2020年高中数学 第一章 数列 5页

‎1.3.2‎‎ 第1课时 等比数列的前n项和 ‎ [A　基础达标]‎ ‎1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为(　　)‎ A．1＋　　　　 B． C. D．以上皆错 解析：选D.当a＝1时，Sn＝n，故选D.‎ ‎2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且‎4a1，‎2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　)‎ A．7 B．8‎ C．15 D．16‎ 解析：选C.设{an}的公比为q，‎ 因为‎4a1，‎2a2，a3成等差数列，‎ 所以‎4a2＝‎4a1＋a3，即‎4a1q＝‎4a1＋a1q2，‎ 即q2－4q＋4＝0，所以q＝2，‎ 又a1＝1，所以S4＝＝15，故选C.‎ ‎3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝(　　)‎ A．－2　　　 B．2　 　　　‎ C．3　　　 D．－3‎ 解析：选A.因为S3＋3S2＝0，‎ 所以＋＝0，‎ 即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0.解得q＝－2或q＝1(舍去)．‎ ‎4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　)‎ A. B．－ C. D． 解析：选A.法一：由等比数列前n项和的性质知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，又a7＋a8＋a9＝S9－S6，则S3，S6－S3，a7＋a8＋a9成等比数列，从而a7＋a8＋a9＝＝.故选A.‎ 法二：因为S6＝S3＋S3q3，所以q3＝＝－，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝S3q6＝8× ＝.故选A.‎ 5‎ ‎5．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　)‎ A．90 B．70‎ C．40 D．30‎ 解析：选C.因为S30≠3S10，所以q≠1.‎ 由得 所以 所以q20＋q10－12＝0.所以q10＝3，‎ 所以S20＝＝S10(1＋q10)‎ ‎＝10×(1＋3)＝40.‎ ‎6．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．‎ 解析：因为在等比数列{an}中，前3项之和等于21，‎ 所以＝21，所以a1＝1.‎ 所以an＝4n－1.‎ 答案：4n－1‎ ‎7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．‎ 解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1.‎ 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－n－2.‎ 答案：2n＋1－n－2‎ ‎8．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝________．‎ 解析：设数列{an}的公比为q，则由已知，得q3＝－2.‎ 又a1＋a2＋a3＝(1－q3)＝1，‎ 所以＝，所以S15＝(1－q15)＝[1－(q3)5]＝×[1－(－2)5]＝11.‎ 答案：11‎ ‎9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ 5‎ ‎(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．‎ 解：(1)设{an}的公比为q.由题设可得 解得q＝－2，a1＝－2.‎ 故{an}的通项公式为an＝(－2)n.‎ ‎(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.‎ 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n·＝2[－＋(－1)n]＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．‎ ‎10．数列{an}是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{bn}的前三项分别是a1，a2，a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若b1＋b2＋…＋bk＝85，求正整数k的值．‎ 解：(1)设数列{an}的公差为d，‎ 因为a1，a2，a6成等比数列，‎ 所以a＝a1·a6，‎ 所以(1＋d)2＝1×(1＋5d)，‎ 所以d2＝3d，‎ 因为d≠0，‎ 所以d＝3，‎ 所以an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.‎ ‎(2)数列{bn}的首项为1，公比为q＝＝4，‎ 故b1＋b2＋…＋bk＝＝.‎ 令＝85，即4k＝256，‎ 解得k＝4.‎ 故正整数k的值为4.‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　)‎ A．13项　　　　　　　　 B．12项 C．11项 D．10项 解析：选B.设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn 5‎ ‎－1.所以前三项之积aq3＝2，后三项之积aq3n－6＝4.所以两式相乘，得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2，又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以a·q＝64，即(aqn－1)n＝642，即2n＝642，所以n＝12.‎ ‎12．已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和S奇为85，所有偶数项之和S偶为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为________．‎ 解析：设公比为q，‎ 由得 所以S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)‎ ‎＝a1q2·＝585.‎ 答案：585‎ ‎13．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a2＋a4＋…＋a2n.‎ 解：由条件知S1＝a1＝1.‎ ‎(1)①当c＝1时，an＝⇒an＝ ‎②当c≠1时，an＝ ‎(2)①当c＝1时，a2＋a4＋…＋a2n＝0；‎ ‎②当c≠1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列，所以a2＋a4＋…＋a2n＝＝.‎ ‎14．(选做题)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.‎ ‎(1)求第n年初M的价值an的表达式；‎ ‎(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．‎ 解：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．‎ 5‎ an＝120－10(n－1)＝130－10n；‎ 当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×；‎ 因此，第n年初，M的价值an的表达式为 an＝ ‎(2)证明：设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，‎ An＝120－5(n－1)＝125－5n；‎ 当n≥7时，Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)‎ ‎＝570＋70××4× ‎＝780－210×，‎ An＝，‎ 因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又 A8＝＝82>80，‎ A9＝＝76<80，‎ 所以须在第9年初对M更新．‎ 5‎