高三数学总复习学案33 8页

第七章　不等式、推理与证明 学案33　不等式的概念与性质 导学目标： 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题．‎ 自主梳理 ‎1．不等关系 不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在．不等关系可分为常量与________间的不等关系(如3>0)，变量与________间的不等关系(如x>5)，函数与________之间的不等关系(如x2＋1≥2x)等．‎ ‎2．不等式 用________(如“<”“>”“≤”“≥”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用“<”或“>”连接的不等式叫做严格不等式；用“≤”“≥”连接的不等式叫做非严格不等式．不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、矛盾不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)．‎ ‎3．两个实数大小的比较 ‎(1)作差法：设a，b∈R，则a>b⇔a－b>0，a0，b>0，则a>b⇔__________，‎ ab⇔________；‎ ‎(2)传递性：a>b，b>c⇒________；‎ ‎(3)加法性质：a>b⇔________；‎ 推论：a>b，c>d⇒________；‎ ‎(4)乘法性质：a>b，c>0⇒________；‎ 推论：a>b>0，c>d>0⇒________；‎ ‎(5)乘方性质：a>b>0⇒________________________；‎ ‎(6)开方性质：a>b>0⇒________________________；‎ ‎(7)倒数性质：a>b，ab>0⇒________________.‎ 自我检测 ‎1．(2011·大纲全国)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(　　)‎ A．a>b＋1 B．a>b－1‎ C．a2>b2 D．a3>b3‎ ‎2．若a，b是任意实数，且a>b，则(　　)‎ A．a2>b2 B.<1‎ C．lg(a－b)>0 D.a0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是(　　)‎ A．＋≥2‎ B．ln(ab＋1)>0‎ C．a2＋b2＋2≥‎2a＋2b D．a3＋b3≥2ab2‎ ‎4．(2011·上海)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)‎ A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2‎ ‎5．(2010·安徽)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．‎ ‎①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.‎ 探究点一　数与式的大小比较 例1　(1)设x2时，比较cn与an＋bn的大小．‎ 变式迁移1　已知a>2，b>2，试比较a＋b与ab的大小．‎ 探究点二　不等式性质的简单应用 例2　下面的推理过程 ⇒ac>bd⇒>，其中错误之处的个数是(　　)‎ A．0　　　　B．‎1　‎　　　C．2　　　　D．3‎ 变式迁移2　(2011·许昌月考)若a B.> C．|a|>|b| D．a2>b2‎ 探究点三　求字母或代数式范围问题 例3　(1)已知12ac B．c(b－a)<0‎ C．cb20‎ ‎2．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)‎ A．> B．a＋>b＋ C．a＋>b＋ D.> ‎3．(2011·金华模拟)已知a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．lg a>lg b B．a2>b2‎ C.< D．‎2a>2b ‎4．(2011·舟山七校联考)若a和>均不能成立 B.>和>均不能成立 C．不等式>和2>2均不能成立 D．不等式>和2<2均不能成立 ‎5．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．若x>y>1，且0logay；③x－a>y－a；④logxa0>b，cb＋d2；③b－c>d－c.其中正确命题的序号是________．‎ ‎8．已知－≤α<β≤，则的取值范围是________；的取值范围是______________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2011·阳江月考)已知a＋b>0，试比较＋与＋.‎ ‎10．(12分)比较aabb与abba(a，b为不相等的正数)的大小．‎ ‎11．(14分)已知a>0，a2－2ab＋c2＝0，bc>a2.试比较a，b，c的大小．‎ 学案33　不等式的概念与性质 自主梳理 ‎1．常量　常量　函数　2.不等号　3.(2)>1　4.(1)bc　(3)a＋c>b＋c　a＋c>b＋d　(4)ac>bc　ac>bd　(5)an>bn (n∈N且n≥2)　(6)> (n∈N且n≥2)‎ ‎(7)< 自我检测 ‎1．A　2.D　3.D　4.D ‎5．①③⑤‎ 课堂活动区 例1　解题导引　比较大小有两种基本方法：‎ ‎(1)作差法步骤：作差——变形——判断差的符号．作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小．(2)两种方法的关键是变形．常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的．‎ 解　(1)方法一　(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，‎ ‎∵x0，x－y<0.‎ ‎∴－2xy(x－y)>0.‎ ‎∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．‎ 方法二　∵xy2，x＋y<0.‎ ‎∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0.‎ ‎∴0<＝<1.‎ ‎∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．‎ ‎(2)∵a，b，c∈{正实数}，∴an，bn，cn>0.‎ 而＝n＋n.‎ ‎∵a2＋b2＝c2，则2＋2＝1，‎ ‎∴0<<1,0<<1.‎ ‎∵n∈N，n>2，‎ ‎∴n<2，n<2.‎ ‎∴＝n＋n<＝1.‎ ‎∴an＋bn2，b>2，∴a－1>1，b－1>1.‎ ‎∴(a－1)(b－1)－1>0.‎ ‎∴ab－(a＋b)>0.‎ ‎∴ab>a＋b.‎ 方法二　(作商法)∵＝＋，‎ 且a>2，b>2，∴<，<.‎ ‎∴＋<＋＝1.‎ ‎∴<1.又∵ab>4>0，∴a＋bb⇒ac>bc，c>d⇒bc>bd都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出ac>bd是正确的，由ac>bd⇒>是对不等式ac>bd两边同除cd，由于不知cd的正、负，故这一步也是错误的．]‎ 变式迁移2　B　[∵a0.‎ 取倒数，则有>，选项A正确．‎ ‎∵a|b|和a2>b2两个不等式均成立，选项C、D正确．‎ 对于B，－＝，‎ 又∵a0，c<0，但b的符号不确定，b可能为0，故C错误．‎ 由b>c⇒ab>ac，b可能为0，故A正确．‎ ⇒c(b－a)>0，故B错误．‎ ⇒ac(a－c)<0，故D错误．]‎ ‎2．C　[∵a>b>0，∴ab>0，∴>.‎ ‎∴a＋>b＋.故选C.]‎ ‎3．D　[只有指数函数y＝2x在R上为增函数，所以D正确．而A、C显然不是对于一切实数都成立的，B的等价条件是|a|>|b|，显然也错误．]‎ ‎4．D　[∵a有可能成立；又∵a|b|>0，则有<，即>不成立．]‎ ‎5．D　[①由ab>0，bc－ad>0，即bc>ad，‎ 得>，即－>0；‎ ‎②由ab>0，－>0，即>，‎ 得bc>ad，即bc－ad>0；‎ ‎③由bc－ad>0，－>0，‎ 即>0，得ab>0；‎ 故可组成3个正确的命题．]‎ ‎6．3‎ 解析　∵x>y>1,0ya>0，∴x－a.‎ 即logxa>logya，∴④也不成立．‎ ‎7．①②‎ 解析　∵ad<0，bc>0，∴add2>0.‎ 由已知a>b，同向不等式相加得a＋c2>b＋d2，故②正确；‎ 对于结论③，d－c>0，b－c的正、负不确定，故③不正确．‎ ‎8.　 解析　∵－≤α<，－<β≤，‎ ‎∴－π<α＋β<π，∴－<<.‎ ‎∵－≤－β<，‎ ‎∴－π≤α－β<π，∴－≤<.‎ 又∵α－β<0，∴－≤<0.‎ ‎9．解　＋－＝＋ ‎＝(a－b)＝.(6分)‎ ‎∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0.‎ ‎∴＋≥＋.(12分)‎ ‎10．解　＝aa－bbb－a＝a－b，(4分)‎ 当a>b>0时，>1，a－b>0，‎ ‎∴a－b>1；(8分)‎ 当01.(11分)‎ 综上所述，当a，b为不相等的正数时，总有aabb>abba.‎ ‎(12分)‎ ‎11．解　∵bc>a2>0，∴b，c同号．(2分)‎ 又a2＋c2>0，a>0，∴b＝>0.‎ ‎∴c>0.(4分)‎ 由(a－c)2＝2ab－‎2ac＝‎2a(b－c)≥0，‎ ‎∴b－c≥0.(6分)‎ 当b－c>0，即b>c时，‎ 由⇒·c>a2⇒(a－c)(‎2a2＋ac＋c2)<0.‎ ‎∵a>0，b>0，c>0，∴‎2a2＋ac＋c2>0.‎ ‎∴a－c<0，即aa2，∴b2>a2，即b≠a.‎ 又∵a2－2ab＋c2＝(a－b)2＝0⇒a＝b与a≠b矛盾，‎ ‎∴b－c≠0.综上，可知a