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- 2021-06-11 发布
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9.1.2 余弦定理
[课程目标] 1.掌握余弦定理及余弦定理的推导;2.了解余弦定理常用的几种变形公式;3.会利用余弦定理解决三角形问题.
知识点一 余弦定理
[填一填]
(1)语言表达:三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍.
(2)公式表示:a2=b2+c2-2bccosA;
b2=a2+c2-2accosB;
c2=a2+b2-2abcosC.
(3)变形:cosC=;
cosB=;
cosA=.
[答一答]
1.余弦定理公式c2=a2+b2-2abcosC与勾股定理c2=a2+b2很类似,它们之间有联系吗?
提示:对于余弦定理c2=a2+b2-2abcosC中,若∠C=90°,则有c2=a2+b2,此即为勾股定理,也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况.
知识点二 余弦定理的应用
[填一填]
应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题,一类是已知两边及其夹角,可以求出该三角形的第三边,另一类是已知3条边时,可以求出该三角形的3个角,而且该三角形也唯一确定.
[答一答]
2.已知两边和其中一边的对角解三角形时,用正弦定理可以求解,但需要判别解的情况,想一想,这类问题能不能用余弦定理求解?
提示:可以用余弦定理求解,例如已知a、b和∠A,可先由公式a2=b2+c2-2bccosA解关于c的方程求出c.进而再求其他量.要注意一点:关于c的方程的解的个数对应三角形解的个数,这比用正弦定理求解好.
3.有人说:公式cosA=中,可以用b2+c2-a2的值的符号判断该三角形是锐角三角形,钝角三角形,还是直角三角形.你认为这种说法对吗?
提示:不完全对.若b2+c2-a2=0,则△ABC是直角三角形.若b2+c2-a2<0,则△ABC是钝角三角形,但是若b2+c2-a2>0,△ABC不一定是锐角三角形,还要考虑B、C的大小.
1.除课本证明方法外,余弦定理其他证明方法.
证法1:(向量法)如图(1)所示,在△ABC中,显然有=-,所以·=(-)·(-)=2-2·+2=||2-2||·|
|·cosA+||2,也就是a2=b2+c2-2bccosA,同理可得b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.
证法2:(解析法)如图(2)所示,以A为原点,AC边所在的直线为x轴建立直角坐标系,则可得点A,C的坐标分别为A(0,0),C(b,0).
设点B的坐标为(x,y),由三角函数的定义,得:
=cosA,=sinA,即点B的坐标为(ccosA,csinA).
根据两点间的距离公式,
得a=|BC|=,
故a2=b2+c2-2bccosA,
同理可得b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.
2.对余弦定理的理解.
(1)余弦定理是勾股定理的推广.余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,便可求得其他量.
在应用中,如果出现a2+b2=c2,则为直角三角形;若出现a2+b2c2,不能因此断定为锐角三角形,只能说明角C为锐角.即:
∠C为锐角⇔a2+b2>c2;∠C为直角⇔a2+b2=c2;∠C为钝角⇔a2+b2a,sinA=,∴∠A=30°,
∴∠B=180°-∠A-∠C=135°.
利用余弦定理解三角形时通常要结合正弦定理,其求解关键是根据题设条件恰当地选择余弦定理、正弦定理及其他相关定理,所要注意的是在使用正弦定理求角时,务必要利用边角关系确定解的个数,避免产生增解或漏解.
[变式训练1] 在△ABC中,已知b=5,c=5,∠A=30°,求a、∠B、∠C及面积S.
解:由余弦定理,知a2=b2+c2-2bccosA
=52+(5)2-2×5×5cos30°=25,
∴a=5.
∴a=b.∴∠B=∠A=30°.
∴∠C=180°-∠A-∠B=120°,
S=bcsinA=×5×5×sin30°=.
类型二 已知三边解三角形
[例2] 在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC.
[分析] 已知三角形三边长,要求最大角和sinC的值,可先由大边对大角,确定出最大的角,再由正、余弦定理求出最大角及sinC.
[解] ∵a>c>b,∴A为最大角,由余弦定理的推论得:cosA===-.
又∵0°<A<180°,∴A=120°.∴sinA=sin120°=.
由cosC===,
∴C为锐角,sinC===.
(1)已知三角形三边求角可先用余弦定理,再用正弦定理.利用余弦定理求角时,角是唯一确定的,用正弦定理求角时,则需根据三角形边角关系确定角的取值,要防止产生增解或漏掉.
(2)求sinC也可以用下面方法:
由正弦定理=得sinC=.
(3)在解三角形时,既可用余弦定理,也可用正弦定理.
[变式训练2] (1)已知在△ABC中,abc=12,求A;
(2)已知三角形ABC的三边长为a=3,b=4,c=,求△ABC的最大内角.
解:(1)由于abc=12,
可设a=x,b=x,c=2x(x>0).
由余弦定理,得cosA===,
又0°a,c>b,∴角C最大.
由c2=a2+b2-2abcosC,得37=9+16-24cosC,
∴cosC=-,
∵0°β B.α=β
C.α+β=90° D.α+β=180°
2.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( D )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
解析:由条件及题图可知,∠A=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
3.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为海里,则x的值为( D )
A.3 B.
C.2 D.2或
解析:由题意可得,在△ABC中,∠ABC=30°,AB=x,BC=3,AC=.由余弦定理得x2+9-2·x·3cos30°=()2,解得x=2或x=.
4.某货轮在A处看到灯塔S在北偏东30°方向,它以每小时36海里的速度向正北方向航行,经过40分钟航行到B处,看灯塔S在北偏东75°方向,此时货轮到灯塔S的距离为12海里.
解析:如图.由题意可知,∠A=30°,∠BSA=45°,
AB=36×=24(海里).
在△ABS中,根据正弦定理可得:=
∴=,解得:SB=12海里.
此时货轮到灯塔S的距离为12海里.
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