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- 2021-06-12 发布
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第二讲 小题考法——不等式
考点(一)
不等式的恒成立问题及存在性问题
主要考查恒成立问题或存在性问题以及等价转化思想的应用.
[题组练透]
1．设实数a≥1，使得不等式x|x－a|＋≥a对任意的实数x∈[1,2]恒成立，则满足条件的实数a的范围是________．
解析：(1)当1≤a≤时，显然符合题意；
(2)当a≥2时，原不等式可化为x(a－x)≥a－，取x＝1，成立；当x∈(1,2]时，a≥＝x＋1－.而函数f(x)＝x＋1－在(1,2]上单调递增，故a≥f(2)＝；
(3)当y>0，且x＋y≤2，则＋的最小值为________．
解析：法一：因为4≥2x＋2y，所以
4≥[(x＋3y)＋(x－y)]
＝3＋＋
≥3＋2，
当且仅当x＝2－1，y＝3－2时取等号，
故＋的最小值为.
法二：因为x>y>0，x＋y≤2，所以00，若的最大值为2，则a的值为________．
解析：设z＝，则y＝x，当z＝2时，y＝－x，作出x，y满足的约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－x，易知此直线与区域的边界线2x－2y－1＝0的交点为，当直线x＝a过点时a＝，又此时直线y＝x的斜率＝－1＋的最小值为－，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为.
答案：
4．已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，则的取值范围为________．
解析：因为a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，
所以令＝x，＝y，
得则
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
令z＝＝3x＋8y，则y＝－x＋，由图知当直线y＝－x＋过点A时，截距最大，即z最大，当直线y＝－x＋与曲线y＝相切时，截距最小，即z最小．
解方程组得A(2,3)，
∴zmax＝3×2＋8×3＝30，
设直线y＝－x＋与曲线y＝的切点为(x0，y0)，
则′x＝x0＝－，
即＝－，解得x0＝3.
∴切点坐标为，
∴zmin＝3×3＋8×＝27，
∴27≤≤30.
答案：[27,30]
[方法技巧]
解决线性规划问题的3步骤
[必备知能·自主补缺]
(一) 主干知识要记牢
1．不等式的性质
(1)a＞b，b＞c⇒a＞c；
(2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
(3)a＞b⇒a＋c＞b＋c；
(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(6)a＞b＞0，n∈N，n＞1⇒an＞bn，＞.
2．简单分式不等式的解法
(1)＞0⇔f(x)g(x)＞0，＜0⇔f(x)g(x)＜0.
(2)≥0⇔≤0⇔
(3)对于形如＞a(≥a)的分式不等式要采取：“移项—通分—化乘积”的方法转化为(1)或(2)的形式求解．
(二) 二级结论要用好
1．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
2．基本不等式的重要结论
(1)≥(a＞0，b＞0)．
(2)ab≤2(a，b∈R)．
(3) ≥≥(a＞0，b＞0)．
3．线性规划中的两个重要结论
(1)点M(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)⇔Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)．
(2)点M(x1，y1)，N(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0同侧(或异侧)⇔(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)．
[课时达标训练]
A组——抓牢中档小题
1．当x＞0时，f(x)＝的最大值为________．
解析：因为x＞0，所以f(x)＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
答案：1
2．若00, b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．
解析：因为＝＋≥2 ，所以ab≥2，当且仅当＝＝时取等号．
答案：2
7．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：因为x∈(a，＋∞)，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝4＋2a，当且仅当x－a＝1时等号成立．
由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.
答案：
8．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋x＋≥≥4，故m2－3m>4，化简得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
9．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝x2＋mx－1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，只需
即
解得所以－0，
所以tan α＝＝＝＝＝≤＝，
当且仅当2tan β＝，即tan β＝时，等号成立．
答案：
12．(2018·山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值为5，则a＝________.
解析：设z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由z＝3(x－a)＋2(y＋1)，
得y＝－x＋，作出直线y＝－x，平移该直线，易知当直线过点A时，z取得最大值，
由得即A(1,3)．
又目标函数的最大值为5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2.
答案：2
13．设实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是________．
解析：法一：因为－y2＝1，
所以3x2－2xy＝＝，
令k＝∈，
则3x2－2xy＝＝，
再令t＝3－2k∈(2,4)，则k＝，
故3x2－2xy＝＝≥＝6＋4，当且仅当t＝2时等号成立．
法二：因为－y2＝1＝，所以令＋y＝t，则－y＝，从而则3x2－2xy＝6＋2t2＋≥6＋4，当且仅当t2＝时等号成立．
答案：6＋4
14．已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是________．
解析：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示．
当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是.
答案：
B组——力争难度小题
1．已知函数f(x)＝ax2＋x，若当x∈[0,1]时，－1≤f(x)≤1恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：当x＝0时，f(x)＝0，不等式成立；
当x∈(0,1]时，不等式－1≤f(x)≤1，即
其中∈[1，＋∞)，
从而
解得－2≤a≤0.
答案：[－2,0]
2．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________．
解析：由a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得c＝＋，代入得a＋b＋c＝a＋b＋＋＝＋≥2 ＋2 ＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以a＋b＋c的最小值为8.
答案：8
3．(2018·洛阳尖子生统考)已知x，y满足约束条件则的取值范围是________．
解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，＝1＋2×，表示可行域中的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x＝0，y＝3时，取得最大值，且max＝9.因为点P(－1，－1)在直线y＝x上，所以当点(x，y)在线段AO上时，取得最小值，且min＝3.所以的取值范围是[3,9]．
答案：[3,9]
4．已知函数f(x)＝若存在唯一的整数x，使得＞0成立，则实数a
的取值范围为________．
解析：作出函数f(x)的图象如图所示，
易知，点A(1,3)，B(－1,2)，C(2,0)，D(－2,8)．
当a<0时，则点M(0，a)与点C，点A连线的斜率都大于0，故不符合题意；
当0≤a≤2时，则仅有点M(0，a)与点A连线的斜率大于0，故符合题意；
当28时，则点M(0，a)与点B，点D连线的斜率都大于0，故不符合题意．
综上，实数a的取值范围为[0,2]∪[3,8]．
答案：[0,2]∪[3,8]
5．(2018·镇江期末)已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为________．
解析：法一：(ab作为一个变元)ab≤2＝4，
＋＝
＝＝.
设t＝9－ab≥5，
则＝≤＝，
当且仅当t2＝80时等号成立，
所以＋的最大值为.
法二：(均值换元)因为a＋b＝4，
所以令a＝2＋t，b＝2－t，
则f(t)＝＋＝＋
＝，
令u＝t2＋5≥5，
则g(u)＝＝≤＝，当且仅当u＝4时等号成立．所以＋的最大值为.
答案：
6．已知对任意的x∈R,3a(sin x＋cos x)＋2bsin 2x≤3(a，b∈R)恒成立，则当a＋b取得最小值时，a的值是________．
解析：由题意可令sin x＋cos x＝－，两边平方得1＋2sin xcos x＝，即sin 2x＝－，代入3a(sin x＋cos x)＋2bsin 2x≤3，解得－a－b≤3，可得a＋b≥－2，当a＋b＝－2时，令t＝sin x＋cos x＝sin∈[－， ]，则sin 2x＝t2－1.
所以3at＋2(－a－2)(t2－1)≤3对t∈[－，]恒成立，
即2(a＋2)t2－3at－2a－1≥0对t∈[－，]恒成立．
记f(t)＝2(a＋2)t2－3at－2a－1，t∈[－，]．
因为f＝0是f(t)的最小值，所以只能把f(t)看成以t为自变量的一元二次函数，
所以解得a＝－.
答案：－
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