高三数学总复习学案53 11页

学案53　抛物线 导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．‎ 自主梳理 ‎1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px ‎(p>0)‎ y2＝－2px ‎(p>0)‎ x2＝2py ‎(p>0)‎ x2＝－2py ‎(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)‎ 对称轴 y＝0‎ x＝0‎ 焦点 F(，0)‎ F(－，0)‎ F(0，)‎ F(0，－)‎ 离心率 e＝1‎ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，‎ y∈R x≤0，‎ y∈R y≥0，‎ x∈R y≤0，‎ x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 自我检测 ‎1．(2010·四川)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎ C．4 D．8‎ ‎2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)‎ A．－2 B．‎2 ‎ C．－4 D．4‎ ‎3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)‎ A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x ‎4．已知抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　)‎ A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|‎ B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2‎ C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|‎ D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|‎ ‎5．(2011·佛山模拟)已知抛物线方程为y2＝2px (p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么∠MFN必是(　　)‎ A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上皆有可能 探究点一　抛物线的定义及应用 例1　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．‎ 变式迁移1　已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　)‎ A. B. C．(1,2) D．(1，－2)‎ 探究点二　求抛物线的标准方程 例2　(2011·芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．‎ 变式迁移2　根据下列条件求抛物线的标准方程：‎ ‎(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；‎ ‎(2)过点P(2，－4)．‎ 探究点三　抛物线的几何性质 例3　过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．‎ ‎(1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2；‎ ‎(2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BC∥x轴．‎ 变式迁移3　已知AB是抛物线y2＝2px (p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：‎ ‎(1)x1x2＝；‎ ‎(2)＋为定值．‎ 分类讨论思想的应用 例　(12分)过抛物线y2＝2px (p>0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设O为坐标原点，问：是否存在实数λ，使＝λ？‎ 多角度审题　这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ.‎ ‎【答题模板】‎ 解　假设存在实数λ，使＝λ.‎ 抛物线方程为y2＝2px (p>0)，‎ 则F，准线l：x＝－，‎ ‎(1)当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，‎ 交点A、B坐标不妨设为：A，B.‎ ‎∵BD⊥l，∴D，‎ ‎∴＝，＝，∴存在λ＝1使＝λ.[4分]‎ ‎(2)当直线AB的斜率存在时，‎ 设直线AB的方程为y＝k (k≠0)，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D，x1＝，x2＝，‎ 由　得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝，[8分]‎ ＝(－x1，－y1)＝，＝＝，‎ 假设存在实数λ，使＝λ，则，解得λ＝，∴存在实数λ＝，使＝λ.‎ 综上所述，存在实数λ，使＝λ.[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ 由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出和的坐标，判断λ是否存在．‎ ‎【易错点剖析】‎ 解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．‎ ‎1．关于抛物线的定义 要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．‎ ‎2．关于抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：‎ ‎(1)p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．‎ ‎(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．‎ ‎3．关于抛物线的几何性质 抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：‎ 已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝(α为AB的倾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝等．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·大纲全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎2．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)‎ A．n＝0 B．n＝1‎ C．n＝2 D．n≥3‎ ‎3．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是(　　)‎ A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 ‎4．(2011·泉州月考)已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是(　　)‎ A. B．(－2,2)‎ C. D．(－2，－2)‎ ‎5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　　)‎ A．(2，±) B．(1，±2)‎ C．(1,2) D．(2，)‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2011·重庆)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．‎ ‎7．(2011·济宁期末)已知A、B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则|AB|＝________.‎ ‎8．(2010·浙江)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋1所得的弦长为，求抛物线方程．‎ ‎10．(12分)(2011·韶关模拟)已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.‎ ‎11．(14分)(2011·济南模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.‎ ‎(1)求动点C的轨迹方程；‎ ‎(2)过点F的直线l2交轨迹C于两点P、Q，交直线l1于点R，求·的最小值．‎ 学案53　抛物线 自主梳理 ‎1．相等　焦点　准线 自我检测 ‎1．C ‎2．B　[因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.]‎ ‎3．B　4.C　5.B 课堂活动区 例1　解题导引　重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．‎ 解　‎ 将x＝3代入抛物线方程 y2＝2x，得y＝±.‎ ‎∵>2，∴A在抛物线内部．‎ 设抛物线上点P到准线l：‎ x＝－的距离为d，由定义知 ‎|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，‎ 当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，‎ 即|PA|＋|PF|的最小值为，‎ 此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，‎ ‎∴点P坐标为(2,2)．‎ 变式迁移1　A　[‎ 点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P的坐标为.]‎ 例2　解题导引　(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；‎ ‎(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；‎ ‎(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．‎ 解　方法一　设抛物线方程为 x2＝－2py (p>0)，‎ 则焦点为F，准线方程为y＝.‎ ‎∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，‎ ‎∴　解得 ‎∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，‎ 准线方程为y＝2.‎ 方法二　如图所示，‎ 设抛物线方程为x2＝－2py (p>0)，‎ 则焦点F，‎ 准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N.‎ 则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，‎ ‎∴3＋＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，‎ 准线方程为y＝2.由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±2.‎ 变式迁移2　解　(1)双曲线方程化为－＝1，‎ 左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)且－＝－3，∴p＝6.∴方程为y2＝－12x.‎ ‎(2)由于P(2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2＝mx (m>0)或x2＝ny (n<0)，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，‎ ‎∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.‎ 例3　解题导引　解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB为焦点弦，以y2＝2px (p>0)为例)：‎ ‎①y1y2＝－p2，x1x2＝；‎ ‎②|AB|＝x1＋x2＋p.‎ 证明　(1)方法一　由抛物线的方程可得焦点坐标为F.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．‎ ‎①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为 y＝k，由 消去x，得ky2－2py－kp2＝0.(*)‎ 当k＝0时，方程(*)只有一解，∴k≠0，‎ 由韦达定理，得y1y2＝－p2；‎ ‎②当斜率不存在时，得两交点坐标为 ，，∴y1y2＝－p2.‎ 综合两种情况，总有y1y2＝－p2.‎ 方法二　由抛物线方程可得焦点F，设直线AB的方程为x＝ky＋，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则A、B坐标满足 消去x，可得y2＝2p，‎ 整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2.‎ ‎(2)直线AC的方程为y＝x，‎ ‎∴点C坐标为，yC＝－＝.‎ ‎∵点A(x1，y1)在抛物线上，∴y＝2px1.‎ 又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yC＝＝y2，∴BC∥x轴．‎ 变式迁移3　证明　(1)∵y2＝2px (p>0)的焦点F，设直线方程为y＝k (k≠0)，‎ 由，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.‎ ‎∴y1y2＝－p2，x1x2＝＝，‎ 当k不存在时，直线方程为x＝，这时x1x2＝.‎ 因此，x1x2＝恒成立．‎ ‎(2)＋＝＋ ‎＝.‎ 又∵x1x2＝，代入上式得＋＝＝常数，‎ 所以＋为定值．‎ 课后练习区 ‎1．D　[方法一　由得或 令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，‎ ‎∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝3.‎ ‎∴cos∠AFB＝＝ ‎＝－.‎ 方法二　由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)，‎ ‎∴＝(3,4)，＝(0，－2)，‎ ‎∴||＝＝5，||＝2.‎ ‎∴cos∠AFB＝＝＝－.]‎ ‎2．C　[‎ 如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为(，0)，设A(m，)(m>0)，则由抛物线定义，‎ ‎|AF|＝|AA1|，‎ 即m＋＝|AF|.‎ 又|AF|＝|AB|＝2，‎ ‎∴m＋＝2，整理，得m2－7pm＋＝0，①‎ ‎∴Δ＝(－7p)2－4×＝48p2>0，‎ ‎∴方程①有两相异实根，记为m1，m2，且m1＋m2＝7p>0，m1·m2＝>0，‎ ‎∴m1>0，m2>0，∴n＝2.]‎ ‎3．C ‎4．A　[过P作PK⊥l (l为抛物线的准线)于K，则|PF|＝|PK|，‎ ‎∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PK|.‎ ‎∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|＋|PK|最小，此时P点的纵坐标为1，把y＝1代入y2＝－4x，得x＝－，即当P点的坐标为时，|PA|＋|PF|最小．]‎ ‎5．B ‎6.－1‎ 解析　如图所示，若圆C的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a<3)，则圆的方程为(x－a)2＋y2＝(3－a)2，与抛物线方程y2＝2x联立得x2＋(2－‎2a)x＋‎6a－9＝0，由判别式Δ＝(2－‎2a)2－4(‎6a－9)＝0，得a＝4－，故此时半径为3－(4－)＝－1.‎ ‎7．4 解析　由题意可设AB的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立得x2－4kx－‎4m＝0，线段AB中点坐标为(2,2)，x1＋x2＝4k＝4，得k＝1.‎ 又∵y1＋y2＝k(x1＋x2)＋‎2m＝4，‎ ‎∴m＝0.从而直线AB：y＝x，|AB|＝2|OM|＝4.‎ ‎8. 解析　抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得1＝2p×，解得p＝，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为＋＝.‎ ‎9．解　设直线和抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px (p>0)，则，消去y得，‎ ‎4x2－(2p－4)x＋1＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝，(4分)‎ ‎∴|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝·＝，(7分)‎ 则 ＝，p2－4p－12＝0，解得p＝6(p＝－2舍去)，‎ 抛物线方程为y2＝12x.(9分)‎ ‎(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)，仿(1)不难求出p＝2，‎ 此时抛物线方程为y2＝－4x.(11分)‎ 综上可得，‎ 所求的抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.(12分)‎ ‎10．证明　因为直线AB与x轴不垂直，‎ 设直线AB的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由 可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.(4分)‎ 抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.(7分)‎ 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是 k1＝x1，k2＝x2，k1k2＝x1·x2‎ ‎＝x1·x2＝－1.(10分)‎ 所以AQ⊥BQ.(12分)‎ ‎11．解　(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，‎ 所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，‎ ‎∴所求轨迹的方程为x2＝4y.(5分)‎ ‎(2)由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y得x2－4kx－4＝0.‎ 记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.(8分)‎ 因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为.(9分)‎ ·＝· ‎＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4‎ ‎＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4‎ ‎＝4＋8，(11分)‎ ‎∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．‎ ·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16. (14分)‎