【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第八章第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系学案 17页

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎[学生用书P127]‎ ‎1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ ‎2．空间直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：．‎ ‎(3)定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎(1)空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 a⊂α 有无数个公共点 直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α 没有公共点 直线a与平面α斜交 a∩α＝A 有且只有一个公共点 直线a与平面α垂直 a⊥α ‎(2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 没有公共点 续　表 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面相交 斜交 α∩β＝l 有一条公共直线 垂直 α⊥β且α∩β＝a ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　　)‎ ‎(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)‎ ‎(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　　)‎ ‎(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(　　)‎ ‎(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×‎ ‎ (教材习题改编)下列命题正确的是(　　)‎ A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 解析：选D.A选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定平面；B选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定平面；C选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D是正确的．‎ ‎ (教材习题改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)‎ A．空间四边形　　　　 B.矩形 C．菱形 D．正方形 解析：选B.如图所示，易证四边形 EFGH为平行四边形．‎ 因为E，F分别为AB，BC的中点，‎ 所以EF∥AC.‎ 又FG∥BD，‎ 所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．‎ 而AC与BD所成的角为90°，‎ 所以∠EFG＝90°，‎ 故四边形EFGH为矩形．‎ ‎ 已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)‎ A．一定是异面直线 B.一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析：选C.假设c∥b，又因为c∥a，所以a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能平行．‎ ‎ 如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)‎ 解析：选D.A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．‎ ‎ (教材习题改编)‎ 如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点，则异面直线SA与PD所成角的正切值为(　　)‎ A．1 B. C．2 D．2 解析：‎ 选B.连接OP，易知O为AB的中点，因为P为SB的中点，所以OP∥SA，且OP＝SA，所以∠DPO为异面直线SA与PD所成的角．在Rt△SOB中，SO＝OB＝2，所以OP＝.在等腰三角形PCD中，OP⊥CD，OD＝2，所以tan∠DPO＝＝＝，故选B.‎ ‎　　　　　　平面的基本性质[学生用书P128]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面．‎ ‎【证明】　如图所示，‎ 连接CD1、EF、A1B，‎ 因为E、F分别是AB和AA1的中点，‎ 所以EF∥A1B 且EF＝A1B.‎ 又因为A1D1BC，‎ 所以四边形A1BCD1是平行四边形，‎ 所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，‎ 所以EF与CD1确定一个平面α，‎ 所以E、F、C、D1∈α，即E、C、D1、F四点共面．‎ 本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？‎ 证明：‎ 如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝CD1，‎ 所以四边形CD1FE是梯形，‎ 所以CE与D1F必相交，设交点为P，‎ 则P∈CE，且P∈D1F，‎ 又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，‎ 所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.‎ 又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，‎ 所以CE、D1F、DA三线共点．‎ 共点、共线、共面问题的证明方法 ‎(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．‎ ‎(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．‎ ‎(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H 分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：‎ ‎(1)E、F、G、H四点共面；‎ ‎(2)三直线FH、EG、AC共点．‎ 证明： ‎ ‎(1)连接EF、GH，‎ 因为E、F分别是AB、AD的中点，‎ 所以EF∥BD.‎ 又因为CG＝BC，CH＝DC，‎ 所以GH∥BD，‎ 所以EF∥GH，‎ 所以E、F、G、H四点共面．‎ ‎(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，‎ 所以设FH∩AC＝M，‎ 所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.‎ 又因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，‎ 所以M∈EG，所以FH、EG、AC共点．‎ ‎　　　　　　空间两直线的位置关系[学生用书P128]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)‎ ‎(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH所在直线在原正方体中互为异面的对数为________对．‎ ‎【解析】 (1)图①中，直线GH∥MN；‎ 图②中，G，H，N三点共面，‎ 但M∉面GHN，‎ 因此直线GH与MN异面；‎ 图③中，连接MG，GM∥HN，‎ 因此GH与MN共面；‎ 图④中，G，M，N共面，‎ 但H∉面GMN，‎ 因此GH与MN异面．‎ 所以在图②④中，GH与MN异面．‎ ‎(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，‎ 则AB，CD，EF和GH在原正方体中，‎ 显然AB与CD，EF与GH，‎ AB与GH都是异面直线，‎ 而AB与EF相交，‎ CD与GH相交，CD与EF平行．‎ 故互为异面的直线有且只有3对．‎ ‎【答案】　(1)②④　(2)3‎ ‎　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 解析：选D.由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．‎ ‎2.‎ 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．‎ 解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．‎ 答案：③④‎ ‎　　　　　　异面直线所成的角[学生用书P129]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．‎ ‎【解析】　如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接AG，GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，‎ 在△AGP中，AG＝GP＝AP，‎ 所以∠APG＝.‎ ‎【答案】　 在本例条件下，若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为θ，求cos θ的值．‎ 解：设N为BF的中点，连接EN，MN，则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角．‎ 不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4，‎ 则EN＝，EM＝2，MN＝.‎ 在△MEN中，由余弦定理得 cos ∠MEN＝ ‎＝＝－＝－.‎ 即cos θ＝.‎ 用平移法求异面直线所成的角的步骤 ‎(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；‎ ‎(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；‎ ‎(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D． 解析：‎ 选B.画出正四面体ABCD的直观图，如图所示．‎ 设其棱长为2，取AD的中点F，‎ 连接EF，‎ 设EF的中点为O，连接CO，则EF∥BD，‎ 则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角．‎ ‎△ABC为等边三角形，则CE⊥AB，易得CE＝，同理可得CF＝，故CE＝CF.‎ 因为OE＝OF，所以CO⊥EF.‎ 又EO＝EF＝BD＝，所以cos∠FEC＝＝＝.‎ ‎ 共点、共线、共面问题的证明 ‎(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．‎ ‎(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上．‎ ‎ 判定空间两条直线是异面直线的方法 ‎(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．‎ ‎(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．‎ ‎ 异面直线所成角的求法及注意事项 ‎(1)求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想．‎ ‎(2)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． ‎ ‎[学生用书P301(单独成册)]‎ ‎1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有(　　)‎ A．4个　　　　　　　　 B.3个 C．2个 D．1个 解析：选A.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．‎ ‎2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．‎ ‎3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．‎ ‎4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)‎ A．相交 B.异面 C．平行 D．垂直 解析：选A.由BCAD，ADA1D1知，BCA1D1，‎ 从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，‎ 又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，‎ 则A1B与EF相交．‎ ‎5．下列命题中，真命题的个数为(　　)‎ ‎①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；‎ ‎②两条直线可以确定一个平面；‎ ‎③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；‎ ‎④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.‎ A．1 B.2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B.根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.‎ ‎6．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：‎ ‎①若a∥b，b∥c，则a∥c；‎ ‎②若a⊥b，b⊥c则a∥c；‎ ‎③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；‎ ‎④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．‎ 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．‎ 解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．‎ 答案：①‎ ‎7．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．‎ 解析：‎ 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，‎ 因为C是圆柱下底面弧AB的中点，‎ 所以AD∥BC，‎ 所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，‎ 所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，‎ 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，‎ 所以C1D＝AD，‎ 所以直线AC1与AD所成角的正切值为，‎ 所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.‎ 答案： ‎8．如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共 面又与CC1共面的棱有________条．‎ 解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．‎ 答案：5‎ ‎9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．‎ 证明：如图，连接BD，B1D1，‎ 则BD∩AC＝O，‎ 因为BB1DD1，‎ 所以四边形BB1D1D为平行四边形，‎ 又H∈B1D，‎ B1D⊂平面BB1D1D，‎ 则H∈平面BB1D1D，‎ 因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，‎ 所以H∈OD1.‎ 即D1、H、O三点共线．‎ ‎10.‎ 如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．‎ ‎(1)求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．‎ 解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．‎ ‎(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．‎ 又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.‎ 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎1．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．‎ ‎2．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A．l1⊥l4‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 解析：选D.‎ 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.‎ ‎3．在三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线(　　)‎ A．不存在 B.有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条 解析：选D.在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交．‎ ‎4．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，点F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是________．‎ ‎①EF与GH平行；‎ ‎②EF与GH异面；‎ ‎③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；‎ ‎④EF与GH的交点M一定在直线AC上．‎ 解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC上．‎ 答案：④‎ ‎5.‎ 如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点．‎ ‎(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？‎ 解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，‎ 所以GHAD.又BCAD，‎ 故GHBC.‎ 所以四边形BCHG是平行四边形．‎ ‎(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：‎ 由BEFA，G是FA的中点知，BEGF，‎ 所以EFBG.‎ 由(1)知BG∥CH，‎ 所以EF∥CH，故EC、FH共面．‎ 又点D在直线FH上，‎ 所以C，D，F，E四点共面．‎ ‎6．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ 解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥PABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.‎ ‎(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．‎ 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，‎ cos∠ADE＝＝.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎