【数学】2019届理科一轮复习北师大版第8章第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程教案 8页

第章　平面解析几何 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．‎ ‎(对应学生用书第130页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.‎ ‎(2)倾斜角的范围是[0，π)．‎ ‎2．直线的斜率 ‎(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．‎ ‎(2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0‎ 平面内所有直线都适用 ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)‎ ‎(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)‎ ‎(4)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)‎ ‎(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2．直线x－y＋a＝0的倾斜角为(　　)‎ A．30°　　　　　　 B．60°‎ C．150° D．120°‎ B　[设直线的倾斜角为α，则tan α＝，‎ ‎∵α∈[0，π)，∴α＝.]‎ ‎3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)‎ A．1 B．4‎ C．1或3 D．1或4‎ A　[由题意知＝1(m≠－2)，解得m＝1.]‎ ‎4．(教材改编)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.‎ ‎1或－2　[令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋.‎ 依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.]‎ ‎5．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．‎ ‎4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0　[若直线过原点，则k＝－，所以y＝－x，即4x＋3y＝0.‎ 若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a，则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线方程为x＋y＋1＝0.]‎ ‎(对应学生用书第130页)‎ 直线的倾斜角与斜率 ‎　(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)‎ A．[0，π)　　 B.∪ C． D.∪ ‎(2)若直线l过点P(－3,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．‎ ‎(1)B　(2)　[(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π.‎ ‎(2)因为P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，‎ 则kPA＝＝－5，‎ kPB＝＝－.‎ 如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.]‎ ‎[规律方法]　1.倾斜角α与斜率k的关系 (1)当α∈时，k∈[0，＋∞).‎ (2)当α＝时，斜率k不存在.‎ (3)当α∈时，k∈(－∞，0).‎ ‎2.斜率的两种求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率.‎ (2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率.‎ ‎3.倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tan α的单调性.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·九江一中)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝(　　)‎ A．1±或0 B.或0‎ C． D.或0‎ ‎(2)直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．‎ ‎(1)A　(2)　[(1)∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，‎ 即＝，即a(a2－2a－1)＝0，‎ 解得a＝0或a＝1±.故选A．‎ ‎(2)直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1.‎ 又y＝tan α在上是增函数，因此≤α＜.]‎ 求直线方程 ‎　根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.‎ ‎【导学号：79140262】‎ ‎[解]　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α＜π)，‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4)．‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3,4)，‎ 从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.‎ 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.‎ ‎[规律方法]　求直线方程应注意以下三点 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.‎ (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).‎ (3)截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.‎ ‎[跟踪训练]　求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；‎ ‎(2)过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．‎ ‎[解]　(1)当直线过原点时，方程为y＝x，即3x－2y＝0.‎ 当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1.‎ 将P(2,3)代入方程，得a＝－1，‎ 所以直线l的方程为x－y＋1＝0.‎ 综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.‎ ‎(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，‎ 则所求直线的倾斜角为2α.‎ 因为tan α＝3，‎ 所以tan 2α＝＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.‎ 直线方程的综合应用 ‎　过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；‎ ‎(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．‎ ‎[解]　设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，‎ 因为直线l经过点P(4,1)，‎ 所以＋＝1.‎ ‎(1)＋＝1≥2＝，‎ 所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，‎ 所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，‎ 此时直线l的方程为＋＝1，‎ 即x＋4y－8＝0.‎ ‎(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，‎ 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，‎ 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.‎ ‎[规律方法]　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.‎ (2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.‎ (3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.‎ ‎[跟踪训练]　已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a为何值时，四边形的面积最小？ ‎ ‎【导学号：79140263】‎ ‎[解]　由得x＝y＝2，‎ ‎∴直线l1与l2交于点A(2,2)(如图)．‎ 易知|OB|＝a2＋2，|OC|＝2－a，‎ 则S四边形OBAC＝S△AOB＋S△AOC＝×2(a2＋2)＋×2(2－a)＝a2－a＋4＝2＋，a∈(0,2)，‎ ‎∴当a＝时，四边形OBAC的面积最小．‎