2≤0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0不是无理数,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,不满足>2,所以D是假命题.
5.(2018·南昌模拟)已知命题p:“∀x∈R,x+1≥0”的否定是“∀x∈R,x+1<0”;命题q:函数y=x-3是幂函数.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∨q
C.¬q D.p∧(¬q)
解析:选B.易知命题p是假命题,命题q是真命题,所以p∨q是真命题.
6.命题p:甲的数学成绩不低于100分,命题q:乙的数学成绩低于100分,则p∨(綈q)表示( )
A.甲、乙两人的数学成绩都低于100分
B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分
C.甲、乙两人的数学成绩都不低于100分
D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分
解析:选D.由于命题q:乙的数学成绩低于100分,因此¬q:乙的数学成绩不低于100分.所以p∨(¬q):甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分,故选D.
7.已知命题p:函数y=ax(a>0且a≠1)在R上是增函数,命题q:loga2+log2a≥2(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是( )
A.p∨q B.p∧q
C.(¬p)∧q D.p∨(¬q)
解析:选D.当0m”是真命题,则m的值可以是( )
A.- B.1
C. D.
解析:选A.因为sin xcos x=sin 2x∈,所以m<.故选A.
9.已知命题p:∀x∈R,2x<3x,命题q:∃x∈R,x2=2-x,若命题(¬p)∧q为真命题,则x的值为( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
解析:选D.因为¬p:∃x∈R,2x≥3x,要使(¬p)∧q为真,所以¬p与q同时为真.由2x≥3x得≥1,所以x≤0,由x2=2-x得x2+x-2=0,所以x=1或x=-2,又x≤0,所以x=-2.
10.已知命题p:∃x∈R,x2+1<2x;命题q:若mx2-mx+1>0恒成立,则00恒成立,则m=0或则0≤m<4,所以命题q为假,故选C.
11.(2018·江西红色七校联考)已知函数f(x)=给出下列两个命题:命题p:∃m∈(-∞,0),方程f(x)=0有解,命题q:若m=,则f(f(-1))=0,那么,下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)
解析:选B.因为3x>0,当m<0时,m-x2<0,所以命题p为假命题;当m=时,因为f(-1)=3-1=,
所以f(f(-1))=f=-=0,
所以命题q为真命题,
逐项检验可知,只有(¬p)∧q为真命题,故选B.
12.(2018·郑州市第二次质量预测卷)下列命题是真命题的是( )
A.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
B.∃α,β∈R,使cos(α+β)=cos α+cos β
C.向量a=(2,1),b=(-1,0)则a在b的方向上的投影为2
D.“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分也不必要条件
解析:选B.选项A,当φ=时,f(x)=cos 2x,其为偶函数,故A为假命题;选项B,令α=,β=-,则cos(α+β)=cos(-)=,cos α+cos β=+0=,cos(α+β)=cos α+cos β成立,故B为真命题;选项C,设a与b的夹角为θ,则a在b的方向上的投影为==-2,故C为假命题;选项D,|x|≤1,-1≤x≤1,故充分性成立,若x≤1,|x|≤1不一定成立,
故为充分不必要条件,D为假命题.
13.命题p的否定是“对所有正数x,>x+1”,则命题p可写为____________________.
解析:因为p是¬p的否定,所以只需将全称命题变为特称命题,再对结论否定即可.
答案:∃x0∈(0,+∞),≤x0+1
14.已知命题p:x2+4x+3≥0,q:x∈Z,且“p∧q”与“¬q”同时为假命题,则x=________.
解析:若p为真,则x≥-1或x≤-3,
因为“¬q”为假,则q为真,即x∈Z,
又因为“p∧q”为假,所以p为假,故-30”是真命题,故Δ=22-4m<0,即m>1,故a=1.
答案:1
16.已知下列命题.
①∃x0∈,sin x0+cos x0≥;
②∀x∈(3,+∞),x2>2x+1;
③∀x∈R,2x+>2;
④∃x∈,tan x>sin x.
其中真命题为________.(填所有真命题的序号)
解析:对于①,当x=时,sin x+cos x=,
所以此命题为真命题;
对于②,当x∈(3,+∞)时,
x2-2x-1=(x-1)2-2>0,
所以此命题为真命题;
因为2x>0,所以+2x≥2=2,
当且仅当=2x即x=0时等号成立.
所以此命题为假命题;
对于④,当x∈时,tan x<00的解集为R,则实数a∈(0,4),命题q:“x2-2x-8>0”是“x>5”的必要不充分条件,则下列命题正确的是( )
A.p∧q B.p∧(¬q)
C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∧q
解析:选D.命题p:a=0时,可得1>0恒成立;a≠0时,可得解得00解得x>4或x<-2.因此“x2-2x-8>0”是“x>5”的必要不充分条件,是真命题.故(¬p)∧q是真命题.故选D.
2.(2018·湖北黄冈模拟)下列四个命题:
①若x>0,则x>sin x恒成立;
②命题“若x-sin x=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x-sin x≠0”;
③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件;
④命题“∀x∈R,x-ln x>0”的否定是“∃x0∈R,x0-ln x0<0”.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选C.对于①,令y=x-sin x,则y′=1-cos x≥0,则函数y=x-sin x在R上递增,则当x>0时,x-sin x>0-0=0,即当x>0时,x>sin x恒成立,故①正确;
对于②,命题“若x-sin x=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x-sin x≠0”,故②正确;
对于③,命题p∨q为真即p,q中至少有一个为真,p∧q为真即p,q都为真,可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件,故③正确;
对于④,命题“∀x∈R,x-ln x>0”的否定是“∃x0∈R,x0-ln x0≤0”,故④错误.
综上,正确命题的个数为3,故选C.
3.已知命题p:∃x0∈R,x0-2>lg x0;命题q:∀x∈R,-x2+x-1<0.给出下列结论:
①命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧(¬q)”是假命题;
③命题“(¬p)∨q”是真命题;
④命题“p∨(¬q)”是假命题.
其中所有正确结论的序号为________.
解析:对于命题p,取x=10,则有10-2>lg 10成立,故命题p为真命题;对于命题q,方程-x2+x-1=0,即x2-x+1=0,Δ=1-4×1<0,故方程无解,所以命题q为真命题.综上“p∧q”是真命题,“p∧(¬q)”是假命题,“(¬p)∨q”是真命题,“p∨(¬q)”是真命题,即正确的结论为①②③.
答案:①②③
4.下列说法:
①若命题p:∃x0∈R,tan x0=2;命题q:∀x∈R,x2-x+>0.则命题“p∧(¬q)”是假命题;
②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;
③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.
其中正确说法的序号为________.(把你认为正确说法的序号都填上)
解析:在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p∧(綈q)”是假命题是正确的.在②中,由l1⊥l2,得a+3b=0,所以②不正确.在③中“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”正确.
答案:①③
5.已知命题p:“存在a>0,使函数f(x)=ax2-4x在(-∞,2]上单调递减”,命题q:“存在a∈R,使∀x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠0”.若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围.
解:若p为真,则对称轴x=-=在区间(-∞,2]的右侧,则≥2,所以00,若r是綈t的必要不充分条件,求正数m的值.
解:(1)若p为真,则3a≤9,得a≤2.
若q为真,则函数f(x)无极值点,所以f′(x)=x2+3(3-a)x+9≥0恒成立,
得Δ=9(3-a)2-4×9≤0,解得1≤a≤5.
因为“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,
所以p与q只有一个命题是真命题.
若p为真命题,q为假命题,则⇒a<1;
若q为真命题,p为假命题,则⇒20,
所以(a-m)>0,所以am+,
即t:am+,从而綈t:m≤a≤m+,
因为r是¬t的必要不充分条件,所以¬t⇒r,r⇒/¬t,
所以(两个不等式不能同时取等号),
解得1≤m≤,又因为m∈N*,所以m=1.