高中数学必修1教案第二章 2_2_1 第1课时对数函数 8页

‎2．2　对数函数 ‎2．2.1　对数与对数运算 第1课时　对　数 ‎[学习目标]　1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质.2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．＝4，(64)＝.‎ ‎2．若2x＝8，则x＝3；若3x＝81，则x＝4.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．‎ ‎2．常用对数和自然对数 ‎(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.‎ ‎(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.‎ ‎3．对数与指数的关系 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.‎ ‎4．对数的基本性质 ‎(1)负数和零没有对数．‎ ‎(2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)．‎ ‎(3)logaa＝1(a＞0，且a≠1).‎ 要点一　指数式与对数式的互化 例1　将下列指数式与对数式互化：‎ ‎(1)2－2＝；(2)102＝100；‎ ‎(3)ea＝16；(4)64＝；‎ ‎(5)log39＝2；(6)logxy＝z.‎ 解　(1)log2＝－2.‎ ‎(2)log10100＝2，即lg 100＝2.‎ ‎(3)loge16＝a，即ln 16＝a.‎ ‎(4)log64＝－.‎ ‎(5)32＝9.‎ ‎(6)xz＝y.‎ 规律方法　1.对数式与指数式的互化图：‎ ‎2．并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.‎ 跟踪演练1　下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)‎ A．e0＝1与ln 1＝0‎ B．8＝2与log82＝ C．log24＝2与4＝2‎ D．log33＝1与31＝3‎ 答案　C 解析　由指对互化的关系：ax＝N⇔x＝logaN可知A、B、D都正确；C中log24＝2⇔22＝4.‎ 要点二　对数基本性质的应用 例2　求下列各式中x的值：‎ ‎(1)log2(log4x)＝0；‎ ‎(2)log3(lg x)＝1；‎ ‎(3)log(－1)＝x.‎ 解　(1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1，‎ ‎∴x＝41＝4.‎ ‎(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.‎ ‎(3)∵log(－1)＝x，‎ ‎∴(－1)x＝＝－1，∴x＝1.‎ 规律方法　1.对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.‎ ‎2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．‎ 跟踪演练2　利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值．‎ ‎(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；‎ ‎(3)log5x2＝2.‎ 解　(1)由log2x＝－，得2＝x，‎ ‎∴x＝.‎ ‎(2)由logx25＝2，得x2＝25.‎ ‎∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.‎ ‎(3)由log5x2＝2，得x2＝52，‎ ‎∴x＝±5.‎ ‎∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，‎ ‎∴x＝5或x＝－5.‎ 要点三　对数恒等式alogaN＝N的应用 例3　计算：3－2＋103lg3＋.‎ 解　3－2＋103lg3＋ ‎＝3×3－24×2＋(10lg3)3＋(2)－1‎ ‎＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－.‎ 规律方法　对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数．‎ 跟踪演练3　求值：(1)9；(2)5.‎ 解　(1)9＝(32)＝3＝4.‎ ‎(2)5＝5·5＝5×2＝10.‎ ‎1．2x＝3化为对数式是(　　)‎ A．x＝log32 B．x＝log23‎ C．2＝log3x D．2＝logx3‎ 答案　B 解析　∵2x＝3，∴x＝log23.‎ ‎2．若log3x＝3，则x等于(　　)‎ A．1 B．3‎ C．9 D．27‎ 答案　D 解析　∵log3x＝3，∴x＝33＝27.‎ ‎3．有下列说法：‎ ‎①零和负数没有对数；‎ ‎②任何一个指数式都可以化成对数式；‎ ‎③以10为底的对数叫做常用对数；‎ ‎④以e为底的对数叫做自然对数．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　C 解析　对于②，(－2)3＝－8不能化为对数式，∴②不正确，其余正确．‎ ‎4．已知log2x＝2，则x＝________.‎ 答案　 解析　∵log2x＝2，∴x＝4，‎ ‎∴x＝4＝＝.‎ ‎5．若lg(ln x)＝0，则x＝________.‎ 答案　e 解析　∵ln x＝1，∴x＝e.‎ ‎1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.‎ ‎2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．‎ ‎3．指数式与对数式的互化 一、基础达标 ‎1．2－3＝化为对数式为(　　)‎ A．log2＝－3 B．log(－3)＝2‎ C．log2＝－3 D．log2(－3)＝ 答案　C 解析　根据对数的定义知选C.‎ ‎2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是(　　)‎ A．①③ B．②④‎ C．①② D．③④‎ 答案　C 解析　lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x，则x＝1010，③错误；若e＝ln x，则x＝ee，故④错误．‎ ‎3．若log3(log2x)＝1，则x－等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　∵log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，‎ ‎∴x＝23＝8，则x－＝＝ .‎ ‎4．方程2＝的解是(　　)‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9‎ 答案　A 解析　∵2＝＝2－2，‎ ‎∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.‎ ‎5．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于(　　)‎ A．5 B．7‎ C．10 D．12‎ 答案　D 解析　∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an ‎＝(am)2·an＝12.‎ ‎6．ln 1＋log(－1)(－1)＝________.‎ 答案　1‎ 解析　ln 1＋log(－1)(－1)＝0＋1＝1.‎ ‎7．求下列各式中的x.‎ ‎(1)logx27＝；‎ ‎(2)log2x＝－；‎ ‎(3)logx(3＋2)＝－2；‎ ‎(4)log5(log2x)＝0；‎ ‎(5)x＝log27.‎ 解　(1)由logx27＝，得x＝27，∴x＝27＝32＝9.‎ ‎(2)由log2x＝－，得2＝x，‎ ‎∴x＝＝.‎ ‎(3)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，‎ 即x＝(3＋2)＝－1.‎ ‎(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1.∴x＝21＝2.‎ ‎(5)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，‎ ‎∴x＝－.‎ 二、能力提升 ‎8．若logx＝z，则(　　)‎ A．y7＝xz B．y＝x7z C．y＝7xz D．y＝z7x 答案　B 解析　由logx＝z，得xz＝，‎ ‎∴()7＝(xz)7，则y＝x7z.‎ ‎9．对数式log(a－2)(5－a)＝b，实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，5) B．(2,5)‎ C．(2,3)∪(3,5) D．(2，＋∞)‎ 答案　C 解析　由log(a－2)(5－a)必满足 得2＜a＜5且a≠3，‎ ‎∴a∈(2,3)∪(3,5)．‎ ‎10．方程9x－6·3x－7＝0的解是________．‎ 答案　x＝log37‎ 解析　设3x＝t(t＞0)，‎ 则原方程可化为t2－6t－7＝0，‎ 解得t＝7或t＝－1(舍去)，∴t＝7，即3x＝7.‎ ‎∴x＝log37.‎ ‎11．(1)若f(10x)＝x，求f(3)的值；‎ ‎(2)计算2＋3.‎ 解　(1)令t＝10x，则x＝lg t，‎ ‎∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x ‎∴f(3)＝lg 3.‎ ‎(2)2＋3＝23·2＋ ‎＝23×3＋＝24＋27＝51.‎ 三、探究与创新 ‎12．已知logax＝4，logay＝5(a＞0，且a≠1)，求A＝的值．‎ 解　由logax＝4，得x＝a4，由logay＝5，得y＝a5，‎ 所以A＝＝x·[(x·y－2)]‎ ‎＝x·＝x·y ‎＝(a4)·(a5)＝a＝a0＝1.‎ ‎13．已知logab＝logba(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1)．‎ 求证：a＝b或a＝.‎ 证明　设logab＝logba＝k，‎ 则b＝ak，a＝bk，∴b＝(bk)k＝bk2，‎ ‎∵b＞0，且b≠1，∴k2＝1，‎ 即k＝±1.当k＝－1时，a＝；‎ 当k＝1时，a＝b.∴a＝b或a＝，命题得证．‎