【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-3圆的方程学案 13页

第3讲　圆的方程 ‎1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)‎ 标准 方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)‎ 圆心：(a，b)，半径：r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)‎ 圆心：，‎ 半径： ‎2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：‎ ‎(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.‎ ‎(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.‎ ‎(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)‎ ‎(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　)‎ ‎(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)‎ ‎(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(　　)‎ ‎(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√‎ ‎ 圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)‎ A．(x－1)2＋(y－1)2＝1‎ B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ D．(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ 解析：选D.因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D.‎ ‎ 方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　)‎ A.1‎ C．m< D．m>1‎ 解析：选B.由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<或m>1.‎ ‎ 点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：因为点(1，1)在圆的内部，‎ 所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，‎ 所以－10，即3a2＋4a－4<0，解得－20，即>，所以原点在圆外．‎ ‎2．若圆心在x轴上，半径为的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是(　　)‎ A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5‎ B．(x＋)2＋y2＝5‎ C．(x－5)2＋y2＝5‎ D．(x＋5)2＋y2＝5‎ 解析：选D.设圆心坐标为(a，0)(a<0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以＝，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.‎ ‎3．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为__________________．‎ 解析：设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.‎ 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4‎ ‎　　　　　　与圆有关的最值问题(高频考点)‎ 与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等．高考中对圆的最值问题的考查主要有以下两个命题角度：‎ ‎(1)借助几何性质求最值问题；‎ ‎(2)建立函数关系求最值．‎ ‎ [典例引领]‎ ‎ 角度一　借助几何性质求最值问题 ‎ 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.‎ ‎(1)求的最大值和最小值；‎ ‎(2)求y－x的最大值和最小值．‎ ‎【解】　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．‎ ‎(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，‎ 所以设＝k，即y＝kx.‎ 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时＝，‎ 解得k＝±(如图1)．‎ 所以的最大值为，最小值为－.‎ ‎(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，‎ 解得b＝－2±(如图2)．‎ 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.‎ ‎ 在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．‎ 解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．‎ 又圆心到原点的距离为 ＝2，‎ 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.‎ 角度二　建立函数关系求最值 ‎ (2018·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．‎ ‎【解析】　由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.‎ ‎【答案】　12‎ 求解与圆有关的最值问题的方法 ‎　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．如果实数x，y满足圆(x－2)2＋y2＝1，那么的取值范围是________．‎ 解析：(x，y)在圆上，表示的是圆上的点(x，y)与点(1，－3)连线的斜率，画出图象，求出过点(1，－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k，切线方程为kx－y－3－k＝0，圆心到直线的距离等于半径，即＝1，k＝，故取值范围是.‎ 答案： ‎2．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．‎ 解析：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.‎ 答案： ‎3．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为________________．‎ 解析：设点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d＝＝，即2(a2＋b2)＝(ab)2≥4ab，所以ab≥4，当且仅当a＝b时取等号．又|AB|＝＝≥2，所以|AB|的最小值为2，此时a＝b，‎ 即a＝b＝2，切线l的方程为＋＝1，‎ 即x＋y－2＝0.‎ 答案：x＋y－2＝0‎ ‎　　　　　　与圆有关的轨迹问题 ‎ [典例引领]‎ ‎ 已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标；‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．‎ ‎【解】　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，‎ 所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．‎ ‎(2)设M(x，y)，‎ 因为点M为线段AB的中点，‎ 所以C1M⊥AB，‎ 所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得·＝－1，整理得＋y2＝，‎ 又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立．‎ 设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，‎ 消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.‎ 令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此时方程为x2－6x＋5＝0，解上式得x＝，因此0)；‎ ‎(2)已知圆上的三个点的坐标时，则设圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．‎ ‎ 易错防范 ‎(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个 独立方程；‎ ‎(2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是(　　)‎ A．x2＋(y－2)2＝1　　　　　　 B．x2＋(y＋2)2＝1‎ C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1‎ 解析：选A.设圆心为(0，a)，则＝1，‎ 解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.‎ ‎2．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)‎ A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 解析：选D.由题意得即或 故原方程表示两个半圆．‎ ‎3．(2018·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)‎ A．1＋ B．2‎ C．1＋ D．2＋2 解析：选A.将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，选A.‎ ‎4．(2018·山西晋中模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2均相切，则该圆的标准方程为(　　)‎ A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4‎ B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2‎ C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4‎ D．(x－2)2＋(y＋2)2＝4‎ 解析：选C.设圆心坐标为(2，－a)(a>0)，则圆心到直线x＋y＝2的距离d＝＝2，所以a＝2，所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故选C.‎ ‎5．(2018·广东七校联考)圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，‎ 则＋的最小值是(　　)‎ A．2 B. C．4 D. 解析：选D.由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，因为圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，所以该直线经过圆心(－1，3)，即－a－3b＋3＝0，所以a＋3b＝3(a>0，b>0)．所以＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.‎ ‎6．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3), 若M(m，)在圆C内，则m的范围为________．‎ 解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|得 ‎(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32.所以a＝2.‎ 半径r＝|CA|＝＝.‎ 故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.‎ 由题意知(m－2)2＋()2<10，解得0.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，‎ 所以t＝－2不符合题意，舍去．‎ 所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎