【数学】2018届一轮复习北师大版第10讲函数（指数函数、对数函数和分段函数）模型及其应用学案 10页

‎【知识要点】‎ 一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决．‎ 数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述．‎ 数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提．‎ 二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力．‎ 三、三种增长型函数的增长速度的比较 ‎1、指数函数与幂函数在区间，无论比大多少，尽管在的一定范围内会小于，但由于的增长速度快于的增长速度,因而总存在一个,当时有.‎ ‎2、对数函数与幂函数对数函数的增长速度，不论与值的大小如何总会慢于的增长速度, 因而在定义域内总存在一个实数,当时有 ‎.‎ ‎3、由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在上，总会存在一个实数,当时有.‎ 四、分段函数 在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，每一段自变量的取值范围的交集为空集.‎ 五．解决实际问题的解题过程 ‎（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用、分别表示问题中的变量；‎ ‎（2）建立函数模型：将变量表示为的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；‎ ‎（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.‎ 这些步骤用框图表示：‎ 六．解应用题的一般程序 ‎（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；‎ ‎（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；‎ ‎（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；‎ ‎（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．‎ 七、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等. 学科.网 ‎【方法讲评】‎ 函数的模型一 指数函数模型 解题步骤 先建立指数函数模型，再解答.‎ ‎【例1】某城市现有人口总数为万人，如果年自然增长率为，试解答下面的问题： ‎ ‎ （1）写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系式； （2）计算年以后该城市人口总数（精确到万人）； (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到万人（精确到年）．‎ ‎（）‎ ‎ 【点评】（ 1）增长率（降低率）的问题一般是指数模型或幂函数模型，如果已知增长率（降低率）求 时间，多是指数函数模型.（2）解指数方程或不等式，一般利用对指互化.‎ ‎ 【反馈检测1】‎1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.‎ ‎（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？‎ ‎（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？‎ 以下数据供计算时使用：‎ 数 ‎1.010‎ ‎1.015‎ ‎1.017‎ ‎1.310‎ ‎2.000‎ 对数 ‎0.004 3‎ ‎0.006 5‎ ‎0.007 3‎ ‎0.117 3‎ ‎0.301 0‎ 数 ‎3.000‎ ‎5.000‎ ‎12.48‎ ‎13.11‎ ‎13.78‎ 对数 ‎0.477 1‎ ‎0.699 0‎ ‎1.096 2‎ ‎1.117 6‎ ‎1.139 2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【反馈检测2】(1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)(元)与所存月数之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利)．‎ ‎(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期 为，写出本利和随存期变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？‎ 函数的模型二 对数函数模型 解题步骤 先建立对数函数模型，再解答.‎ ‎【例2】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 ，单位是，其中表示燕子的耗氧量．‎ ‎ (1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？‎ ‎(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？‎ ‎【点评】对数函数模型的应用题一般模型为.‎ ‎【反馈检测3】长春亚泰足球俱乐部准备为救助失学儿童在吉林省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数，则这三种门票的张数分别为 万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.‎ 函数的模型三 分段函数模型 解题步骤 先建立分段函数模型，再解答.‎ ‎【例3】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用下图中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用下图中（2）的抛物线表示．‎ ‎（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式；‎ ‎（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?‎ ‎（注：市场售价和种植成本的单位：元，时间单位：天）‎ ‎（2）设时刻的纯收益为，则由题意得，‎ 即 当时，配方整理得，‎ 所以，当时，取得区间上的最大值；‎ 当时，配方整理得，‎ ‎【点评】（1）由于市场售价与时间的函数关系是分段函数，所以时刻的纯收益也为分段函数.（2）数学中的分类的根本原因是由于某些数学因素的不确定性.‎ ‎【反馈检测4】在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当时，车流速度为千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.‎ ‎（1）当时，求函数的表达式；‎ ‎（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）‎ 高中数学常见题型解答归纳及反馈检测第10讲：‎ 函数（指数函数、对数函数和分段函数）模型及其应用参考答案 ‎【反馈检测1答案】每年人口平均增长率为，2008年人口至多有亿.‎ ‎【反馈检测2答案】（1）101.8元；（2）1117.68元. 学科.网 ‎【反馈检测2详细解析】(1)利息＝本金×月利率×月数．＝100＋100×0.36%·＝100＋0.36，当＝5时，＝101.8，∴5个月后的本息和为101.8元．‎ ‎(2)已知本金为元，1期后的本利和为＝＋×＝ (1＋)，‎ ‎2期后的本利和为＝ (1＋)＋ (1＋)＝；‎ ‎3期后的本利和为＝；……‎ 所以期后的本利和为y＝.‎ 将＝1 000，＝2.25%，＝5代入上式得＝1 000×(1＋2.25%)‎ 由计算器算得＝1117.68(元)．‎ 答：复利函数式为＝,5期后的本利和为1117.68元．‎ ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测3详细解析】设3元、5元、8元门票的张数分别为，则（1）代入（3）有（万元），当且仅当 时等号成立，解得，所以.由于为增函数，即此时也恰有最大值.‎ ‎【反馈检测4答案】（1）；‎ ‎（2）当车流密度为辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约辆/小时.‎ ‎（2）由题意知，‎ 当时，，则函数在区间上单调递增，此时在处取最大值，即；‎ 当时，，函数图象开口朝上，对称轴为直线，‎ 此时函数在处取得最大值，即，‎ ‎，故当时，，‎ 即当车流密度为辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约辆/小时.‎