高中数学人教a必修5学业分层测评14等比数列的前n项和word版含解析 6页

学业分层测评（十四） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．设{an}是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和，若{Sn}是等差数列， 则 q 等于( ) A．1 B．0 C．1 或 0 D．－1 【解析】 因为 Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以 an 为定值，即数列{an} 为常数列，所以 q＝ an an－1 ＝1. 【答案】 A 2．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S3＝a2＋10a1，a5＝9，则 a1＝( ) A.1 3 B．－1 3 C.1 9 D．－1 9 【解析】 设公比为 q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9， ∴ a1＋a2＋a3＝a2＋10a1， a1q4＝9， ∴ a1q2＝9a1， a1q4＝9， 解得 a1＝1 9 ，故选 C. 【答案】 C 3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的 2 倍，一共点 381 盏灯，则底层所点灯的盏数是( ) A．190 B．191 C．192 D．193 【解析】 设最下面一层灯的盏数为 a1，则公比 q＝1 2 ，n＝7，由a1 1－ 1 2 7 1－1 2 ＝381， 解得 a1＝192. 【答案】 C 4．设数列 1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前 n 项和为 Sn，则 Sn 的值为( ) A．2n B．2n－n C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2 【解析】 法一 特殊值法，由原数列知 S1＝1，S2＝4，在选项中，满足 S1＝1，S2＝4 的只有答案 D. 法二 看通项，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1. ∴Sn＝22n－1 2－1 －n＝2n＋1－n－2. 【答案】 D 5．已知数列{an}为等比数列，Sn 是它的前 n 项和，若 a2·a3＝2a1，且 a4 与 2a7 的等差中项为5 4 ，则 S5＝( ) A．35 B．33 C．31 D．29 【解析】 设数列{an}的公比为 q， ∵a2·a3＝a21·q3＝a1·a4＝2a1， ∴a4＝2. 又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3 ＝2×5 4 ， ∴q＝1 2. ∴a1＝a4 q3 ＝16，S5＝a11－q5 1－q ＝31. 【答案】 C 二、填空题 6．在等比数列{an}中，若公比 q＝4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通 项公式 an＝________. 【解析】 ∵在等比数列{an}中，前 3 项之和等于 21， ∴a11－43 1－4 ＝21， ∴a1＝1，∴an＝4n－1. 【答案】 4n－1 7．设数列{an}是首项为 1，公比为－2 的等比数列，则 a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝ ________. 【解析】 法一 a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3| ＝15. 法二 因为 a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为 1， 公比为 2 的等比数列，故所求代数式的值为1－24 1－2 ＝15. 【答案】 15 8．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sn＝126，则 n＝________. 【解析】 ∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 又∵Sn＝126，∴21－2n 1－2 ＝126，∴n＝6. 【答案】 6 三、解答题 9．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2 成等差数列. 【导学号： 05920072】 (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn. 【解】 (1)依题意有 a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于 a1≠0，故 2q2＋q＝0. 又 q≠0，从而 q＝－1 2. (2)由已知可得 a1－a1 －1 2 2＝3， 故 a1＝4. 从而 Sn＝ 4 1－ －1 2 n 1－ －1 2 ＝8 3 1－ －1 2 n . 10．(2015·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足 a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)， b1＋1 2b2＋1 3b3＋…＋1 nbn＝bn＋1－1(n∈N*)． (1)求 an 与 bn； (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 【解】 (1)由 a1＝2，an＋1＝2an，得 an＝2n(n∈N*)． 由题意知： 当 n＝1 时，b1＝b2－1，故 b2＝2. 当 n≥2 时，1 nbn＝bn＋1－bn. 整理得 bn＋1 n＋1 ＝bn n ， 所以 bn＝n(n∈N*)． (2)由(1)知 anbn＝n·2n， 因此 Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1， 所以 Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1. 故 Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)． [能力提升] 1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则 a21＋a22＋…＋a 2n等 于( ) A．(2n－1)2 B.1 3(2n－1)2 C．4n－1 D.1 3(4n－1) 【解析】 a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即 Sn＝2n－1，则 Sn－1＝2n－1－1(n≥2)， 则 an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又 a1＝1 也符合上式，所以 an＝2n－1，a2n＝4n－1，所 以 a21＋a22＋…＋a2n＝1 3(4n－1)． 【答案】 D 2．如图 251，作边长为 3 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角 形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前 n 个内切圆的面积和为( ) 图 251 A.πa2 3 1－ 1 4n B. 1－ 1 4n π C．2 1－ 1 4n π D．3 1－ 1 4n π 【解析】 根据条件，第一个内切圆的半径为 3 6 ×3＝ 3 2 ，面积为3 4π，第二 个内切圆的半径为 3 4 ，面积为 3 16π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列， 首项为3 4π，公比为1 4 ，故面积之和为 3 4π 1－ 1 4n 1－1 4 ＝ 1－ 1 4n π. 【答案】 B 3．某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的 棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(n∈N*)等于________． 【解析】 每天植树棵数构成等比数列{an}， 其中 a1＝2，q＝2，则 Sn＝a11－qn 1－q ＝2(2n－1)≥100，即 2n＋1≥102，∴n≥6， ∴最少天数 n＝6. 【答案】 6 4．(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列{bn} 的公比为 q.已知 b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)当 d＞1 时，记 cn＝an bn ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【解】 (1)由题意有 10a1＋45d＝100， a1d＝2， 即 2a1＋9d＝20， a1d＝2， 解得 a1＝1， d＝2 或 a1＝9， d＝2 9. 故 an＝2n－1， bn＝2n－1 或 an＝1 9 2n＋79， bn＝9· 2 9 n－1. (2)由 d＞1，知 an＝2n－1，bn＝2n－1，故 cn＝2n－1 2n－1 ， 于是 Tn＝1＋3 2 ＋ 5 22 ＋7 23 ＋9 24 ＋…＋2n－1 2n－1 ，① 1 2Tn＝1 2 ＋ 3 22 ＋5 23 ＋7 24 ＋…＋2n－3 2n－1 ＋2n－1 2n .② ①－②可得 1 2Tn＝2＋1 2 ＋ 1 22 ＋…＋ 1 2n－2 －2n－1 2n ＝3－2n＋3 2n ， 故 Tn＝6－2n＋3 2n－1 .