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  • 2021-06-12 发布

2020_2021学年新教材高中数学第4章指数与对数章末综合提升教学案含解析苏教版必修第一册

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指数与对数 ‎[巩固层·知识整合]‎ ‎[提升层·题型探究]‎ 指数的运算 指数幂运算的一般原则 ‎(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.‎ ‎(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.‎ ‎(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.‎ ‎(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.‎ ‎[思路点拨] 按照指数的运算性质进行计算,但应注意乘法公式的应用.‎ - 6 -‎ ‎1.‎ 对数的运算 ‎1.对数的运算应遵循的原则 - 6 -‎ 对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.‎ ‎2.对于底数相同的对数式的化简常用的方法 ‎(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.‎ ‎(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).‎ ‎【例2】 计算下列各式:‎ - 6 -‎ ‎3.计算下列各式:‎ ‎(1)lg 25+lg 2+lg+lg(0.01)-1;‎ ‎(2)2log32-log3+log38-3log55.‎ ‎[解] (1)法一:原式=lg[25×2×10×(10-2)-1]‎ ‎=lg(5×2×10×102)=lg 10=.‎ 法二:原式=lg 52+lg 2+lg 10-lg 10-2‎ ‎=(lg 5+lg 2)+-(-2)=lg 10++2‎ ‎=1++2=.‎ ‎(2)法一:原式=log322+log3(32×2-5)+log323-3‎ ‎=log3(22×32×2-5×23)-3=log332-3=2-3=-1.‎ 法二:原式=2log32-(5log32-2)+3log32-3=2-3=-1.‎ - 6 -‎ 利用对数的运算性质进行求值 对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题,如果附加条件比较复杂,则需先对其进行变形、化简,并充分利用其最简结果解决问题.具体解决方法:(1)注意指数式与对数式的互化,有些需要将对数式化为指数式,而有些需要将指数式化为对数式;(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用,解题时应全方位、多角度地思考,注意已知条件和所求式子的前后照应.‎ ‎【例3】 若lg a+lg b=4,lg a·lg b=,求lg(ab)·(logab+logba)的值.‎ ‎[解] lg(ab)·(logab+logba)=(lg a+lg b) ‎=(lg a+lg b)·=(lg a+lg b)·=4×=248.‎ ‎4.若logab+3logba=,则用a表示b的式子是    .‎ b=或b=a6 [ 原式可化为+3logba=,‎ 整理得3(logba)2+1-logba=0,即6(logba)2-13logba+2=0.‎ 解得logba=2或logba=,所以b2=a或b=a.即b=或b=a6.]‎ ‎5.已知lg a+lg b=2lg(a-2b),求log2的值.‎ ‎[解] 因为lg a+lg b=2lg(a-2b),‎ 所以lg ab=lg(a-2b)2,‎ ab=(a-2b)2,a2-5ab+4b2=0,‎ 即(a-b)(a-4b)=0,‎ 所以a=b或a=4b.‎ 又因为a-2b>0,‎ 所以a=4b,log2=log24=2.‎ 解简单的指数和对数方程 - 6 -‎ 解简单的指数和对数方程的三种方法 ‎(1)化同底:将指数方程变形为am=an⇔m=n.‎ 形如logaM=logaN(a>0,a≠1)的对数方程,等价转化为M=N,且 求解.‎ ‎(2)定义法:解形如b=logaM(a>0,a≠1)的方程时,常借助对数的定义等价转化为M=ab求解.‎ ‎(3)换元法:设t=ax(t=logax),将方程转化为关于t的一元二次方程求出t,再解出x.‎ ‎【例4】 根据下列条件,分别求实数x的值:‎ ‎(1)log2(2-x)=log2(x-1)+1;‎ ‎(2)32x+1-6x=22x+2.‎ ‎[解] (1)原方程可化为log2(2-x)=log2[2(x-1)],得2-x=2(x-1),解得x=.经检验知,原方程的解为x=.‎ ‎(2)原方程可化为3×32x-2x×3x-4×22x=0,‎ 因式分解得(3×3x-4×2x)(3x+2x)=0,‎ 则3×3x-4×2x=0,即=, 解得x=log .‎ ‎6.解下列关于x的方程:‎ ‎(1)lg=lg(x-1);‎ ‎(2)log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).‎ ‎[解] (1)原方程等价于 解之得x=2.‎ 经检验x=2是原方程的解,所以原方程的解为x=2.‎ ‎(2)原方程可化为log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1).‎ 即log4=log4.‎ 整理得=,解之得x=7或x=0.‎ 当x=7时,3-x<0,不满足真数大于0的条件,故舍去.x=0满足,‎ 所以原方程的解为x=0.‎ - 6 -‎