【数学】2019届一轮复习北师大版数列与不等式学案 21页

‎ 讲案【新课标版文 数学】‎ 考向一 等差数列与等比数列的计算问题 ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1．【等差数列的通项公式、求和公式】【2017课标1改编】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.‎ 秒杀解析 因为，即，则，即，解得.‎ ‎2. 【等比数列的通项公式】【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.‎ ‎【答案】‎ ‎3. 【等差的通项公式及求和公式、等比中项】【2017课标3改编】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎【命题预测☆看准方向】 ‎ 等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查; 对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解答题中的某一问出现,属于中档题;等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等式、函数、方程等知识相结合.‎ 预测2018年数列问题将保持一大一小的命题形式，且小题也可能将等差数列与等比数列综合考查.‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】【2017·全国卷Ⅱ改编】已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2，a3＋b3＝5，则{bn}的通项公式为 ________．‎ ‎【答案】bn＝2n－1‎ ‎【解析】设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 由a2＋b2＝2得d＋q＝3，①‎ 由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②‎ 联立①②，解得 (舍去)或 ‎ 因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1. 学 ‎ ‎【趁热打铁】【2017·江苏卷】等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】当q＝1时，S6＝2S3，不符合题意；‎ 当q≠1时，因为S3＝，S6＝，所以即1＋q3＝9，所以q＝2，代入可得a1＝，即a8＝a1q7＝32.‎ ‎【例2】【2018届江西省重点中学盟校高三第一次联考】已知等比数列中，，且，则＝(　　)‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【趁热打铁】【2018届湖北省潜江市城南中学高三期中】若正项等比数列满足， ，则公比_________， _________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设等比数列的首项为，公比为，由题意可得 解得 ，填(1). (2). ‎ ‎【方法总结☆全面提升】‎ ‎1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n项和公式构造关于a1与d、a1与q的方程(组)解决.在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识.‎ ‎2.解决等差数列{an}前n项和问题常用的三个公式是 Sn=;Sn=na1+d；Sn=An2+Bn(A,B为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷.‎ ‎3.等差数列和等比数列的中项、前n项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程.‎ ‎4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法.‎ ‎5.等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形.在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相关公式,同时两种数列可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等比数列取对数函数之后即为等差数列.‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】【2017北京改编】若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，求.‎ ‎【反思提高】等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现. ‎ ‎【误区警示】‎ 用数列性质解决数列问题，往往可以简化解题过程，但技巧性较强，同时还要注意性质成立的条件，如等差数列{an}中，a1＋an＝a2＋an－1，但a1＋an≠an＋1；等比数列的前n项和为Sn，则在公比不等于－1或m不为偶数时，Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…成等比数列．‎ 考向二 数列的通项与求和 ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1.【等比数列的求和】【2017·江苏卷】等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3‎ ‎＝，S6＝，则a8＝________.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】当q＝1时，S6＝2S3，不符合题意；‎ 当q≠1时，因为S3＝，S6＝，所以即1＋q3＝9，所以q＝2，代入可得a1＝，即a8＝a1q7＝32.‎ ‎2．【裂项相消法】【2017·全国卷Ⅲ改编】已知an＝，则数列的前n项和为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】记的前n项和为Sn，‎ ‎∵＝＝－，‎ ‎∴Sn＝－＋－＋…＋－＝. 学 …… ‎ ‎3. 【错位相减法】【2017山东卷改编】已知an＝2n，bn＝2n＋1，则数列的前n项和Tn＝________．‎ ‎【答案】5－　‎ ‎4 .【数列中的数学文化】【2017·全国卷Ⅱ改编】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题 “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是 ‎ 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设塔的顶层共有a1盏灯，根据题意得＝381，解得a1＝3.‎ ‎【命题预测☆看准方向】‎ 数列的通项与求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列的基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后进一步研究综合问题.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，考查的重点应该是围绕 常见求数列通项的方法、倒序求和法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等. 数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起,在考查基本运算、基本能力的基础上,又注意考查学生分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】【2018届衡水金卷高三大联考理】已知数列与的前项和分别为， ，且， ， ，若恒成立，则的最小值是( )‎ A. B. C. 49 D. ‎ ‎【答案】B ‎【趁热打铁】【2018届湖南省衡阳县高三12月联考】若曲线在轴的交点处的切线经过点，则数列的前项和__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【例2】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求证 数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析 （1）先依据题设条件将变形为，进而借助等差数列的定义证明数列是等差数列；（2）借助（1）的结论可求得,进而依据求 ‎【趁热打铁】【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知数列的前项和为， ， ．等 差数列中， ，且公差．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数，使得?．若存在，求出的最小值；若 不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）， ；（2）4．‎ ‎【例3】【2018届江西省南昌市第二中学高三上第五次月考】已知数列的前项和满足 .‎ ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且数列的前项和为，求证 .‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析。 学！ ‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎(1)结合通项公式与前n项和的关系可得数列是首项为，公比也为的等比数列，则. ‎ ‎(2)指数裂项求和放缩可得，据此裂项求和可得 ‎．据此即可证得题中的结论.‎ ‎【趁热打铁】定义在上的函数为增函数，对任意都有（为常数）‎ ‎（1）判断为何值时，为奇函数，并证明；‎ ‎（2）设，是上的增函数，且，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（3）若，，为的前项和，求正整数，使得对任意均有.‎ ‎【答案】（1） 是奇函数（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析 （1）根据定义在R上的奇函数的性质，有，求得 的值，再根据，赋值，即可得到与之间的关系，根据奇函数的定义，即可证得结论； （2）将代入恒等式可得，再利用恒等式进行赋值，将3转化为f（2），再根据f（x）的单调性去掉“f”，转化为对任意恒成立，采用换元法，再用变量分离出结果 学 ‎ ‎（2）因为，所以 所以对任意恒成立.‎ 又是上的增函数，所以对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立.令，则恒成立,,令,g(t)在（0,1+）递减，在递增，最小值为g(所以实数的取值范围是.‎ ‎(3)‎ 因为；‎ 当n≥5时， ‎ ‎,而>0得 所以，当n≥5时，＜0，所以对任意n∈N*恒有故 =4, ∵f(x)是增函数，所以 ‎【方法总结☆全面提升】‎ ‎1.常见求数列通项的方法有 迭加法、迭乘法、构造等差数列、等比数列法、取倒数法,利用数列前n项和Sn与通项an之间的关系Sn-Sn-1=an(n≥2)进行递推、构造新数列等.‎ ‎2.非等差数列、非等比数列求和的常用方法 ‎ ‎(1)倒序相加法,如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的.‎ ‎(2)错位相减法,如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法 求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列;所谓“错位”,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的和,此时一定要查清其项数.‎ ‎ (3)裂项相消法,把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+ -bn( ∈N*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件.‎ ‎ (4)分组求和法,一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.‎ ‎(5)并项求和法,一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】【2017·天津高考】已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－‎2a1，S11＝11b4.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．‎ ‎4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，---2分 上述两式相减，得[ 学* * *X*X* ]‎ ‎－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1‎ ‎＝－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8，---3分 得Tn＝×4n＋1＋.‎ 所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋.---2分 ‎【反思提升】1．牢记等差、等比数列的an及Sn公式．求等差、等比数列的基本量，首先考虑性质的运用，如果不能用性质，才考虑使用基本量法，在使用错位相减法求和时，一定要弄清楚参与运算的项数和没有参与运算的项数．‎ ‎2．注意利用第(1)问的结果 在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得an，bn.‎ ‎【误区警示】写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证．如本题第(1)问要充分体现等差(比)数列基本量的运算．第(2)问利用错位相减法求Tn，计算要求更高，往往很多学生计算出错导致失分．‎ 考向三 不等式 ‎【高考改编☆回顾基础】‎ ‎1．【集合的运算、函数的定义域值域、简单不等式的解法】【2017山东改编】设函数的定义域，函数的定义域为,则 .‎ ‎（A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）‎ ‎【答案】 [-2,1)‎ ‎【解析】由得，由得，故.‎ ‎2.【不等式的性质、基本不等式、对数函数的性质】【2017山东文理】若，且，则下列不等式成立的是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎3.【基本不等式】【2017天津文理】若， ，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎4.【基本不等式的应用】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.‎ ‎5.【简单线性规划】【2017课标1】设x，y满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 学！ ‎ 易求得，‎ 由得在轴上的截距越大，就越小 所以，当直线直线过点时，取得最小值 所以取得最小值为 ‎【命题预测☆看准方向】‎ 在近几年的高考试卷中对不等式的考查,主要热点是线性规划知识、基本不等式、解不等式及绝对值不等式.解不等式主要涉及一元二次不等式、简单的对数和指数不等式等,并且以一元二次不等式为主,重在考查等价转化能力和基本的解不等式的方法;基本不等式的考查重在对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验,常用 求最值或求恒成立问题中参数的取值范围.[ 学 ]‎ ‎【典例分析☆提升能力】‎ ‎【例1】【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初 联考】已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】， ，‎ 则 ，故选C．‎ ‎【趁热打铁】函数的定义域是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题设可得,应选答案B.‎ ‎【例2】【2017天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【趁热打铁】【2018届浙江省温州市高三9月测试（一模）】已知（， ），则的最大值为__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】，，当时等号成立，所以的最大值为，故答案为.‎ ‎【例3】【2017课标3，理13】若，满足约束条件，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【趁热打铁】若变量x,y满足,则目标函数 =x-y的最小值为( )‎ A. -3 B. -5 C. 2 D. -4‎ ‎【答案】A ‎【名师点睛】求线性目标函数 ＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时， 值最大，在y轴截距最小时， ‎ 值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时， 值最小，在y轴上截距最小时， 值最大.‎ ‎【方法总结☆全面提升】‎ ‎1.基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是 (1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为 积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为 和定，积有最大值)．要注意“一正、二定、三相等”三者缺一不可. 学 ‎ ‎2.求解不等式恒成立问题的常用思想方法 ‎ ‎(1)分离参数法 通过分离参数,转化为不含参数的函数最值问题求解.‎ 若函数f(x)有最大值,则f(x)≤m恒成立等价于m≥f(x)max;‎ 若函数f(x)有最小值,则f(x)≥m恒成立等价于m≤f(x)min.‎ ‎(2)函数思想 转化为求含参数的最值问题求解.‎ ‎(3)数形结合思想 转化为熟悉的函数并利用其图象关系求解.‎ ‎3.线性规划问题的常见题型有 ‎ ‎(1)求最值,常见形如截距式,斜率式,距离式.‎ ‎(2)求区域面积.‎ ‎(3)由最优解或可行域确定参数的值或取值范围.‎ ‎【规范示例☆避免陷阱】‎ ‎【典例】已知两正数x，y满足x＋y＝1，则 ＝(x＋)(y＋)的最小值为________．‎ ‎【反思提升】1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．‎ ‎2‎ ‎．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．‎ ‎【误区警示】忽视考察等号成立的条件是否具备而产生如下错解．‎ 错解一 因为对a>0，恒有a＋≥2，‎ 从而 ＝(x＋)(y＋)≥4，‎ 所以 的最小值是4.‎ 错解二 ＝ ‎＝(＋xy)－2≥2－2＝2(－1)，‎ 所以 的最小值是2(－1)．‎