高中数学人教a版必修四课时训练：1.3 三角函数的诱导公式(二) 5页

§1.3 三角函数的诱导公式(二) 课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、 公式六进行有关计算与证明． 1．诱导公式五～六 (1)公式五：sin π 2 －α ＝________；cos π 2 －α ＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六． (2)公式六：sin π 2 ＋α ＝________；cos π 2 ＋α ＝________. 2．诱导公式五～六的记忆 π 2 －α，π 2 ＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角 时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”． 一、选择题 1．已知 f(sin x)＝cos 3x，则 f(cos 10°)的值为( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 3 2 D. 3 2 2．若 sin(3π＋α)＝－1 2 ，则 cos 7 2π－α 等于( ) A．－1 2 B.1 2 C. 3 2 D．－ 3 2 3．已知 sin α－π 4 ＝1 3 ，则 cos π 4 ＋α 的值等于( ) A．－1 3 B.1 3 C.－2 2 3 D.2 2 3 4．若 sin(π＋α)＋cos π 2 ＋α ＝－m，则 cos 3 2π－α ＋2sin(2π－α)的值为( ) A．－2m 3 B.2m 3 C．－3m 2 D.3m 2 5．已知 cos π 2 ＋φ ＝ 3 2 ，且|φ|＜π 2 ，则 tan φ等于( ) A．－ 3 3 B. 3 3 C．－ 3 D. 3 6．已知 cos(75°＋α)＝1 3 ，则 sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A.1 3 B.2 3 C．－1 3 D．－2 3 二、填空题 7．若 sin α＋ π 12 ＝1 3 ，则 cos α＋7π 12 ＝________. 8．代数式 sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______． 9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________. 10．已知 tan(3π＋α)＝2，则sinα－3π＋cosπ－α＋sin π 2 －α －2cos π 2 ＋α －sin－α＋cosπ＋α ＝________. 三、解答题 11．求证： tan2π－αsin－2π－αcos6π－α sin α＋3π 2 cos α＋3π 2 ＝－tan α. 12．已知 sin －π 2 －α ·cos －5π 2 －α ＝ 60 169 ，且π 4<α<π 2 ，求 sin α与 cos α的值． 能力提升 13．化简：sin 4k－1 4 π－α ＋cos 4k＋1 4 π－α (k∈Z)． 14．是否存在角α，β，α∈ －π 2 ，π 2 ，β∈(0，π)，使等式 sin3π－α＝ 2cos π 2 －β 3cos－α＝－ 2cosπ＋β 同时成立． 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由． 1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·π 2±α(k∈Z)”的诱导公式．当 k 为偶数时，得α的同名函数值；当 k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看 成锐角时原函数值的符号． 2．诱导公式统一成“k·π 2±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． §1.3 三角函数的诱导公式(二) 答案 知识梳理 1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α 2．异名 符号 作业设计 1．A [f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－1 2.] 2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－1 2 ，∴sin α＝1 2. ∴cos 7π 2 －α ＝cos 3 2π－α ＝－cos π 2 －α ＝－sin α＝－1 2.] 3．A [cos π 4 ＋α ＝sin π 2 － π 4 ＋α ＝sin π 4 －α ＝－sin α－π 4 ＝－1 3.] 4．C [∵sin(π＋α)＋cos π 2 ＋α ＝－sin α－sin α＝－m， ∴sin α＝m 2.cos 3 2π－α ＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3 2m.] 5．C [由 cos π 2 ＋φ ＝－sin φ＝ 3 2 ，得 sin φ＝－ 3 2 ， 又∵|φ|<π 2 ，∴φ＝－π 3 ，∴tan φ＝－ 3.] 6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α) ＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－2 3.] 7．－1 3 解析 cos α＋7π 12 ＝cos π 2 ＋ α＋ π 12 ＝－sin α＋ π 12 ＝－1 3. 8．1 解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1. 9.89 2 解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋1 2 ＝89 2 . 10．2 解析 原式＝ sin α sin α－cos α ＝ tan α tan α－1 ＝ 2 2－1 ＝2. 11．证明 左边＝ tan－α·sin－α·cos－α sin 2π－ π 2 －α ·cos 2π－ π 2 －α ＝ －tan α·－sin α·cos α sin － π 2 －α cos － π 2 －α ＝ sin2α －sin π 2 －α cos π 2 －α ＝ sin2α －cos α·sin α ＝－sin α cos α ＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． 12．解 sin －π 2 －α ＝－cos α， cos －5π 2 －α ＝cos 2π＋π 2 ＋α ＝－sin α. ∴sin α·cos α＝ 60 169 ，即 2sin α·cos α＝120 169. ① 又∵sin2α＋cos2α＝1， ② ①＋②得(sin α＋cos α)2＝289 169 ， ②－①得(sin α－cos α)2＝ 49 169 ， 又∵α∈ π 4 ，π 2 ，∴sin α>cos α>0， 即 sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝17 13 ， ③ sin α－cos α＝ 7 13 ， ④ ③＋④得 sin α＝12 13 ，③－④得 cos α＝ 5 13. 13．解 原式＝sin kπ－ π 4 ＋α ＋cos kπ＋ π 4 －α . 当 k 为奇数时，设 k＝2n＋1 (n∈Z)，则 原式＝sin 2n＋1π－ π 4 ＋α ＋cos 2n＋1π＋ π 4 －α ＝sin π－ π 4 ＋α ＋cos π＋ π 4 －α ＝sin π 4 ＋α ＋ －cos π 4 －α ＝sin π 4 ＋α －cos π 2 － π 4 ＋α ＝sin π 4 ＋α －sin π 4 ＋α ＝0； 当 k 为偶数时，设 k＝2n (n∈Z)，则 原式＝sin 2nπ－ π 4 ＋α ＋cos 2nπ＋ π 4 －α ＝－sin π 4 ＋α ＋cos π 4 －α ＝－sin π 4 ＋α ＋cos π 2 － π 4 ＋α ＝－sin π 4 ＋α ＋sin π 4 ＋α ＝0. 综上所述，原式＝0. 14．解 由条件，得 sin α＝ 2sin β， ① 3cos α＝ 2cos β. ② ①2＋②2，得 sin2α＋3cos2α＝2，③ 又因为 sin2α＋sin2α＝1，④ 由③④得 sin2α＝1 2 ，即 sin α＝± 2 2 ， 因为α∈ －π 2 ，π 2 ，所以α＝π 4 或α＝－π 4. 当α＝π 4 时，代入②得 cos β＝ 3 2 ，又β∈(0，π)， 所以β＝π 6 ，代入①可知符合． 当α＝－π 4 时，代入②得 cos β＝ 3 2 ，又β∈(0，π)， 所以β＝π 6 ，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π 4 ，β＝π 6 满足条件．