2020年高中数学 模块综合评价 新人教A版选修4-5 7页

模块综合评价 ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是(　　)‎ A．a＋b≥b－c　　　 B．ac≥bc C.＞0 D．(a－b)c2≥0‎ 解析：因为a＞b，所以a－b＞0.‎ 又因为c∈R，所以c2≥0.所以(a－b)c2≥0.‎ 答案：D ‎2．不等式|3x－2|＞4的解集是(　　)‎ A．{x|x＞2} B. C. D. 解析：因为|3x－2|＞4，所以3x－2＞4或3x－2＜－4，所以x＞2或x＜－.‎ 答案：C ‎3．函数y＝x2＋(x＞0)的最小值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：y＝x2＋＝x2＋＋≥3 ＝3当且仅当x＝1时成立．‎ 答案：C ‎4．已知a，b∈R，则使不等式|a＋b|＜|a|＋|b|一定成立的条件是(　　)‎ A．a＋b＞0 B．a＋b＜0‎ C．ab＞0 D．ab＜0‎ 解析：ab＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，‎ ab＜0时，|a＋b|＜|a|＋|b|，‎ 故选D.‎ 答案：D ‎5．不等式|x－1|＋|x－2|≥3的解集是(　　)‎ 7‎ A．{x|x≤1或x≥2} B．{x|1≤x≤2}‎ C．{x|x≤0或x≥3} D．{x|0≤x≤3}‎ 解析：由x≤1时，原不等式可化为－(x－1)－(x－2)≥3，得x≤0.因此x≤0.‎ 当1＜x＜2时，原不等式可化为(x－1)－(x－2)≥3，无解．‎ 当x≥2时，原不等式可化为(x－1)＋(x－2)≥3，得x≥3.‎ 因此x≥3，‎ 综上所述，原不等式的解集是{x|x≤0或x≥3}．‎ 答案：C ‎6．设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)‎ A．q＝r＜p B．p＝r＜q C．q＝r＞p D．p＝r＞q 解析：因为0＜a＜b，所以＞.‎ 又因为f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，‎ 所以f＞f()，即p＜q.‎ 而r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln(ab)＝ln，‎ 所以r＝p，故p＝r＜q.选B.‎ 答案：B ‎7．已知不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C. D．16‎ 解析：由(x＋y)≥(1＋1)2＝4.‎ 因此不等式(x＋y)·≥a对任意正实数x，y恒成立，即a≤4.‎ 答案：B ‎8．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为(　　)‎ A．1 B．1＋2‎ C．1＋2＋3＋4 D．1＋2＋22＋23＋24‎ 解析：n＝1时，原式为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24.‎ 7‎ 答案：D ‎9．函数y＝＋的最大值为(　　)‎ A．4 B．‎2 C．6 D．4 解析：y＝＋＝·＋1·≤‎ ＝2，‎ 当且仅当＝时取等号，即当x＝－时，ymax＝2.故选B.‎ 答案：B ‎10．用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边(　　)‎ A．增加了1项 B．增加了“＋”项，又减少了“”项 C．增加了2项＋ D．增加了项，减少了项 解析：注意分母是连续的正整数，且末项可看做，故n＝k＋1时，末项为.‎ 答案：B ‎11．对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，对k的取值范围是(　　)‎ A．k＜3 B．k＜－3‎ C．k≤3 D．k≤－3‎ 解析：因为|x＋1|－|x－2|≥－|(x＋1)－(x－2)|＝－3，‎ 所以|x＋1|－|x－2|的最小值为－3.‎ 所以不等式恒成立，应有k＜－3.‎ 答案：B ‎12．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤2，|x2|≤2时，|f(x1)－f(x2)|≤6|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1，则g(x)与M的关系是(　　)‎ A．g(x) M B．g(x)∈M C．g(x) M D．不能确定 解析：因为g(x1)－g(x2)＝x＋2x1－x－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，‎ 所以|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|·(|x1|＋|x2|＋2)≤6|x1－x2|，‎ 7‎ 所以g(x)∈M.‎ 答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．用数学归纳法证明：已知n是正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，则当n＞1时，f(2n)＞.其第一步是____________________．‎ 解析：由数学归纳法的步骤易知．‎ 答案：当n＝2时，f(22)＞成立 ‎14．设x1，x2，x3，x4，x5是1，2，3，4，5的任一排列，则x1＋2x2＋3x3＋4x4＋5x5的最小值是________．‎ 解析：由题意可知x1，x2，x3，x4，x5是1，2，3，4，5的反序排列时x1＋2x2＋3x3＋4x4＋5x5取得最小值：1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35.‎ 答案：35‎ ‎15．若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－‎2a－1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：|x－1|＋|x－3|表示数轴上的x对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值等于2，‎ 由题意|x－1|＋|x－3|≤a2－‎2a－1的解集为空集，‎ 可得|x－1|＋|x－3|＞a2－‎2a－1恒成立，‎ 故2＞a2－‎2a－1，解得－1＜a＜3.‎ 答案：(－1，3)‎ ‎16．已知a，b，c∈R，a＋2b＋‎3c＝6，则a2＋4b2＋‎9c2的最小值为________．‎ 解析：因为a＋2b＋3c＝6，所以1×a＋1×2b＋1×3c＝6.‎ 所以(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．‎ 答案：12‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．‎ ‎(1)求m＋n的值；‎ ‎(2)若|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.‎ ‎(1)解：由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，得1≤x≤2，‎ 7‎ 所以m＝1，n＝2，m＋n＝3.‎ ‎(2)证明：若|x－a|＜1，‎ 则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.‎ ‎18．(本小题满分12分)设f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.‎ ‎(1)求m；‎ ‎(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．‎ 解：(1)当x≤－1时，－4