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- 2021-06-12 发布
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1.5.2
全称量词命题和存在量词命题的否定
必备知识
·
自主学习
1.
全称量词命题的否定
全称量词命题
p
﹁
p
结论
∀x∈M
,
p(x)
_________________
全称量词命题的
否定是存在量词命题
∃x∈M
,
﹁
p(x)
2.
存在量词命题的否定
存在量词命题
p
﹁
p
结论
∃x∈M
,
p(x)
________________
存在量词命题的
否定是全称量词命题
∀x∈M
,
﹁
p(x)
【
思考
】
对省略量词的全称量词命题或存在量词命题怎样否定?
提示:
对于省略了量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定时,可先根据题意补上适当的量词,再对命题进行否定
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”,错的打“
×”)
(1)
用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的
. (
)
(2)∃x∈M
,
p(x)
与∀
x∈M
,
﹁
p(x)
的真假性相反
. (
)
(3)
对全称量词命题或存在量词命题进行否定时,量词不需要变,只否定结论即可
. (
)
提示:
(1)×.
不唯一,如
“
所有的菱形都是平行四边形
”
,它的否定是
“
存在一个菱形不是平行四边形
”
,也可以是
“
有些菱形不是平行四边形
”
.
(2)√.
任意一个命题与其否定只能是一真一假
.
(3)×.
对全称量词命题或存在量词命题进行否定时,先对量词进行变化,全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论
.
2.
命题“∀
x∈N
,
x
2
>1”
的否定为
(
)
A.∀x∈N
,
x
2
≤1 B.∃x∈N
,
x
2
≤1
C.∀x∈N
,
x
2
<1 D.∃x∈N
,
x
2
<1
【
解析
】
选
B.
因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以,命题
“
∀
x∈N
,
x
2
>1
”
的否定为
“
∃
x∈N
,
x
2
≤1
”
.
3.(
教材二次开发:例题改编
)
命题“∃
x∈R
,
x
2
+2x+3=0”
的否定是
_______.
【
解析
】
因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题
“
∃
x∈R
,
x
2
+2x+3=0
”
的否定是
“
∀
x∈R
,
x
2
+2x+3≠0
”
.
答案:
∀
x∈R
,
x
2
+2x+3≠0
关键能力
·
合作学习
类型一 全称量词命题的否定
(
逻辑推理
)
【
题组训练
】
1.(2020·
辽阳高一检测
)
命题“∀
x∈Z
,
x∈R”
的否定是
(
)
A.∀x∈Z
,
x∉R B.∃x∈Z
,
x∈R
C.∀x∉Z
,
x∉R D.∃x∈Z
,
x∉R
2.(2020·
北京高一检测
)
命题“∀
x∈A
,
|x|+1≥1”
的否定是
_______.
3.
写出下列全称量词命题的否定,并判断真假:
(1)∀x∈R
,
1- ≤1.
(2)
所有的正方形都是矩形
.
(3)
对任意
x∈Z
,
x
2
的个位数字不等于
3.
(4)
正数的绝对值是它本身
.
【
解析
】
1.
选
D.
全称量词命题的否定是存在量词命题,所以
“
∀
x∈Z
,
x∈R
”
的否定是∃
x∈Z
,
x∉R.
2.
命题
“
∀
x∈A
,
|x|+1≥1
”
是全称量词命题,它的否定是
“
∃
x∈A
,
|x|+1<1
”
.
答案:
∃
x∈A
,
|x|+1<1
3.(1)
该命题的否定:∃
x∈R
,
1- >1
,
因为∀
x∈R
, ≥
0
,所以
- ≤0
,
1- ≤1
恒成立,所以这是一个假命题
.
(2)
该命题的否定:至少存在一个正方形不是矩形,假命题
.
(3)
该命题的否定:至少存在一个
x∈Z
,
x
2
的个位数等于
3
,因为
0
2
=0
,
1
2
=1
,
2
2
=4
,
3
2
=9
,
4
2
=16
,
5
2
=25
,
6
2
=36
,
7
2
=49
,
8
2
=64
,
9
2
=81
,
…
,所以这是一个假命题
.
(4)
该命题省略了量词
“
所有的
”
,该命题是全称量词命题,它的否定:有的正数的绝对值不是它本身
.
这是一个假命题
.
【
解题策略
】
1.
对全称量词命题否定的两个步骤
(1)
改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词
.
(2)
否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等
.
2.
全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可
.
【
拓展延伸
】
常见的词语的否定:
原词
否定词
原词
否定词
等于
不等于
至多一个
至少两个
大于
不大于
至少一个
一个也没有
小于
不小于
任意
某个
是
不是
所有的
某些
都是
不都是
【
拓展训练
】
已知全集
U=R
,
A⊆U
,
B⊆U
,如果命题
p
: ∈
(A∪B)
,则命题
﹁
p
是
__________________.
【
解析
】
因为
p
: ∈
(A∪B)
,
所以
﹁p
: ∉
A
且 ∉
B
,
即
﹁p
: ∈
(∁
U
A)∩(∁
U
B).
答案:
∈
(∁
U
A)∩(∁
U
B)
【
补偿训练
】
1.
设
x∈Z
,集合
A
是奇数集,集合
B
是偶数集
.
已知命题∀
x∈A
,
2x∈B
,则该命题的否定是
(
)
A.∃x∈A
,
2x∈B B.∃x∉A
,
2x∈B
C.∃x∈A
,
2x∉B D.∃x∉A
,
2x∉B
【
解析
】
选
C.
“
∀x∈A
,
2x∈B
”
是全称量词命题,它的否定是
“
∃
x∈A
,
2x∉B
”
.
2.
写出下列全称量词命题的否定:
(1)
对所有正数
x
,
>x+1.
(2)∀x∈R
,
x
3
+1≠0.
(3)
所有被
5
整除的整数都是奇数
.
(4)
每一个四边形的四个顶点共圆
.
【
解析
】
(1)
该命题的否定:存在正数
x
, ≤
x+1.
(2)
该命题的否定:∃
x∈R
,
x
3
+1=0.
(3)
该命题的否定:存在一个被
5
整除的整数不是奇数
.
(4)
该命题的否定:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆
.
类型二 存在量词命题的否定
(
逻辑推理
)
【
典例
】
1.
命题“∃
x∈
∁
R
Q
,
x
3
∈Q”
的否定是
(
)
A.∃x∈
∁
R
Q
,
x
3
∉Q B.∃x∉
∁
R
Q
,
x
3
∈Q
C.∀x∉
∁
R
Q
,
x
3
∉Q D.∀x∈
∁
R
Q
,
x
3
∉Q
2.
写出下列存在量词命题的否定,并判断真假:
(1)
有些分数不是有理数
.
(2)∃x
,
y∈Z
,
3x-4y=20.
(3)
在实数范围内,有些一元二次方程无解
.
(4)
有些梯形的对角线相等
.
【
思路导引
】
1.
存在量词改为全称量词,属于改为不属于
.
2.
先把存在量词改为全称量词,再否定结论
.
【
解析
】
1.
选
D.
因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题
“
∃
x∈
∁
R
Q
,
x
3
∈Q
”
的否定是
“
∀
x∈
∁
R
Q
,
x
3
∉Q
”
.
2.(1)
该命题的否定:任意分数都是有理数,这是一个真命题
.
(2)
该命题的否定:∀
x
,
y∈Z
,
3x-4y≠20
,当
x=4
,
y=-2
时,
3x-4y=20.
因此这是一个假命题
.
(3)
该命题的否定:在实数范围内,所有的一元二次方程都有解,这是一个
假命题
.
(4)
该命题的否定:所有梯形的对角线不相等,如等腰梯形对角线相等,
因此这是一个假命题
.
【
解题策略
】
1.
对存在量词命题否定的两个步骤
(1)
改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词
.
(2)
否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等
.
2.
存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可
.
【
题组训练
】
1.
命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是
(
)
A.∀x∈R
,
|x|>0 B.∃x∈R
,
|x|>0
C.∀x∈R
,
|x|≤0 D.∃x∈R
,
|x|≤0
【
解析
】
选
C.
“
有些实数的绝对值是正数
”
的否定是
“
∀
x∈R
,
|x|
≤0
”
.
2.
判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)
某些梯形的对角线互相平分
.
(2)∃x∈{x|x
是无理数
}
,
x
2
是无理数
.
(3)
在同圆中,存在两段相等的弧,它们所对的圆周角不相等
.
(4)
存在
k∈R
,函数
y=kx+b
随
x
值的增大而减小
.
【
解析
】
(1)
假命题
.
该命题的否定为:任意一个梯形的对角线都不互相平分
.
(2)
真命题
.
该命题的否定为:∀
x∈{x|x
是无理数
}
,
x
2
是有理数
.
(3)
假命题
.
该命题的否定为:在同圆中,任意两段相等的弧所对的圆周角相等
.
(4)
真命题
.
该命题的否定为:任意
k∈R
,函数
y=kx+b
不随
x
值的增大而减小
.
【
补偿训练
】
写出下列存在量词命题的否定,并判断真假
.
(1)
有一个奇数不能被
3
整除
.
(2)∃x∈Z
,
x
2
与
3
的和等于
0.
(3)
有些三角形的三个内角都为
60°.
(4)
存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线
.
【
解析
】
(1)
该命题的否定为:每一个奇数都能被
3
整除
.
假命题
.
(2)
该命题的否定为:∀
x∈Z
,
x
2
与
3
的和不等于
0.
真命题
.
(3)
该命题的否定为:任意一个三角形的三个内角不都为
60°.
假命题
.
(4)
该命题的否定为:与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
.
真命题
.
类型三 含有一个量词命题的否定的综合问题
(
逻辑推理
)
角度
1
含有一个量词命题的否定
【
典例
】
写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)
被
8
整除的数能被
4
整除;
(2)∀x∈Q
,
x
2
+ x+1
是有理数;
(3)∃x∈R
,
x
2
+2x+3≤0
;
(4)
至少有一个实数
x
,使
x
3
+1=0.
【
思路导引
】
一方面改量词,另一方面否定结论
.
【
解析
】
(1)
该命题的否定:存在一个数能被
8
整除,但不能被
4
整除,这是一个假命题
.
(2)
该命题的否定:∃
x∈Q
,
x
2
+ x+1
不是有理数,这是一个假命题
.
(3)
该命题的否定:∀
x∈R
,
x
2
+2x+3>0.
因为∀
x∈R
,
x
2
+2x+3=(x+1)
2
+2≥2>0
恒成立,所以这是一个真命题
.
(4)
该命题的否定:∀
x∈R
,
x
3
+1≠0.
因为当
x=-1
时,
x
3
+1=0
,所以这是一个假命题
.
【
变式探究
】
把本例
(1)
的命题改为“所有能被
3
整除的整数都是奇数”,结果又如何?
【
解析
】
该命题的否定:存在一个能被
3
整除整数不是奇数
.
因为
6
能被
3
整除且不是奇数
.
所以这是一个真命题
.
角度
2
知命题真假求参数的范围
【
典例
】
命题“存在
x>a
,使得
2x+a<3”
是假命题,求实数
a
的取值构成的集合
.
【
思路导引
】
根据已知命题的否定是真命题,列不等式求实数
a
的取值构成的集合
.
【
解析
】
命题
“
存在
x>a
,使得
2x+a<3
”
是假命题,
所以此命题的否定
“
任意
x>a
,使得
2x+a≥3
”
是真命题,因为对任意
x>a
有
2x+a>3a
,所以
3a≥3
,
解得
a≥1.
所以实数
a
的取值范围是
{
a|a≥1}.
【
解题策略
】
1.
含有一个量词命题的否定的步骤与方法
(1)
确定类型:是存在量词命题还是全称量词命题
.
(2)
改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词
.
注意无量词的全称命题要先补回量词再否定
.
(3)
否定结论:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等
.
2.
知命题真假求参数的范围的两个关注点
(1)
命题和它的否定的真假性只能一真一假,解决问题时可以相互转化
.
(2)
求参数范围问题,通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围
.
【
题组训练
】
1.
命题“∃
x>0
,
x+a-1=0”
是假命题,则实数
a
的取值范围是
(
)
A.{a|a
<
1} B.{a|a≤1}
C.{a|a
>
1} D.{a|a≥1}
【
解析
】
选
D.
命题
“
∃
x>0
,
x+a-1=0
”
是假命题,所以此命题的否定为
“
∀
x>0
,
x+a-1≠0
”
,即∀
x>0
,
x≠1-a.
所以
1-a≤0
,即
a≥1.
所以实数
a
的取值范围是
.
2.
写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)∃x∈{-2
,
-1
,
0
,
1
,
2}
,
|x-2|<2.
(2)
对所有的正实数
p
,
0
或
x-b≤0”
,其中
a
,
b
是常数
.
(1)
写出命题
p
的否定
.
(2)
当
a
,
b
满足什么条件时,命题
p
的否定为真?
【
解析
】
(1)
命题
p
的否定:对任意实数
x
,有
x-a≤0
且
x-b>0.
(2)
要使命题
p
的否定为真,
则需要使 的解集不为空集,
所以
a
,
b
应满足的条件是
b3”
的否定是
_______.
【
解析
】
全称量词命题的否定是存在量词命题,全称量词
“
任意
”
改为存在量词
“
存在
”
,并把结论否定
.
答案:
∃
x∈R
,使得
|x-2|+|x-4|≤3
4.(
教材二次开发:练习改编
)
命题“∃
x∈Q
,
x
2
=5”
的否定是
_______
,
该命题的否定是
_______
命题
.(
填“真”或“假”
)
【
解析
】
“
∃x∈Q
,
x
2
=5
”
的否定是
“
∀
x∈Q
,
x
2
≠5
”
.
因为由
x
2
=5
解得
x=± ∉Q
,所以该命题的否定是真命题
.
答案:
∀
x∈Q
,
x
2
≠5
真
5.
设集合
A={1
,
2
,
4
,
6
,
8
,
10
,
12}
,试写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p
:∀
n∈A
,
n<12.
(2)q
:∃
x∈{x|x
是奇数
}
,
x∈A.
【
解析
】
(1) ﹁p
:∃
n∈A
,
n≥12.
因为当
n=12
时,
﹁p
成立,所以
﹁p
是真命题
.
(2) ﹁q
:∀
x∈{x|x
是奇数
}
,
x∉A.
﹁q
是假命题
.
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