【数学】2019届一轮复习苏教版第4章三角函数解三角形第25讲学案 20页

第 25 讲　解三角形的综合应用 考试要求　1.运用正弦定理、余弦定理解决简单的三角形度量问题(B 级要求)； 2.运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(B 级要求). 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)在△ABC 中，若 sin Asin B＜cos Acos B，则此三角形是钝角三角形.(　　) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0， π 2 ].(　　) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关 系.(　　) 解析　(2)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2.(必修 5P10 练习 2 改编)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥 位桩 A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线 BC，测得 BC＝ 50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出 A，B 两点的距离为 ________m. 解 析 　 在 △ABC 中 ， 由 正 弦 定 理 得 BC sin 30°＝ AB sin 45°， 所 以 AB ＝ BCsin 45° sin 30° ＝ 50 × 2 2 1 2 ＝50 2(m). 答案　50 2 3.(必修 5P20 练习 3 改编)两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都是 5 n mile， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为________ n mile. 解析　由题意知 AC＝BC＝5，则∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，则由余 弦定理得 AB＝ AC2＋BC2－2AC·BCcos 120° ＝ 25＋25＋2 × 5 × 5 × 1 2 ＝ 75＝5 3. 答案　5 3 4.(2018·苏北四市联考)一艘海轮从 A 处出发以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察 灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B， C 两点间的距离是________海里. 解析　如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20 海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45 °，根据正弦定理得 BC sin 30°＝ AB sin 45°，解得 BC＝10 2(海里). 答案　10 2 5.(2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山 顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________ m. 解析　依题意，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，在△ABC 中，由∠ABC＋∠BAC ＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝45°，因为 AB＝600，由正弦定理可得 600 sin 45° ＝ BC sin 30°，即 BC＝300 2 m， 在 Rt△BCD 中，因为∠CBD＝30°，BC＝300 2，所以 tan 30°＝CD BC ＝ CD 300 2，所以 CD＝100 6 m. 答案　100 6 知 识 梳 理 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰 角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1). (2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的方 位角为 α(如图 2). (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30°，北偏 西 45°等. (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 考点一　测量距离、高度问题 【例 1】 如图，有一段河流，河的一侧是以 O 为圆心，半径为 10 3 m 的扇形 区域 OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸 l，岸边有一烟囱 AB(不计 B 离河岸的 距离)，且 OB 的连线恰好与河岸 l 垂直，设 OB 与圆弧的交点为 E.经测量，扇形 区域和河岸处于同一水平面，在点 C，点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为 45°，30°和 60°. (1)求烟囱 AB 的高度； (2)如果要在 CE 间修一条直线，求 CE 的长. 解　(1)设 AB 的高度为 h.在△CAB 中， 因为∠ACB＝45°， 所以 CB＝h. 在△OAB 中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°， 所以 OB＝ 3h，EB＝ 3 3 h. 由题意得 3h－ 3h 3 ＝10 3，解得 h＝15. 故烟囱 AB 的高度为 15 m. (2)在△OBC 中，cos∠COB＝CO2＋OB2－BC2 2OC·OB ＝300＋225 × 3－225 2 × 10 3 × 15 3 ＝5 6. 所以在△OCE 中， CE2＝OC2＋OE2－2OC·OE·cos∠COE＝300＋300－600× 5 6 ＝100. 故 CE 的长为 10 m. 规律方法　测量距离、高度问题应注意 (1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念. (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已 知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. (3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 【训练 1】 (1)一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15°，这时 船与灯塔的距离为________ km. (2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选 A，B 两点，从 A，B 两点分别测得 树尖的仰角为 30°，45°，且 A，B 两点间的距离为 60 m，则树的高度为________ m. 解析　(1)如图，由题意，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°， ∴B＝45°，AC＝60 km， 由正弦定理 BC sin 30°＝ AC sin 45°， ∴BC＝30 2 km. (2)在△PAB 中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60， sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝ 2 2 × 3 2 － 2 2 × 1 2＝ 6－ 2 4 ， 由正弦定理得 PB sin 30°＝ AB sin 15°， ∴PB＝ 1 2 × 60 6－ 2 4 ＝30( 6＋ 2)， ∴树的高度为 PB·sin 45°＝30( 6＋ 2)× 2 2 ＝(30＋30 3)(m). 答案　(1)30 2　(2)30＋30 3 考点二　测量角度问题 【例 2】 在海岸 A 处发现北偏东 45°方向距离 A 为( 3－1) n mile 的 B 处有一 艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向距离 A 为 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时，走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北 偏东 30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解　如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在 D 处相遇， 则可先在△ABC 中求出 BC，再在△BCD 中求∠BCD. 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船，则有 CD＝10 3t，BD＝10t. 在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝( 3－1)2＋22－2·( 3－ 1)·2·cos 120°＝6，∴BC＝ 6. ∵cos∠CBA＝BC2＋AB2－AC2 2BC·AB ＝6＋（ 3－1）2－4 2 6·（ 3－1） ＝ 2 2 ， ∴∠CBA＝45°，即 B 在 C 正东. ∵∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理得 sin∠BCD＝BD·sin∠CBD CD ＝10tsin 120° 10 3t ＝1 2， ∴∠BCD＝30°. 即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船. 规律方法　解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、 最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数 方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂” 使用. 【训练 2】 甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45°方向，距 A 有 9 海里的 B 处， 并以 20 海里每小时的速度沿南偏西 15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ的方向， 并以 28 海里每小时的速度行驶，恰能在 C 处追上乙船.问用多少小时追上乙船， 并求 sin θ的值(结果保留根号，无需求近似值). 解　设用 t 小时，甲船追上乙船，且在 C 处相遇，那么在△ABC 中，AC＝28t， BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°， 由余弦定理，得 (28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×(－1 2)， 128t2－60t－27＝0， 解得 t＝3 4或 t＝－ 9 32(舍去)， 所以 AC＝21(海里)，BC＝15(海里)， 根据正弦定理，得 sin∠BAC＝BCsin∠ABC AC ＝5 3 14 ， cos∠BAC＝ 1－ 75 142＝11 14. 又∠ABC＝120°，∠BAC 为锐角， 所以 θ＝45°－∠BAC， sin θ＝sin(45°－∠BAC) ＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin∠BAC ＝11 2－5 6 28 . ∴经过3 4小时追上乙船，且 sin θ的值为11 2－5 6 28 . 考点三　函数思想在解三角形中的应用(多维探究) 命题角度 1　距离的最值 【例 3－1】 (2018·镇江模拟)如图，某公园有三条观光大道 AB，BC，AC 围 成直角三角形，其中直角边 BC＝200 m，斜边 AB＝400 m.现有甲、乙、丙三位 小朋友分别在 AB，BC，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点 D，E，F. (1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走，到大道 的另一端时即停，乙比甲迟 2 分钟出发，当乙出发 1 分钟后，求此时甲、乙两人 之间的距离； (2)设∠CEF＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的 2 倍，且∠DEF＝π 3 ， 请将甲、乙之间的距离 y 表示为 θ 的函数，并求甲、乙之间的最小距离 . 解　(1)依题意得 BD＝300，BE＝100， 在△ABC 中，cos B＝BC AB＝1 2，∴B＝π 3 ， 在△BDE 中，由余弦定理得： DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cos B＝300 2＋1002－2·300·100· 1 2＝70 000， ∴DE＝100 7. 答：甲、乙两人之间的距离为 100 7 m. (2)由题意得 EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ， 在直角三角形 CEF 中，CE＝EF·cos∠CEF＝2ycos θ， 在 △BDE 中 ， 由 正 弦 定 理 得 BE sin∠BDE＝ DE sin∠DBE， 即 200－2ycos θ sin θ ＝ y sin 60°， ∴y＝ 100 3 3cos θ＋sin θ ＝ 50 3 sin(θ＋ π 3 ) ，0<θ< π 2 ， 所以当 θ＝π 6 时，y 有最小值 50 3. 答：甲、乙之间的最小距离为 50 3 m. 命题角度 2　面积的最值 【例 3－2】 (2018·苏州一模)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设 一条对角线在 l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边 BC， CD 用一根 5 米长的材料弯折而成，边 BA，AD 用一根 9 米长的材料弯折而成， 要求∠A 和∠C 互补，且 AB＝BC. (1)设 AB＝x 米，cos A＝f(x)，求 f(x)的解析式，并指出 x 的取值范围； (2)求四边形 ABCD 面积的最大值. 解　(1)在△ABD 中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A. 在△CBD 中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C. 因为∠A 和∠C 互补，所以 AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝CB 2＋CD2－2CB·CD·cos C＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cos A， 即 x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)cos A. 解得 cos A＝2 x，即 f(x)＝2 x，其中 x∈(2，5). (2)四边形 ABCD 的面积 S＝1 2(AB·AD＋CB·CD)sin A ＝1 2[x(9－x)＋x(5－x)] 1－cos2A ＝x(7－x) 1－(2 x )2 ＝ （x2－4）（7－x）2 ＝ （x2－4）（x2－14x＋49）. 记 g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2，5). 由 g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14) ＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0， 解得 x＝4(x＝7和x＝－1 2 舍去). 函数 g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减， 因此 g(x)的最大值为 g(4)＝12×9＝108. 所以 S 的最大值为 108＝6 3. 答：四边形 ABCD 面积的最大值为 6 3 m2. 命题角度 3　时间的最值 【例 3－3】 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在 小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处，并 正以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海 里/时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时，试设计航行方案(即确定航行 方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由. 解　(1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里， 则 S＝ 900t2＋400－2·30t·20·cos（90°－30°） ＝ 900t2－600t＋400＝ 900(t－1 3)2 ＋300. 故当 t＝1 3时，Smin＝10 3，v＝10 3 1 3 ＝30 3. 即小艇以 30 3 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇. 则 v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)， 故 v2＝900－600 t ＋400 t2 . ∵00，y>0. 由 202＝x2＋y2－2xycos 120°≥2xy－2xycos 120°， 得 xy≤ 202 2－2cos 120°＝ 202 4sin260°， ∴ S ＝ 1 2xysin 120 ° ≤ 1 2× 202 4sin260° × 2sin 60 ° cos 60 ° ＝ 202cos 60° 4sin 60° ＝ 202 4tan 60°＝100 3 3 ， 即四边形 DBAC 面积的最大值为100 3 3 ，当且仅当 x＝y 时取到. (2)由 DB＋DC＝20，知点 D 在以 B，C 为焦点的椭圆上， ∵S△ABC＝1 2×10×10× 3 2 ＝25 3， ∴要使四边形 DBAC 面积最大，只需△DBC 的面积最大，此时点 D 到 BC 的距 离最大，即 D 必为椭圆短轴顶点. 由 BC＝10 3，得短半轴长 b＝5，S△BCD 面积的最大值为1 2×10 3×5＝25 3. 因此四边形 ACDB 面积的最大值为 50 3. 12.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁 FG 和外壁 BC 都是半径为 1 m 的 四分之一圆弧，AB，DC 分别与圆弧 BC 相切于 B，C 两点，EF∥AB，GH∥ CD，且两组平行墙壁间的走廓宽度都是 1 m. (1)若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M，N 分别在外壁 CD 和 AB 上，且木棒与 内壁圆弧相切于点 P，设∠CMN＝θ(rad)，试用 θ 表示木棒 MN 的长度 f(θ)； (2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值. 解　(1)如图，设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q，过 Q 点作 CD 的垂线，垂足为点 T，且交 MN 或其延长线于 S，并连接 PQ，再过点 N 作 TQ 的垂线，垂足为 W， 在 Rt△NWS 中，因为 NW＝2，∠SNW＝θ，所以 NS＝ 2 cos θ，因为 MN 与圆弧 FG 切于点 P，所以 PQ⊥MN，在 Rt△QPS 中，因为 PQ＝1，∠PQS＝θ，所以 QS ＝ 1 cos θ，QT－QS＝2－ 1 cos θ， ①若 M 在线段 TD 上，即 S 在线段 TG 上，则 TS＝QT－QS，在 Rt△STM 中，MS ＝ TS sin θ＝QT－QS sin θ，因此 MN＝NS＋MS＝NS＋QT－QS sin θ. ① 若 M 在线段 CT 上，即若 S 在线段 GT 的延长线上，则 TS＝QS－QT，在 Rt△STM 中， MS＝ TS sin θ＝QS－QT sin θ，因此 MN＝NS－MS＝NS－QS－QT sin θ＝NS＋QT－QS sin θ. f(θ) ＝ MN ＝ NS ＋ QT－QS sin θ＝ 2 cos θ＋ ( 2 sin θ－ 1 sin θcos θ)＝ 2（sin θ＋cos θ）－1 sin θcos θ (0 < θ < π 2 ). (2)设 sin θ＋cos θ＝t(1